專練09（整式的乘除和因式分解大題，10道）1．（2020·義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)七年級月考）化簡：（1）（2）．（3）已知，求代數(shù)式的值．【答案】（1）；（2）；（3），32【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式將括號展開，再合并同類項(xiàng)；（2）根據(jù)冪的乘方和積的乘方以及同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算；（3）將原式括號展開，合并同類項(xiàng)化簡，再將變形為，整體代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）==；（2）==；（3）==∵，∴，∴===32．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值，涉及的知識(shí)有：冪的乘方和積的乘方及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則，完全平方公式和平方差公式等，熟練掌握法則是解本題的關(guān)鍵．2．（2020·浙江金華市·群星外國語學(xué)校七年級月考）先化簡，再求值：（1），其中．（2），其中．【答案】（1），-24；（2），【分析】（1）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，去括號合并得到結(jié)果，再將所給式子代入計(jì)算；（2）原式利用整式的混合運(yùn)算計(jì)算化簡，再代入求得數(shù)值即可．【詳解】解：（1）==∵，∴原式===-24；（2）====將代入，原式==．【點(diǎn)睛】此題考查整式的混合運(yùn)算的化簡求值，注意利用計(jì)算公式計(jì)算，化簡后進(jìn)一步代入求得數(shù)值解決問題．3．（2020·浙江杭州市·七年級月考）先化簡再求值：（1）已知，求代數(shù)式的值；（2）已知，求代數(shù)式的值．【答案】（1）6；（2）13【分析】（1）先根據(jù)整式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將a2-3a+1=0，即a2-3a=-1整體代入計(jì)算可得；（2）先根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則計(jì)算原式，再將n的值代入計(jì)算可得．【詳解】解：（1）原式=9a2-12a+4-6a2+3a+5=3a2-9a+9，當(dāng)a2-3a+1=0，即a2-3a=-1時(shí)，原式=3（a2-3a）+9=3×（-1）+9=-3+9=6；（2）原式=-2n+2n2+1，當(dāng)n=-2時(shí)，原式=-2×（-2）+2×（-2）2+1=4+8+1=13．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的混合運(yùn)算-化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．4．（2020·浙江七年級期中）用分組分解法分解下列因式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【分析】利用分組分解法運(yùn)算即可．【詳解】解：（1）==；（2）===；（3）===；（4）===；（5）==；（6）===【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握分組分解法是解此題的關(guān)鍵．5．（2019·浙江嘉興市·七年級期中）已知與的乘積中不含和項(xiàng)，求的值.【答案】，．【分析】先把按多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則進(jìn)行運(yùn)算，再根據(jù)乘積不含和項(xiàng)，列出，，即可求解．【詳解】解：∵乘積中不含和項(xiàng)，∴，，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，靈活掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，注意各項(xiàng)符號的處理．6．（2020·浙江七年級月考）如圖①是1個(gè)直角三角形和2個(gè)小正方形，直角三角形的三條邊長分別是，其中是直角邊．正方形的邊長分別是．（1）將4個(gè)完全一樣的直角三角形和2個(gè)小正方形構(gòu)成一個(gè)大正方形（如圖②）．用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中的大正方形面積：方法一：_________________；方法二：_________________；（2）觀察圖②，試寫出這四個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系；（3）請利用（2）中等量關(guān)系解決問題：已知圖①中一個(gè)三角形面積是6，圖②的大正方形面積是49，求的值．（4）利用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，求：的值．【答案】（1）；；（2）；（3）25；（4）1000000【分析】（1）利用兩種方法表示出大正方形面積即可；（2）寫出四個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系即可；（3）利用得出的結(jié)果把原式變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．（4）利用完全平方公式進(jìn)行解答即可．【詳解】解：（1）方法一：（a+b）2；方法二：a2+2ab+b2；故答案為：（a+b）2；a2+2ab+b2；（2）（a+b）2=a2+2ab+b2；（3）a2+b2=（a+b）2-2ab=49-4×6=25．（4）9972+6×997+32=9972+2×997×3+32=（997+3）2=10002=1000000．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的幾何應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．7．（2019·浙江省龍游華茂外國語學(xué)校七年級期中）（閱讀理解）“若滿足，求的值”解：設(shè)，則，所以（解決問題）（1）若滿足，求的值．（2）若滿足，求的值．（3）如圖，正方形的邊長為，長方形的面積是500，四邊形和都是正方形，是長方形，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體的數(shù)值）．【答案】（1）920；（2）2020；（3）2100【分析】（1）根據(jù)舉例進(jìn)行解答即可；（2）設(shè)2020-x=c，2019-x=d，，則可得，，所以=，可得cd=2020，即可解答；（3）根據(jù)正方形ABCD的邊長為x，AE=10，CG=20，所以DE=（x-10），DG=x-20，得到（x-10）（x-20）=500，設(shè)（x-10）=a，（x-20）=b，從而得到ab=500，a-b=（x-10）-（x-20）=10，根據(jù)舉例求出a2+b2，即可求出陰影部分的面積．【詳解】解：（1）設(shè)（40-x）=m，（x-10）=n，則，，∴====；（2）設(shè)2020-x=c，2019-x=d，則，，===4040，∴；（3）∵正方形ABCD的邊長為x，AE=10，CG=20，∴DE=（x-10），DG=x-20，∴（x-10）（x-20）=500，設(shè)（x-10）=a，（x-20）=b，∴ab=500，a-b=（x-10）-（x-20）=10，∴a2+b2=（a-b）2+2ab=102+2×500=1100，∴陰影部分的面積為：a2+b2+2ab=1100+2×500=2100．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記完全平方公式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)用．8．（2020·浙江杭州市·七年級期中）閱讀理解并填空：（1）為了求代數(shù)式的值，我們必須知道的值．若，則這個(gè)代數(shù)式的值為_________，若，則這個(gè)代數(shù)式的值為_________，．．．．可見，這個(gè)代數(shù)式的值因的取值不同而變化，盡管如此，我們還是有辦法來考慮這個(gè)代數(shù)式的值的范圍．（2）把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行部分因式分解可以解決求代數(shù)式的最大（或最小）值問題．例如：，因?yàn)槭欠秦?fù)數(shù)，所以這個(gè)代數(shù)式的最小值是_________，此時(shí)相應(yīng)的的值是_________．（3）求代數(shù)式的最小值，并寫出相應(yīng)的的值．（4）求代數(shù)式的最大值，并寫出相應(yīng)的的值．【答案】（1）6；11；（2）2；-1；（3）最小值是-1，相應(yīng)的x的值是6；（4）最大值是21，相應(yīng)的x的值是-3．【分析】（1）把x=1和x=2分別代入代數(shù)式x2+2x+3中，再進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；

