必考點(diǎn)03平面向量的應(yīng)用

經(jīng)典必考題題型一向量在平面幾何證明問(wèn)題中的應(yīng)用

【例1】(1)四邊形A8Q9中，AD=BC，(而+麗)?(而-而)=0,則這個(gè)四邊形是()

A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形

(2)在中，AB=2AC,動(dòng)點(diǎn)M滿足戒?(碇+/)=0,則直線AM一定經(jīng)過(guò)AABC的()

A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心

【解題技巧提煉】用向量證明平面幾何問(wèn)題的兩種基本思路

(1)向量的線性運(yùn)算法的四個(gè)步驟：

①選取基底；

②用基底表示相關(guān)向量；

③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；

④把計(jì)算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.

(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步躲：

①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；

②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；

③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；

④利用向量關(guān)系回答幾何問(wèn)題.

題型二向量在物理中的應(yīng)用

【例2】(1)物體受到一個(gè)水平向右的力6及與它成60。角的另一個(gè)力尸2的作用.已知《的大小為2N,它們

的合力F與水平方向成30。角，則用的大小為()

A.3NB.V3NC.2ND.-N

(2)某人在靜水中游泳時(shí)速度為4km/h,水的流向是由西向東，水流速度為2km/h,此人必須沿與水流方

向成度角游泳，才能沿正北方向前進(jìn).

【解題技巧提煉】用向量方法解決物理問(wèn)題的“三步曲”

題型三利用正弦定理、余弦定理解三角形【例31(2021

?天津）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b>c,且sinA:sinB:sinC=2:l:&,b=\[l.

(1)求a的值；

(2)求cosC的值；

(3)求sinQC-?)的值.

【解題技巧提煉】

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即

根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過(guò)解方程求得未知元素.

(2)正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角

函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.

題型四面積問(wèn)題

【例4】(2021?新高考H)在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)為a,b,c,b=a+\,c=a+2.

(I)若2sinC=3sinA,求AABC的面積；

(II)是否存在正整數(shù)。，使得A4BC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【解題技巧提煉】

1.求三角形面積的方法

(1)若已知三角形的一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)及該角的兩邊長(zhǎng)度，代入公式求面積；

(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，或直接代入海倫公

式求面積.總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵.

2.已知三角形面積求邊、角的方法

(1)若求角，就尋求夾這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解；

(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解.

題型五判斷三角形的形狀

【例5】(1)在AA8c中，^sin2A+sin2B<sin2C>則AABC的形狀是

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.不能確定

sinj至+B)

(2)在?A8C中，若滿足(2J,則該三角形的形狀為()

bcos(2^--/l)

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【解題技巧提煉】

1.判斷三角形形狀的2種常用途徑

-

邊

角化

判：通過(guò)正弦定理、余弦定理化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒

斷：等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷

途

邊

化角通過(guò)正弦定理、余弦定理化邊為角，利用三角變

徑

換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷

.2.判斷三角形的形狀的注意點(diǎn)

在判斷三角形的形狀時(shí)一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件.另外，在變形過(guò)程中要注意角A,

B,C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響，在等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免

漏解.

題型六化簡(jiǎn)與證明

【例6】在AAHC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)AABC的面積為S,且滿足

S=^-（a2+b2-c2）.

（1）求角C的大??；

（2）求sinAsin6的最大值.

【解題技巧提煉】

解三角形中的最值或范圍問(wèn)題主要有兩種解決方法：一是將問(wèn)題表示為邊的形式，利用基本不等式求得最

大值或最小值；二是將問(wèn)題用三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)表示，結(jié)合南的范圍確定最值.或范圍

題型七解三角形的實(shí)際應(yīng)用

【例7】（1）福建省寧德市2021屆高三畢業(yè)班第二次（5月）質(zhì)量檢查考試數(shù)學(xué)理試題）如圖，為了測(cè)量

某濕地A,8兩點(diǎn)間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點(diǎn)C,D,E.從D點(diǎn)測(cè)得MDC=67.5。，從C點(diǎn)

測(cè)得酎8=45。，?fiCF=75o,從E點(diǎn)測(cè)得回BEC=60。.若測(cè)得DC=2石，CE=夜（單位：百米），則A,8

兩點(diǎn)的距離為（）

C.3D.2G（2）（2021?甲卷）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為

8848.86（單位：⑼,三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖,

現(xiàn)有A,B,C三點(diǎn)，且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'滿足ZA'C?=45。，

44'"。=60。.由C點(diǎn)測(cè)得8點(diǎn)的仰角為15。，33'與CC'的差為100：由3點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45。，

則A,C兩點(diǎn)到水平面AB'C的高度差A(yù)4'-CC'約為（）（6々1.732）

B

______________

cA.346B.373C.446D.473

【例8】已知島4南偏西38。方向，距島A3海里的3處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/

小時(shí)的速度向島北偏西22。方向行駛，問(wèn)緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船?

