考點(diǎn)21雙曲線（核心考點(diǎn)講與練）1.雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫焦距.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0：(1)若a<c時(shí)，則集合P為雙曲線；(2)若a＝c時(shí)，則集合P為兩條射線；(3)若a>c時(shí)，則集合P為空集.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b21.（1）在應(yīng)用雙曲線定義時(shí)，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支．若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．（2）在“焦點(diǎn)三角形”中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義是經(jīng)常使用的知識(shí)點(diǎn)．另外，還經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立它與|PF1||PF2|的聯(lián)系．2.與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問(wèn)題的解題策略在研究雙曲線的性質(zhì)時(shí)，實(shí)半軸、虛半軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個(gè)重要內(nèi)容；雙曲線的離心率涉及的也比較多．由于e＝是一個(gè)比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的一個(gè)關(guān)系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后變形求e，并且需注意e＞1．3.圓錐曲線的弦長(zhǎng)（1）圓錐曲線的弦長(zhǎng)直線與圓錐曲線相交有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這條直線上以這兩個(gè)交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段叫作圓錐曲線的弦(就是連接圓錐曲線上任意兩點(diǎn)所得的線段)，線段的長(zhǎng)就是弦長(zhǎng)．（2）圓錐曲線的弦長(zhǎng)的計(jì)算設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝＝|x1－x2|＝·|y1－y2|．(拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ為弦AB所在直線的傾斜角)．雙曲線的定義一、單選題1．（2022·廣東潮州·二模）若點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，，分別為的左、右焦點(diǎn)，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義和充分不必要條件的定義可得答案.【詳解】由題意可知，，，，若，則，或1（舍去），若，，或13，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A．2．（2022·天津河西·一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，c是雙曲線C的半焦距，點(diǎn)A是圓上一點(diǎn)，線段交雙曲線C的右支于點(diǎn)B，，，則雙曲線C的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知及雙曲線的定義，可把用a表示，再用勾股定理推出，在中，利用勾股定理建立a，c的關(guān)系式即可求出離心率.【詳解】如下圖，由題意可知，由雙曲線定義可知，易得，由勾股定理可得，在中，再由勾股定理得，所以.故選：A.3．（2022·遼寧沈陽(yáng)·二模）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)M，N在C上，且，，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，，由雙曲線對(duì)稱性可知，直線與交于y軸上一點(diǎn)P，且為等腰直角三角形，可得的坐標(biāo)，分別求出，再根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，，由雙曲線對(duì)稱性可知，直線與交于y軸上一點(diǎn)P，且為等腰直角三角形，所有，如圖，則，，，所以，，則，即，則．故選：D.4．（2022·湖南永州·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，（為雙曲線的半焦距），直線與雙曲線右支交于另一個(gè)點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合直角三角形的相關(guān)性質(zhì)可得解.【詳解】如圖所示，由，，得，，設(shè)，由雙曲線定義得，所以，，，又，即，解得，所以，，又，即，即，所以離心率，故選：D.二、多選題5．（2022·山東泰安·二模）已知雙曲線C：的離心率為，且其右頂點(diǎn)為，左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線C的方程為B．點(diǎn)A到雙曲線C的漸近線的距離為C．若，則D．若，則的外接圓半徑為【答案】ABD【分析】由離心率為，右頂點(diǎn)為求出雙曲線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離，雙曲線的定義及性質(zhì)依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由離心率為，右頂點(diǎn)為可得，，故雙曲線C的方程為，A正確；雙曲線的漸近線為，故點(diǎn)A到雙曲線C的漸近線的距離為，B正確；由雙曲線的定義，，則或10，C錯(cuò)誤；，則，的外接圓半徑為，D正確.故選：ABD.6．（2022·河北唐山·二模）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長(zhǎng)線過(guò)左焦點(diǎn)．若雙曲線C的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．當(dāng)n過(guò)時(shí)，光由所經(jīng)過(guò)的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則D．若，直線PT與C相切，則【答案】CD【分析】對(duì)于A：判斷出，由定義和勾股定理聯(lián)立方程組即可求得；對(duì)于B：利用雙曲線的定義直接求得；對(duì)于C：先求出雙曲線的漸近線方程，由P在雙曲線右支上，即可得到n所在直線的斜率的范圍；對(duì)于D：設(shè)直線PT的方程為.