1.了解集合與元素的含義.2.理解集合中元素的特性,并能利用它們進(jìn)行解題.3.掌握數(shù)學(xué)中一些常見的集合及其記法.4.掌握集合的表示方法,會選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯?集合的概念與表示一般地,一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體組成一個①集合

.集合中的每一個對象稱為該集合的②元素

,簡稱元.集合中元素的特性:③確定性

、④互異性

、⑤無序性

.如果兩個集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是

A的元素),那么稱這兩個集合相等.1|集合與元素的概念元素與集合的關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A的⑥

元素

,那么就說a屬于

Aa⑦

∈

Aa屬于A不屬于如果a不是集合A的元

素,那么就說a不屬于Aa⑧

?

A或a?Aa不屬于A2|元素與集合的關(guān)系名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法N⑨

N*或N+

ZQR3|象常用數(shù)集及其記法將集合的元素⑩一一列舉

出來,并置于花括號“{}”內(nèi),這種表示集合的方法

稱為列舉法.用這種方法表示集合,元素之間要用逗號分隔,但列舉時與元素的次序

無關(guān).將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來,寫成

{x|P(x)}

的形式,這種表示集合的方法稱為描述法.為了直觀地表示集合,常畫一條封閉的曲線,用它的內(nèi)部來表示一個集合,稱為Venn

圖.例如下圖:4|集合的表示方法根據(jù)集合中元素的多少可將集合分為有限集、無限集和空集.有限集:含有有限個元素的集合.無限集:含有無限個元素的集合.空集:不含任何元素的集合,記作?.5|集合的分類1.元素1,3,6和元素6,3,1組成的集合是不相等的.(

?)2.0∈N但0?N*.

(√)y=x+1的圖象上的所有點構(gòu)成集合A,則點(1,2)∈A.

(√)k-1,其中k∈Z組成集合A,則4k-1?A.

(

?)5.{(1,2)}={x=1,y=2}.

(

?)提示:{(1,2)}中含有(1,2)這一個元素,{x=1,y=2}中含有x=1,y=2兩個元素.6.{x∈R|x>1}={y∈R|y>1}.

(√)提示:{x∈R|x>1}與{y∈R|y>1}均表示由大于1的實數(shù)構(gòu)成的集合,元素完全相同,是

相等的集合.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”。1|如何理解集合中元素的特性2016年8月8日,里約奧運會女子100米仰泳半決賽中,傅園慧以58秒95的成績

晉級決賽,賽后采訪中,她因天然生動的表情、率真幽默的表達(dá)一夜成名,走紅網(wǎng)絡(luò),

成為里約奧運會最具人氣、最有影響力的運動員之一.同年當(dāng)選為“2016中國90

后十大影響力人物”“中國十佳勞倫斯冠軍獎最受歡迎女運動員”.2017年12月,

據(jù)如下表所示:賽事項目時間輪次成績名次2016年里約奧運會女子100米仰泳2016.8.8預(yù)賽1分0秒0292016.8.8半決賽58秒9532016.8.9決賽58秒763女子4×100米混合泳接力2016.8.13預(yù)賽3分58秒2362016.8.14決賽3分55秒1842012年倫敦奧運會女子100米仰泳2012.7.29預(yù)賽59秒9682012.7.30半決賽59秒8282012.7.31決賽1分0秒508問題1.以上表格中,傅園慧較好的比賽成績能否構(gòu)成集合?提示:不能.“較好”不具有確定性.2.將以上表格中的所有成績,按時間由短到長排列構(gòu)成集合A,按時間由長到短排列

構(gòu)成集合B,集合A與集合B是不是相同的集合?提示:是.集合中的元素具有無序性.C,集合C中包含幾個元素?提示:有5個元素.集合中的元素具有互異性.4.當(dāng)集合中的元素是具體的常數(shù)時,如何解決元素的互異性問題?如:2,

,

,

,

這些數(shù)組成的集合有幾個元素?提示:利用集合中的元素互不相等可解決互異性問題.5.當(dāng)集合中的元素含有參數(shù)時,互異性問題怎么解決?如:集合A中含有三個元素a,b,

c,若2∈A,如何探究實數(shù)a,b,c滿足的條件?提示:解題時,先考慮互異性,會列出許多不等式,給解題帶來很大困難,往往采用先

求值再檢驗的辦法:先根據(jù)集合中元素的確定性以及條件列出方程,可以解出字母

的所有可能取值,再代入集合中的各元素,利用元素的互異性進(jìn)行檢驗.考慮互異性,由2∈A得a=2,此時還要求b≠2,c≠2,b≠c;同理b=2,還要求a≠2,c≠2,a

