由曲線求它的方程，

由方程研究曲線的性質(zhì)二、兩條曲線的交點(diǎn)

在研究直線與圓的方程時(shí)，我們已經(jīng)看到解析幾何主要推論下面兩個(gè)基本問題：1．由曲線求它的方程；2．利用方程研究曲線的性質(zhì).

下面讓我們通過實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)如何建立曲線的方程，以及如何利用方程以及曲線的性質(zhì)。例1．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M與兩條互相垂直的直線的距離的積等于1，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程并利用方程研究軌跡(曲線)的性質(zhì)。解：（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程：①建立直角坐標(biāo)系.取已知兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy；②設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)；③把幾何條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示：過點(diǎn)M分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，有軌跡上的點(diǎn)M與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于1，得點(diǎn)M是軌跡上的點(diǎn)|ME|·|MF|=1

因?yàn)辄c(diǎn)M與x軸的距離|ME|=|y|，與y軸的距離|MF|=|x|，所以上述條件轉(zhuǎn)化為方程的表示：|x|·|y|=1.這個(gè)方程等價(jià)于xy=1或xy=－1.

這就是說，M(x，y)在曲線上，則它的坐標(biāo)滿足方程，以|x|·|y|=1的解為坐標(biāo)的點(diǎn)M(x，y)都在曲線上。因此方程|x|·|y|=1為所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程.④證明(略)；（2）利用方程研究曲線的性質(zhì)：①曲線的組成

由于方程|x|·|y|=1等價(jià)于下列兩個(gè)方程xy=1或xy=－1，每一個(gè)方程都表示一條曲線，由此可知表示方程的曲線由上述兩個(gè)方程的曲線組成；②曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

由方程|x|·|y|=1，可推知x≠0且y≠0，因此方程的曲線與兩坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，方程對(duì)應(yīng)的曲線被兩條坐標(biāo)軸分開；③曲線的對(duì)稱性質(zhì)

在方程|x|·|y|=1中，以－x代替x，這個(gè)方程并未變化，因此方程的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

在方程|x|·|y|=1中，以－y代替y，這個(gè)方程也未變化，因此方程的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱;

在方程|x|·|y|=1中，以－x代替x，同時(shí)以－y代替y，這個(gè)方程也未變化，因此方程的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.

由以上分析可知，這個(gè)方程所表示的曲線，既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形。因此在我們研究方程的曲線時(shí)，只要研究它在第一象限那一部分曲線即可；④曲線的變化情況

由曲線的對(duì)稱性質(zhì)，我們只考慮第一象限的情況(x>0，y>0)，由方程可知，當(dāng)變量x逐漸變大時(shí)，變量y的值逐漸變小，曲線無限地靠近x軸；當(dāng)變量x逐漸變小時(shí)，變量y的值逐漸變大，曲線無限地靠近y軸；⑤畫出方程的曲線列表：x…123…y…321…

由以上對(duì)方程的分析和列表，可以畫出方程的曲線在第一象限那一部分；再根據(jù)曲線的對(duì)稱性，可畫出方程所表示的整個(gè)曲線.求曲線方程的一般步驟：1.建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；2.用

M(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn);3.把幾何條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示；4.化簡：化方程為最簡形式；5.證明：驗(yàn)證化簡過的方程所表示的曲線是否是已知點(diǎn)的軌跡.

總結(jié)例2、設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(－1,－1)、(3,7)求線段AB

的垂直平分線的方程.法一：求AB

的中點(diǎn)，再求所求直線的斜率法二：設(shè)所求直線上任一點(diǎn)

P(x,y)∴x+2y

－7=0①②③

例題例3．已知一曲線在x軸的上方，它上面的每一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A(0，2)的距離減去它到x軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程。解：設(shè)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x，y)，

作MB⊥x軸，B為垂足，則點(diǎn)M屬于集合P={M||MA|－|MB|=2}，由距離公式，點(diǎn)M適合的條件可表示為化簡為x2=8y，

因?yàn)榍€在x軸的上方，所以y>0，顯然(0，0)是這個(gè)方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程是x2=8y(y≠0).例4．已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)A、B之間的距離為2a，點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之比為2：1，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。解：以兩定點(diǎn)A、B所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由AB=2a，可設(shè)A(－a，0)，B(a，0)，M(x，y)，∴∵|MA|：|MB|=2：1，化簡得所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為課堂練習(xí)1．到A(2，－3)和B(4，－1)的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是（

）（A）x－y－1=0

（B）x－y+1=0

（C）x+y－1=0

（D）x+y+1=0C2．直角坐標(biāo)系內(nèi)到兩坐標(biāo)軸距離之差等于1的點(diǎn)的軌跡方程是（）（A）|x|－|y|=1

（B）|x－y|=1

（C）|x|－|y|=±1

（D）|x±y|=1C3．已知點(diǎn)M(－2，0)、N(2，0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)的軌跡方程是（

）（A）x2+y2=4(x≠±2)

（B）x2+y2=4

（C）x2+y2=16

（D）x2+y2=16(x≠±4)A4．方程所表示的圖形是（

）（A）x2=y的圖形在第二象限的部分（B）與x2=y的圖形相同（C）與x2=－y的圖形相同（D）x2=－y的圖形在第四象限的部分A5．方程(x+a)(y－a)=0表示的曲線是（

）（A）兩條相交的直線（B）一個(gè)點(diǎn)(－a，a)（C）與方程組的圖形相同（D）第一、三象限的角平分線A6．已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面積為10，求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程。4x－3y－16=0或4x－3y+