利用相切解得，進(jìn)而求出.即可求出.【詳解】對(duì)于A：若，則.因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以.由勾股定理得：二者聯(lián)立解得：.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：光由所經(jīng)過(guò)的路程為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：雙曲線的方程為.設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為A、B.如圖示：當(dāng)與同向共線時(shí)，的方向?yàn)?，此時(shí)k=0，最小.因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以n所在直線的斜率為.即.故C正確.對(duì)于D：設(shè)直線PT的方程為.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在雙曲線右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正確故選：CD7．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，若某直線上存在點(diǎn)P，使得，則稱該直線為“好直線”，下列直線是“好直線”的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由題意，點(diǎn)P應(yīng)該是在雙曲線上，即“好直線”就是與雙曲線有交點(diǎn)的直線.【詳解】由題意，，雙曲線的方程為，“好直線”就是與雙曲線有交點(diǎn)的直線，對(duì)于A，聯(lián)立方程，解得無(wú)解，故A不是“好直線”；對(duì)于B，聯(lián)立方程，解得，，故B是“好直線”；對(duì)于C，聯(lián)立方程，解得，無(wú)解，故C不是“好直線”；對(duì)于D，聯(lián)立方程，解得，

，即直線與雙曲線有交點(diǎn)，故D是“好直線”；故選BD.三、填空題8．（2022·遼寧葫蘆島·一模）已知雙曲線G的方程，其左、右焦點(diǎn)分別是，，已知點(diǎn)P坐標(biāo)為，雙曲線G上點(diǎn)，滿足，則______．【答案】8【分析】設(shè)的內(nèi)切圓與三邊分別相切于，利用切線長(zhǎng)相等求得內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為，又由得在的平分線上，進(jìn)而得到即為內(nèi)心，應(yīng)用雙曲線的定義求得面積差即可.【詳解】如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與三邊分別相切于，可得，又由雙曲線定義可得，則，又，解得，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，即內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為.又，可得，化簡(jiǎn)得，即，即是的平分線，由于，，可得即為的內(nèi)心，且半徑為2，則.故答案為：8.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于先利用切線長(zhǎng)定理求得內(nèi)切圓圓心橫坐標(biāo)為，再由得到在的平分線上，結(jié)合的橫坐標(biāo)為進(jìn)而得到即為內(nèi)心，利用雙曲線定義及面積公式即可求解.四、解答題9．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距等于8，點(diǎn)M在雙曲線C上，且，的面積為12.(1)求雙曲線C的方程；(2)雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)的斜率不為的直線l與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，連接AQ，BP，求證：直線AQ與BP的交點(diǎn)恒在一條定直線上.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形的面積公式以及雙曲線的定義求出可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得到和，用點(diǎn)斜式表示出直線AQ與直線BP的方程，聯(lián)立求解交點(diǎn)，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值即可得解.(1)依題意，由雙曲線的對(duì)稱性不妨設(shè)，，因?yàn)椋杂?則，，所以，得，所以，所以雙曲線C的方程為.(2)由題意得，，，易知直線l的斜率不等于.設(shè)直線l的方程為，，，則.由消去x整理得，則，則，.（用點(diǎn)斜式表示出直線AQ與直線BP的方程，聯(lián)立求解交點(diǎn)，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）直線AQ的方程：，直線BP的方程：，令，得.因?yàn)?，，所以，展開(kāi)整理得，即，即,即，即，所以.所以直線AQ與BP的交點(diǎn)恒在定直線上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：用點(diǎn)斜式表示出直線AQ與直線BP的方程，聯(lián)立求解交點(diǎn)，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.10．（2022·福建漳州·一模）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是右支上一點(diǎn)，若I為的內(nèi)心，且.(1)求的方程；(2)點(diǎn)A是在第一象限的漸近線上的一點(diǎn)，且軸，在點(diǎn)P處的切線l與直線相交于點(diǎn)M，與直線相交于點(diǎn)N.證明：無(wú)論點(diǎn)P怎么變動(dòng)，總有.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式及雙曲線定義化簡(jiǎn)可得，求出即可得出方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率并化簡(jiǎn)可得，求出切線及切線與直線的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式并結(jié)合雙曲線方程化簡(jiǎn)可得.(1)設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，因?yàn)?，所以，即，可得，所以，由雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，得，又，解得，所以的方程為.