（2）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；

（3）先把給出的式子化成完全平方的形式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；

（4）根據(jù)完全平方公式把給出的式子進(jìn)行整理，即可得出答案．【詳解】解：（1）把x=1代入x2+2x+3中，得：12+2+3=6；

若x=2，則這個(gè)代數(shù)式的值為22+2×2+3=11；

故答案為6；11；

（2）根據(jù)題意可得：

x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，

∵（x+1）2是非負(fù)數(shù)，

∴這個(gè)代數(shù)式x2+2x+3的最小值是2，相應(yīng)的x的值是-1．

故答案為2；-1；

（3）∵x2-12x+35=（x-6）2-1，

∴代數(shù)式x2-12x+35的最小值是-1，相應(yīng)的x的值是6；

（4）∵-x2-6x+12=-（x+3）2+21，

∴-x2-6x+12的最大值是21，相應(yīng)的x的值是-3．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把給出的式子化成完全平方的形式進(jìn)行解答．9．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖①中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長為b的小正方形（如圖②），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為．（1）用含a、b的代數(shù)式分別表示、；（2）若，，求的值；（3）用a、b的代數(shù)式表示；并當(dāng)時(shí)，求出圖③中陰影部分的面積．

【答案】（1），；（2）77；（3）17【分析】（1）由圖中正方形和長方形的面積關(guān)系，可得答案；（2）根據(jù)，將a-b＝8，ab＝13代入進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)和，可求得圖中陰影部分的面積．【詳解】解：（1）由圖可得，，．（2），所以的值為77．（3）由圖可得：

所以圖中陰影部分的面積為17．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，數(shù)形結(jié)合、恰當(dāng)進(jìn)行代數(shù)式變形是解答本題的關(guān)鍵．10．（2020·浙江衢州市·七年級期中）（閱讀材料）我們知道，圖形也是一種重要的數(shù)學(xué)語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，而運(yùn)用代數(shù)思想也能巧妙地解決一些圖形問題．在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師準(zhǔn)備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片，其中甲種紙片是邊長為的正方形，乙種紙片是邊長為的正方形，丙種紙片是長為，寬為的長方形，并用甲種紙片一張，乙種紙片一張，丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個(gè)大正方形．（理解應(yīng)用）（1）觀察圖2，用兩種不同方式表示陰影部分的面積可得到一個(gè)等式，請你直接寫出這個(gè)等式．（拓展升華）（2）利用（1）中的等式解決下列問題．①已知，，求的值；②已知，求的值．【答案】（1）；（2）①13；②4044．【分析】（1）方法