2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖1,已知點(diǎn)。在四邊形/8C。的邊工8上，且CM=O8=OC=OO=2,OC平分N

BOD,與8。交于點(diǎn)G,ZC分別與8。、0。交于點(diǎn)E、F.

(1)求證：oc〃z。；

4E

(2)如圖2,若DE=DF,求77的值；

AF

DE

(3)當(dāng)四邊形438的周長取最大值時，求二:的值.

：.ZOAD=ZADO,

???。。平分/8。。，

???/DOC=/COB,

又:ZDOC+ZCOB=ZOAD+ZADO,

：./ADO=NDOC,

：.CO//AD；

(2)解：如圖1,

U：OA=OB=OD,

：.ZADB=90°,

設(shè)NZMC=a,則N4CO=NA4C=a.

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9

：OA=ODfDA//OC,

：.ZODA=ZOAD=2af

：./DFE=3a,

'：DF=DE,

：.ZDEF=ZDFE=3af

A4a=90°,

???a=22.5°,

：.ZDAO=45°,

???△Z。。和△46。為等腰直角三角形,

：.AD=y/2AO,

,絲一B

AO

■:DE=DF,

：./DFE=/DEF,

ZDFE=ZAFOf

：.NAFO=NAED,

又N4DE=N4OF=90°,

，△ADEsdAOF,

?A.E工=AD茄3i-

(3)解:如圖2,

D

圖2

?：OD=OB,/BOC=/DOC,

：./\BOC^/\DOC(SAS),

:?BC=CD,

設(shè)BC=CD=x,CG=m,則OG=2-m,

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9：OB2-OG2=BC2-CG2,

A4-（2-加）2=f-加2,

解得：m=jx2,

q

1

，OG=2-#9,

'：OD=OB,/DOG=NBOG,

；.G為8。的中點(diǎn)，

又YO為AB的中點(diǎn)，

1

??力。=20G=4—尹29,

111

二四邊形ABCD的周長為28C+ZZ>+/8=2x+4-^x2+4=-^x2+2x+8=--2）2+10,

1

?.?一『0,

；.x=2時，四邊形N8CZ）的周長有最大值為10.

:.BC=2,

...△8C。為等邊三角形，

：.ZBOC=60°,

\'OC//AD,

:.NDAO=NCOB=60°,

AZADF=ZDOC=60o,ZDAE=30°,

AZAFD=90°,

DEV3i

/.—=—,DF=TZDA

DA32F

.竺_2\/3

?.=?

DF3

2.如圖，在矩形Z8C。中，AB-I6cm,AD=6cm,動點(diǎn)P、。分別從Z、C同時出發(fā)點(diǎn)尸

以每秒3c〃?的速度向8移動，一直達(dá)到8止，點(diǎn)。以每秒2CTM的速度向。移動.

(1)P、。兩點(diǎn)出發(fā)后多少秒時，四邊形P8C0的面積為36C〃?2；

(2)P、。兩點(diǎn)出發(fā)后多少秒時，四邊形P8C。是矩形；

(3)是否存在某一時刻，使四邊形P8CQ為正方形？

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解：(1)在矩形48CD中，CD=AB=16,BC=AD=6,

由運(yùn)動知，AP=3t,CQ=2t,

：.BP=AB-AP=\6-3t,

丁四邊形PBCQ的面積為36c〃3

1

(16-3r+2/)X6=36,

2

，E=4,

:.P、。兩點(diǎn)出發(fā)后4秒時，四邊形P8C0的面積為36c加2；

(2)???四邊形尸3C0是矩形，

：.BP=CQ,

.*.16-3f=23

?L丑

..J5,

:.P、。兩點(diǎn)出發(fā)后當(dāng)秒時，四邊形P8C。是矩形；

(3)由(2)知，仁號秒時，四邊形P8C0是矩形，

：.CQ=2t=^32,

VSC=6,

:?CQ豐BC,

???不存在某一時刻，使四邊形P8C。為正方形.

3.如圖，在Rt△48c中，ZACB=90°,以斜邊48上的中線為直徑作。0,與BC交

于點(diǎn)/，與的另一個交點(diǎn)為及過“作垂足為M

(1)求證：是OO的切線；

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(2)若。。的直徑為5,sin8=|,求EQ的長.