(2)由題意可知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為.由可得由題意知.若點(diǎn)P在雙曲線右支的上半支上，則所以，故因?yàn)?所以,若點(diǎn)P在雙曲線右支的下半支上，則同理可得綜上，，代入直線l的方程得,即，由，可得，所以直線l的方程為,即因?yàn)橹本€的方程為x=2，所以直線l與直線的交點(diǎn),直線l與直線的交點(diǎn)所以,，即得證.雙曲線的幾何性質(zhì)1．（2021“四省八?！备呷蠈W(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)）過(guò)雙曲線（，）的右焦點(diǎn)作雙曲線漸近線的垂線段，垂足為，線段與雙曲線交于點(diǎn)，且滿足，則雙曲線離心率等于（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用漸近線的斜率，求出，，進(jìn)而利用相似和求出點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入到雙曲線方程中，得到關(guān)于的方程，求出離心率即可【詳解】因?yàn)殡p曲線漸近線方程為，所以，如圖，在直角三角形中，，，又因?yàn)楣?，，過(guò)、A分別作的垂線，垂足分別為、，則由得：，又，故，，故可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，所以，整理得，解得，故選：．2.（2021安徽省安慶市懷寧中學(xué)高三上學(xué)期模擬）若雙曲線的一條漸近線與直線相互垂直，則雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)與虛軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為（）A. B. C.6 D.8【答案】B【分析】先求出m，再求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和短軸頂點(diǎn)坐標(biāo)，直接求面積即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線相互垂直，所以，解得：m=9.雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn).所以三角形的面積為.故選：B直線與雙曲線的位置關(guān)系1.．（江西省南昌市灣里區(qū)第一中學(xué)等六校聯(lián)考）已知雙曲線C：（a>0，b>0）的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為2．（1）求雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離；（2）若直線y=x+m被雙曲線CC截得的弦長(zhǎng)為，求m的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知計(jì)算雙曲線的基本量，得雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)及漸近線方程，再用點(diǎn)到直線距離公式得解．（2）直線方程代入雙曲線方程，得到關(guān)于的一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理弦長(zhǎng)公式列方程得解．（1）雙曲線離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為2，，，解得，，，所求雙曲線C的方程為；∴雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，即為，∴雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為．（2）設(shè)，，聯(lián)立，，，，．，，解得．2.（2021河北省部分名校高二上學(xué)期期中）在①雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，②雙曲線的焦點(diǎn)在軸上這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．已知雙曲線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（1）求雙曲線的方程；（2）若雙曲線與雙曲線的漸近線相同，______，且的焦距為4，求雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)．注：若選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析【分析】(1)設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入計(jì)算即可；(2)由(1)可得雙曲線的漸近線方程，若選①則設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而可得a、b、c的關(guān)系式，計(jì)算即可；若選②則設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，同理計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)雙曲線的方程為，則，解得，所以雙曲線的方程為；【小問(wèn)2詳解】雙曲線的漸近線方程為．選①，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以解得，．所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2．選②，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以，解得，，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為．1.（2021年全國(guó)高考甲卷）點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求得點(diǎn)到一條漸近線的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結(jié)合對(duì)稱性，不妨考慮點(diǎn)到直線的距離：.故選：A.2.（2021年全國(guó)高考乙卷）已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_(kāi)________．【答案】4【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線中對(duì)應(yīng)關(guān)系，聯(lián)立求解，再由關(guān)系式求得，即可求解.