1.理解并掌握作正切函數(shù)圖像的方法.7.3.4正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像2.掌握正切函數(shù)的性質(zhì).3.會利用正切函數(shù)的性質(zhì)及圖像解決問題.第七章三角函數(shù)函數(shù)y=tanx圖像

定義域①

值域②

R

周期性是周期函數(shù),最小正周期是③

π

|正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像第七章三角函數(shù)函數(shù)y=tanx奇偶性④奇

函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱單調(diào)性在每一個開區(qū)間

(k∈Z)上都是⑤單調(diào)遞增的

圖像的對稱性圖像是中心對稱圖形,對稱中心的坐標(biāo)為⑥

,0

(k∈Z)

,沒有對稱軸第七章三角函數(shù)續(xù)表1.正切函數(shù)在整個定義域內(nèi)是增函數(shù).

(

?)如

<

,但tan

>tan

,不符合增函數(shù)的定義.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.2.存在某個區(qū)間,使正切函數(shù)為減函數(shù).

(

?)正切函數(shù)在每個單調(diào)區(qū)間上都為增函數(shù).3.正切函數(shù)圖像相鄰兩個對稱中心的距離為周期π.(

?)正切函數(shù)圖像相鄰兩個對稱中心的距離為半個周期

,故此說法是錯誤的.y=tanx為奇函數(shù),故對任意x∈R都有tan(-x)=-tanx.

(

?)當(dāng)x=

+kπ(k∈Z)時,tanx沒有意義,此時式子tan(-x)=-tanx不成立.第七章三角函數(shù)1|與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域、值域問題正切函數(shù)y=tanx的定義域能寫成

(k∈Z)嗎?為什么?第七章三角函數(shù)提示:不能,因為正切函數(shù)的定義域是

表示x≠

+kπ(k∈Z)的全體實數(shù),而

(k∈Z)只表示k取某個整數(shù)時的一個區(qū)間.1.求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時,除了滿足函數(shù)定義域的一般要求外,還要

保證正切函數(shù)y=tanx有意義,即x≠

+kπ,ky=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定義域時,要將ωx+φ視為一個整體,令ωx+φ≠kπ+

,k∈Z,解得x.2.求解與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時,要注意函數(shù)的定義域,在定義域內(nèi)求值域;

對于求由正切函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域時,常利用換元法,但要注意新元的范圍.第七章三角函數(shù)(★★☆)(1)求函數(shù)y=3tan

的定義域;(2)求函數(shù)y=tan2x-2tanx

的值域.思路點(diǎn)撥:(1)把

-

看作一個整體,借助正切函數(shù)的定義域解決;(2)換元,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.第七章三角函數(shù)解析(1)令

-

≠

+kπ,k∈Z,得x≠-

-4kπ,k∈Z,即函數(shù)的定義域為

x

x≠-

-4kπ,k∈Z

.(2)令u=tanx,因為|x|≤

,所以由正切函數(shù)的圖像知u∈[-

,

],

所以原函數(shù)可化為y=u2-2u,u∈[-

,

],因為該二次函數(shù)的圖像開口向上,圖像的對稱軸方程為u=1,所以當(dāng)u=1時,ymin=12-2×1=-1,當(dāng)u=-

時,ymax=3+2

,所以原函數(shù)的值域為[-1,3+2

].方法技巧對于正切函數(shù)的值域問題,常用數(shù)形結(jié)合的方法求解.第七章三角函數(shù)2|正切型函數(shù)的單調(diào)性問題能說正切函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增嗎?提示:不能,正切函數(shù)是不連續(xù)函數(shù),只能說在每一個開區(qū)間

(k∈Z)上都是單調(diào)遞增的.第七章三角函數(shù)求函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,φ是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法:(1)若ω>0,由于y=tanx在每一個單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù),故可用“整體代換”的思

想,令kπ-

<ωx+φ<kπ+

,k∈Z,解得x的范圍即為原函數(shù)的增區(qū)間.(2)若ω<0,可利用誘導(dǎo)公式先把y=Atan(ωx+φ)轉(zhuǎn)化為y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),

即把x的系數(shù)化為正值,再利用“整體代換”的思想,求得x的范圍即為原函數(shù)的減

區(qū)間.第七章三角函數(shù)(★★☆)求函數(shù)y=tan

的單調(diào)區(qū)間及最小正周期.思路點(diǎn)撥:先轉(zhuǎn)化已知解析式,然后根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性建立不等式(組)求解.第七章三角函數(shù)解析

y=tan

=-tan

,令-

+kπ<

x-

<

+kπ(k∈Z),得-π+4kπ<x<3π+4kπ,k∈Z,所以函數(shù)y=tan

-

x+

的單調(diào)遞減區(qū)間是(-π+4kπ,3π+4kπ)(k∈Z).最小正周期T=

=4π.解題模板:(1)轉(zhuǎn)化已知解析式;(2)利用整體代換的思想建立不等式(組);(3)解不等式

(組)得結(jié)論.第七章三角函數(shù)3|利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較大小運(yùn)用正切函數(shù)的單調(diào)性比較大小的方法利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較兩個正切值的大小,實際上是將兩個角利用函數(shù)的周

期性或誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后運(yùn)用單調(diào)性比較大小.第七章三角函數(shù)例試比較tan1.5,tan2.5,tan3.5的大小.解析

tan2.5=tan(2.5-π),tan3.5=tan(3.5-π),又-

<2.5-π<3.5-π<1.5<

,y=tanx在

上是增函數(shù),故tan(2.5-π)<tan(3.5-π)<tan1.5,即tan2.5<tan3.5<tan1.5.第七章三角函數(shù)(★★☆)比較大小.(1)tan

與tan

;(2)tan126°與tan496°.思路點(diǎn)撥:利用正切函數(shù)的單調(diào)性求解,注意不在同一單調(diào)區(qū)間的角需轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間

上.解析(1)∵y=tanx在

上是增函數(shù),-

<-

<-

<

,∴tan

<tan

.(2