≠c;c=2,還要求a≠2,b≠2,a≠b.具體解題時要注意這些不等式的處理方式,否則會

對解題造成很大的麻煩.集合中元素的特性1.確定性——作為一個集合中的元素,必須是確定的,也就是說,給定一個集合,這個

集合的元素也就確定了.2.無序性——對于一個給定的集合,集合中的元素并無先后順序,即任何兩個元素

都是可以交換順序的.3.互異性——對于一個給定的集合,集合中的元素一定是不同的.這就是說,集合中

的任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入同一個集合時只能算作集合的

一個元素.已知集合M中含有三個元素:2,a,b,集合N中含有三個元素:2a,2,b2,且M=N,求實

數(shù)a,b的值.思路點撥思路一:利用集合中元素的互異性列出關(guān)系式求解;思路二:利用集合相等的定義求

解.解析解法一:根據(jù)集合中元素的互異性,有

或

解得

或

或

再根據(jù)集合中元素的互異性,得a=0,b=1或a=

,b=

.解法二:∵兩個集合相等,∴其中的元素相同,∴

即

∵集合中的元素具有互異性,∴a,b不能同時為零.當(dāng)b≠0時,由②得a=0或b=

.當(dāng)a=0時,由①得b=1或b=0(舍去).當(dāng)b=

時,由①得a=

;當(dāng)b=0時,a=0(舍去).∴a=0,b=1或a=

,b=

.導(dǎo)師點睛

集合中元素的互異性主要體現(xiàn)在求出參數(shù)后要代入檢驗,同一集合中的元素要互

不相等.2|集合的表示方法的合理選擇列舉法和描述法各有優(yōu)點,應(yīng)根據(jù)具體問題確定采用哪種表示方法,一般遵循最簡

原則.當(dāng)集合中元素較多或有無限個時,不宜采用列舉法.1.使用列舉法表示集合時應(yīng)注意以下幾點:(1)元素個數(shù)少且有限時,要全部列舉出來,如{1,2,3,4};(2)元素個數(shù)多且有限時,可以列舉部分,中間用省略號表示,如“從1到1000的所有

自然數(shù)組成的集合”可以表示為{1,2,3,…,1000};(3)元素個數(shù)無限但有規(guī)律時,也可以用省略號表示,如自然數(shù)集N可以表示為{0,1,

2,3,…}.2.使用描述法表示集合時應(yīng)注意以下幾點:(1)寫清楚表示該集合中元素的符號,如數(shù)或點等;(2)說明該集合中元素的共同屬性,如方程、不等式、函數(shù)或幾何圖形等;(3)不能出現(xiàn)未說明的字母;(4)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi),用于描述的內(nèi)容力求簡潔、準(zhǔn)確.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?(1)被3除余2的整數(shù);(2)方程(x+1)(x2-2)=0的解集;(3)直線y=x-1,y=-x+1的交點組成的集合;(4)直角坐標(biāo)系內(nèi)第二象限的點組成的集合.思路點撥(1)類比奇數(shù)表示為x=2k+1,k∈Z.(2)求出方程的解后用列舉法表示.(3)聯(lián)立方程,求

出交點后用集合表示.(4)結(jié)合平面直角坐標(biāo)系第二象限內(nèi)點坐標(biāo)的符號特征表示.解析(1)被3除余2的整數(shù)表示為3k+2,k∈Z,用集合表示為{x|x=3k+2,k∈Z}.(2)解方程(x+1)(x2-2)=0得x=-1或x=±

,故其解集用集合表示為{-1,-

,

}.(3)由

解得

故兩直線的交點為(1,0).用集合表示為{(1,0)}.(4)代表元素是有序?qū)崝?shù)對(x,y),用描述法表示為{(x,y)|x<0且y>0}.3|集合中的參數(shù)問題1.已知元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的思路:當(dāng)a∈A時,若集合A是用描述法表示的,則a一定滿足集合中元素的共同特征,如滿

A是用列舉法表示的,則a一定等于集合A中某個

元素.反之,當(dāng)a?A時,結(jié)論恰恰相反.2.解決集合中元素含有參數(shù)的問題,一定要考慮全面,并注意將得到的參數(shù)的值代

回集合中,對解出的元素進(jìn)行檢驗,判斷是否滿足集合中元素的互異性.

行取舍.4.對于求解給定條件下的含參數(shù)的方程,需要對參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確的邏輯劃分.如研究

形如ax2+bx+c=0的方程的實數(shù)根個數(shù)的方法:(1)當(dāng)a=0時,原方程可化為bx+c=0的形式,再根據(jù)b的取值討論方程的實數(shù)根個數(shù).①若b≠0,則方程有一個實數(shù)根,為x=-

;②若b=0,c=0,則任意一個實數(shù)均為方程的實數(shù)根;③若b=0,c≠0,則方程無實數(shù)根.(2)當(dāng)a≠0時,需根據(jù)Δ的取值確定方程的實數(shù)根個數(shù):①若Δ=b2-4ac>0,則方程有兩個不相等的實數(shù)根;②若Δ=b2-4ac=0,則方程有兩個相等的實數(shù)根;③若Δ=b2-4ac<0,則方程沒有實數(shù)根.已知集合A={x|ax2-3x+1=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范圍;(2)若A中至多有一個元素,求a的取值范圍.思路點撥(1)若A=?,則方程ax2-3x+1=0無實數(shù)根,利用一元二次方程根的判別式小于0即可求

解;(2)由集合A中至多有一個元素,得A=?或A中只有一個元素,結(jié)合一元二次方程根

的個數(shù)及其性質(zhì),即可求解.解析(1)由題意,若集合A=?