【詳解】由漸近線方程化簡(jiǎn)得，即，同時(shí)平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計(jì)算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵.3.（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考（新課標(biāo)Ⅰ））設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（）A. B.3 C. D.2【答案】B【分析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計(jì)算即可.【詳解】由已知，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的計(jì)算問(wèn)題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.4.（2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)利用雙曲線的定義可知軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；(2)方法一：設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線的斜率，最后化簡(jiǎn)計(jì)算可得的值.【詳解】(1)因?yàn)椋?，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立如圖所示，設(shè),設(shè)直線的方程為．聯(lián)立,化簡(jiǎn)得.則．故．則．設(shè)的方程為，同理．因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，即．因?yàn)?，所以．[方法二]：參數(shù)方程法設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，則其參數(shù)方程為，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，可得，整理得．設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得．設(shè)直線的傾斜角為，，同理可得由，得．因?yàn)?，所以．由題意分析知．所以，故直線的斜率與直線的斜率之和為0．[方法三]：利用圓冪定理因?yàn)?，由圓冪定理知A，B，P，Q四點(diǎn)共圓．設(shè),直線的方程為，直線的方程為,則二次曲線．又由，得過(guò)A，B，P，Q四點(diǎn)的二次曲線系方程為：，整理可得：，其中．由于A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，則xy項(xiàng)的系數(shù)為0，即.【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理處理圓錐曲線問(wèn)題是最經(jīng)典的方法，它體現(xiàn)了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：參數(shù)方程的使用充分利用了參數(shù)的幾何意義，要求解題過(guò)程中對(duì)參數(shù)有深刻的理解，并能夠靈活的應(yīng)用到題目中.方法三：圓冪定理的應(yīng)用更多的提現(xiàn)了幾何的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計(jì)算更為簡(jiǎn)單.一、單選題1．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告；正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其它兩觀測(cè)點(diǎn)晚2s，已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離是680m，則該巨響發(fā)生在接報(bào)中心的（

）處(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s，相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距離340m B．東偏南45°方向，距離340mC．西偏北45°方向，距離170m D．東偏南45°方向，距離170m【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由條件確定該巨響發(fā)生的軌跡，聯(lián)立方程組求其位置.【詳解】如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)，正東、正北方向?yàn)檩S、軸正向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，則設(shè)為巨響為生點(diǎn)，由同時(shí)聽(tīng)到巨響聲，得，故在的垂直平分線上，的方程為，因點(diǎn)比點(diǎn)晚聽(tīng)到爆炸聲，故，由雙曲線定義知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的雙曲線左支上，依題意得故雙曲線方程為，將代入上式，得，即故.故巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北距中心處．故選：A.2．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由方程已知a、b，再結(jié)合求c，代入離心率．【詳解】∵雙曲線，則可得：∴故選：D．3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線E：的離心率為，若有一直線過(guò)E的右頂點(diǎn)A且與一條漸近線平行，交y軸于點(diǎn)B，則△OAB的面積是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】由離心率先求出的值，得出漸近線的方程，得出過(guò)點(diǎn)與漸近線平行直線，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出三角形的面積【詳解】雙曲線E：的離心率為，解得所以E的右頂點(diǎn)A，雙曲線E的漸近線方程為設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與漸近線平行，則其方程為，則所以故選：A4．