'：OC=OM,

：.NOCM=ZOMC,

在RtZ\/8C中，CD是斜邊Z8上的中線,

：.CD=^AB=BD,

:.NDCB=NDBC,

：.NOMC=NDBC,

J.OM//BD,

?:MNLBD,

J.OMLMN,

過O,

...A/N是。。的切線；

(2)解：連接DM,CE,圖2

「CD是。。的直徑，

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：.ZCED=90°,ZDMC=90°,

BPDMIBC,CELAB,

由(1)知：BD=CD=5,

???M為8C的中點(diǎn)，

3

Vsin5=引

.八4

??COSn=［，

在RtZXBMD中，BM=BD?cosB=4,

:?BC=2BM=8,

在RtACEB中，BE=BCsB=可，

327

：.ED=BE-8。=寺-5=g

4.已知NMPN的兩邊分別與00相切于點(diǎn)4B,。0的半徑為八

(1)如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)4,8之間的優(yōu)弧上，NA/PN=80°,求NZC8的度數(shù)；

(2)如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動，當(dāng)尸C最大時，要使四邊形ZP8C為菱形，//尸8的度

數(shù)應(yīng)為多少？請說明理由：

(3)若尸C交。。于點(diǎn)。，求第(2)問中對應(yīng)的陰影部分的周長(用含，?的式子表示).

.?./孫。=/尸8。=90°,

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VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360°,

ZAPB+ZAOB^,

VZAPB=SO°,

.?.408=100°,

AZACB=50°；

(2)如圖2,當(dāng)//尸8=60°時，四邊形/P8C是菱形,

連接04OB,

由(1)可知，N4OB+N4PB=180°,

VZAPS=60°,

.?.402=120°,

AZ/4CB=60°=NAPB,

；點(diǎn)C運(yùn)動到PC距離最大，

經(jīng)過圓心，

'：PA,尸8為。。的切線，

:.PA=PB,NAPC=NBPC=30°,

又,：PC=PC,

:AAPgABPC(SAS),

：.ZACP^ZBCP^30°,AC=BC,

...//PC=N/CP=30°,

：.AP=AC,

：.AP=AC=PB=BC,

四邊形/P8c是菱形；

(3);。。的半徑為r,

：.OA=r,OP=2r,

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：.AP=V3r,PD=r,

VZAOP=90°-//尸。=60°,

.?.尬的長度=60°7rr_n

180°=3r

.?.陰影部分的周長=刈+尸。+彳&=8什廠+*=（V3+1+J）r.

5.如圖，口為。。的切線，P8C為。。的割線，AD1.OP于點(diǎn)D,△ZDC的外接圓與BC

的另一個交點(diǎn)為E.證明：NBAE=NACB.

【解答】證明：連接O/,OB,OC,BD.

'JOAA.AP,AD1.OP,

由射影定理可得：R42=PD.PO,AD2=PD,OD.…（5分）

又由切割線定理可得PF=PB?PC,

:.PB?PC=PD，PO,

:.D、B、C、。四點(diǎn)共圓，…（10分）

，ZPDB=ZPCO=ZOBC=ZODC,NPBD=ACOD,

：./\PBD^^COD,

PDBD八

—=—,…（15分）

CDOD

:.BD?CD=PD?OD=AD2,

,BDAD

""~AD-'CD'

又NBD4=NBDP+9G°=ZOOC+900=AADC,

：.ABDAsAADC,

；.NBAD=/ACD,

:.AB是△/DC的外接圓的切線，

：.NBAE=NACB.

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6.如圖，點(diǎn)/為夕軸正半軸上一點(diǎn),48兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，過點(diǎn)/任作直線交拋物線y=#

于P,0兩點(diǎn).

（1）求證：NABP=2ABQ；

（2）若點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,1）,且NP80=6O°,試求所有滿足條件的直線尸。的函數(shù)

解析式.

【解答】（1）證明：如圖，分別過點(diǎn)P,。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.

設(shè)點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,/）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,-Z）.

設(shè)直線P0的函數(shù)解析式為歹=h十八并設(shè)尸，0的坐標(biāo)分別為（xp,yp）,（x。，J0）.由

'y=kx+t

y=lx2

x2—kx—t=0,

PQ

于是%%=_|t,即t=—^xPxQ.

|xp2+￡|xp2一|%p%Q|xp(xp-%Q)

BCyP+tXp

于是一二

BD%+t|XQ2+C^XQ2-XpXQ^XQ(XQ-Xp)XQ

PCx”,BCPC

又因?yàn)槎?一五P’所以