（2022·山東濟(jì)寧·二模）過(guò)雙曲線C：的左焦點(diǎn)F作圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為A，直線FA交直線于點(diǎn)B，若，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到直線的方程，和直線聯(lián)立求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用等面積得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等即可計(jì)算【詳解】因?yàn)橹本€FA交直線于點(diǎn)B，直線與圓切于點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，在中，，所以直線的方程為，由，得即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，在中，根據(jù)等面積可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗?，所以，所以，所以，所以，所以，所以漸近線方程為，故選：B5．（2022·天津南開(kāi)·一模）已知雙曲線的與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為M．若拋物線的焦點(diǎn)為F，且，則雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意求出為M的坐標(biāo)代入雙曲線求出，利用點(diǎn)到直線距離公式可求雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，因?yàn)?，且，所以，代入到拋物線中，得，所以，將代入到雙曲線中，得，即，設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)，漸近線為，即，所以雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故選：D.6．（2022·天津河?xùn)|·一模）已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，拋物線的準(zhǔn)線與交于M，N兩點(diǎn)，且三角形為正三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，因?yàn)槿切螢檎切?，可得：，即可求出雙曲線的離心率.【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，所以的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由，解得：，則，因?yàn)槿切螢檎切?，所以，所以，即，解得?故選：A.二、多選題7．（2022·遼寧·建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知?分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是(

)A．線段長(zhǎng)度的最小值為B．線段長(zhǎng)度的最小值為C．若當(dāng)時(shí)，(O為坐標(biāo)原點(diǎn))恰好為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為D．當(dāng)時(shí)，若直線與圓相切，則雙曲線C的漸近線的斜率的絕對(duì)值為【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線焦半徑和通徑的性質(zhì)可判斷AB；根據(jù)可判斷C；設(shè)與圓相切于A，連接OA，則OA⊥；過(guò)作于點(diǎn)B，根據(jù)幾何關(guān)系求出、，從而求出，再求出，根據(jù)可求，從而可求雙曲線漸近線的斜率絕對(duì)值，從而判斷D．【詳解】當(dāng)M為雙曲線右頂點(diǎn)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小值為，故A正確；當(dāng)x軸時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小值為或(與離心率有關(guān))，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，則，，，∴離心率，故C正確；對(duì)于D，如圖，設(shè)與圓相切于A，連接OA，則OA⊥；過(guò)作于點(diǎn)B，則，，，，，．∵M(jìn)在雙曲線上，∴，即，∴，則雙曲線漸近線斜率的絕對(duì)值為，故D正確．故選：ACD．8．（2022·江蘇·新沂市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，M為OA的中點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)且，且，則(

)A．C的離心率為2 B．C的漸近線方程為C．PM平分 D．【答案】ACD【分析】在直角三角形中，利用列出關(guān)于a、b、c的齊次式求出離心率，從而判斷A；根據(jù)離心率求出漸近線方程，從而判斷B；根據(jù)是否相等即可判斷PM是否平分，從而判斷C；根據(jù)、的比例關(guān)系，利用平面向量的線性運(yùn)算即可表示用表示，從而判斷D.【詳解】由可知，由得，，即，即，即，∴，故A正確；由，∴雙曲線漸近線為，故B錯(cuò)誤；由，﹒則，，∴；∵，，∴，∴，∴根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知PM平分，故C正確；，，，故D正確；故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題主要考察與雙曲線的焦半徑和焦點(diǎn)三角形有關(guān)的性質(zhì)，考察構(gòu)造關(guān)于a、b、c的齊次式求離心率的方法，考察利用角平分線的性質(zhì)，考察了向量的線性運(yùn)算，解題時(shí)需數(shù)形結(jié)合，合理運(yùn)用圖形的幾何關(guān)系.9．（2022·江蘇·沭陽(yáng)如東中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知直線y=kx（k≠0）與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F，若三角形ABF的面積為，則以下正確的結(jié)論有（

）A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的離心率為C．雙曲線的漸近線方程為y=±2x D．【答案】BCD【分析】設(shè)出，得到方程組，求出，或，從而得到離心率，及漸近線方程，利用余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系得到傾斜角的正切值，從而求出斜率.【詳解】以為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)，以為直徑的圓：設(shè)，則，，∴解得：，或，所以，即A錯(cuò)誤，B正確.漸近線方程C正確.D選項(xiàng)，不妨設(shè)，且點(diǎn)B在第一象限，則，此時(shí)同理可得：當(dāng)時(shí)，D正確，故選：BCD.10．（2022·重慶·二模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線的右支上一點(diǎn)，且三角形為正三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），記，的斜率分別為，，設(shè)為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．雙曲線的離心率為C． D．【答案】ABD【分析】對(duì)于A，先求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出和的坐標(biāo)，即可計(jì)算；對(duì)于B，將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的方程，建立與的齊次方程即可求出離心率；對(duì)于C，代斜率的坐標(biāo)計(jì)算公式化簡(jiǎn)可求，對(duì)于D，分別化簡(jiǎn)，，，結(jié)合與的數(shù)量關(guān)系即可判斷【詳解】因?yàn)闉檎切危运?，所以故A正確將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程可得即即即即設(shè)（），則解之得：或（舍）所以，所以故B正確故C錯(cuò)誤設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，所以，即，故D正確故選：ABD三、填空題11．（2022·廣東韶關(guān)·二模）過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于P，Q兩點(diǎn)，則|PQ|=_________．【答案】【分析】由題意可知曲線為等軸雙曲線，結(jié)合等軸雙曲線的性質(zhì)可得答案.【詳解】由題意可知，，，，雙曲線是等軸雙曲線，則兩條漸近線的夾角是90°，因?yàn)樵谥苯侨切沃?，斜邊中線是斜邊一半，故．故答案為：12．（2022·湖北武漢·二模）如圖，發(fā)電廠的冷卻塔外形是由雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所得到的曲面，該冷卻塔總高度為70米，水平方向上塔身最窄處的半徑為20米，最高處塔口半徑25米，塔底部塔口半徑為米，則該雙曲線的離心率為_(kāi)__________.【答案】【分析】以冷卻塔的軸截面的最窄處所在的直線為軸，垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為，由題意求出可得答案.【詳解】如圖，以冷卻塔的軸截面的最窄處所在的直線為軸，垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為，由題意知，所以，，，所以，解得，所以，所以.故答案為：.13．（2022·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：的焦點(diǎn)為F，雙曲線E：的右頂點(diǎn)為線段OF的中點(diǎn)，E與C交于A，B兩點(diǎn)．若F是△ABO的重心，則E的離心率為_(kāi)_____．【答案】2【分析】由題意求出拋物線的焦點(diǎn)為F，得到則E的右頂點(diǎn)為（1，0），即a＝1，根據(jù)F是△ABO的重心，可得直線AB的方程為x＝3，進(jìn)一步求出A，B坐標(biāo)，代入雙曲線得到，解得，最終求出離心率．【詳解】設(shè)雙曲線E的半焦距為c（c>0）．由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)為F（2，0），則E的右頂點(diǎn)為（1，0），所以a＝1，由F是△ABO的重心，可得直線AB的方程為x＝3，可知，，代入雙曲線方程得到，解得，所以，所以離心率．故答案為：2.14．（2022·江西·二模（理））已知雙曲線C：的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在圓：上，若線段FP恰好被C的一條漸近線垂直平分，則C的離心率為_(kāi)__________.【答案】2【分析】先求得圓的圓心和半徑，根據(jù)三角形是等邊三角形求得直線的斜率，從而求得漸近線的斜率，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】,，圓心為，半徑為，圓心為C的右焦點(diǎn)，，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，三角形是等邊三角形，則，所以直線PF的斜率，從而，，故C的離心率.故答案為：15．（2022·內(nèi)蒙古通遼·二模（理））雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線E的離心率為_(kāi)_____．【答案】2【分析】列方程得到關(guān)于雙曲線E的a、c的等式，即可求得雙曲線E的離心率.【詳解】圓的圓心（2，0），半徑為1雙曲線的漸近線因?yàn)殡p曲線E的漸近線與圓C相切，所以，則．故答案為：2四、解答題16．（2022·山東濰坊·二模）已知M，N為橢圓和雙曲線的公共頂點(diǎn)，，分別為和的離心率．(1)若．（?。┣蟮臐u近線方程；（ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線l交的右支于A，B兩點(diǎn)，直線MA，MB與直線相交于，兩點(diǎn)，記A，B，，的坐標(biāo)分別為，，，，求證：；(2)從上的動(dòng)點(diǎn)引的兩條切線，經(jīng)過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的直線與的兩條漸近線圍成三角形的面積為S，試判斷S是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)（?。?；（ⅱ）證明見(jiàn)解析(2)是定值，【分析】（1）（ⅰ）根據(jù)橢圓和雙曲線的離心率公式求得，即可求出雙曲線的漸近線方程；（ⅱ）直線AB的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得，從而可求出，再根據(jù)直線的方程可求出，從而可求得，整理即可得證；（2）設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)求出，同理可求得直線的斜率，求出直線的方程，然后可求出直線與兩條漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算整理即可得出結(jié)論.(1)解：由題意得，，所以，又，解得，（?。┕孰p曲線的漸近線方程為，（ⅱ）設(shè)直線AB的方程為，則消元得，，，且，所以，故，又直線的方程為，所以，同理，所以，故；(2)解：設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)，，由題意知，斜率存在，直線的方程為，聯(lián)立由得，所以，同理直線方程為，由，過(guò)P點(diǎn)可得可