（參考數(shù)據(jù)：sin38°“上叵,sin22°^之叵）

1414

【解題技巧提煉】

1.求解距離問(wèn)題，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放

在另一確定三角形中求解.確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.

2.高度也是兩點(diǎn)之間的距離，其解法同測(cè)量水平面上兩點(diǎn)間距離的方法是類似的，基本思想是把要求解的

高度（某線段的長(zhǎng)度）納入到一個(gè)可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識(shí)求出該高度.

3.測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距

離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解.

對(duì)點(diǎn)變式練題型一向量在平面幾何證明問(wèn)題中的應(yīng)用

1.如圖，在等腰梯形ABC。中，A8=8,BC=4,CD=4.點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則|西+麗|的取值范圍是

.[6.4+4有B.[473,81C.[4&,8JD.[6,12]

題型二向量在物理中的應(yīng)用

2.加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中重要組成部分，某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)

時(shí)，若兩只胳膊的夾角為60。，每只胳膊的拉力大小均為500N,則該學(xué)生的體重（單位：kg）約為

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g=10m/s2,6=1.732）

題型三利用正弦定理、余弦定理解三角形

3.已知EL4BC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,6sin=asin8

⑴求角A；

(2)若b=6,BC邊上的高為翅，求c.

2

題型四面積問(wèn)題

4.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其中c=4,且滿足acosC=csinA.

⑴求角C的大?。?/p>

⑵若2sin[8+?)=c-2石cosA,求的面積.

題型五判斷三角形的形狀

5.AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若6c=人收函+限osA),

cos(7-A)sin[?+A)=Z1則”1sc的形狀為()

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.不確定

題型六三角形的最值或范圍問(wèn)題

6.在“WC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2(。-acosC)=6c.

⑴求4;

(2)若a=2,求AA5C面積的最大值.

題型七解三角形的實(shí)際應(yīng)用7.如圖，航空測(cè)量的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，己知飛機(jī)飛行

的海拔高度為10000m,速度為50m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°,經(jīng)過(guò)420s后看山頂?shù)母┙菫?/p>

45°,則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為(血=1.4，＞/3=1.7)()

.7350mB.2650mC.3650mD.4650m

8.為加快推進(jìn)“5G+光網(wǎng)"雙千兆城市建設(shè)，如圖，在東北某地地面有四個(gè)5G基站A,B,C,D.已知C,

。兩個(gè)基站建在松花江的南岸，距離為10Gkm；基站A,B在江的北岸，測(cè)得NACB=75。,

ZACD=120°,ZADC=3O°,NAT>8=45。，則4,8兩個(gè)基站的距離為（）

B.30（百一l）km

C.30（&-l）kmD.lO^km

9.當(dāng)太陽(yáng)光與水平面的傾斜角為60。時(shí)，一根長(zhǎng)為2”的竹竿如圖所示裝置，要使它的影子最長(zhǎng)，則竹竿

與地面所成的角是（）

B.30°C.45°D.60°

變式綜合練已知5%比=3,點(diǎn)M是邑43c內(nèi)一點(diǎn)且赤+2荻=兩，則用M3C的面積為

￡31

A.B.C.D.

4342

2.在水流速度lOknVh的自西向東的河中，如果要使船以106km/h的速度從河的南岸垂直到達(dá)北岸，則船

出發(fā)時(shí)行駛速度的方向和大小為（）

A.北偏西30°，20km/hB.北偏西60,10立km/h

C.北偏東30"，1072km/hD.北偏東60。，20km/h

3.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,h,c,若f<cosA,則AABC必為（）

b

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰三角形

4.在AABC中，若A=W，cosB=—,b=2,貝lja=（）

37

A.&B.逐C.3D.V7

5.在中,角A,B,。所對(duì)的邊分別是mb,c,已知a,b,c成等差數(shù)列，且3sinA=4sin8,則

cosA的值為（）

1111

A.——B.-C.—D.-

4233

6.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=3也,c=2&，cosB=—,則AABC的面

3

積為（)

A.473B.276C.730D.4指

7.【多選】在AA8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,己知（b+c）:（c+a）:（a+，）=4:5:6,則

下列結(jié)論正確的是（）

A.sinA:sin2?:sinC=7:5:3

B.CAAB<0

C.若c=6,則的面積是15

D.若b+c=8,則“ABC夕卜接圓半徑是撞

3

8.【多選】已知點(diǎn)。為AABC外接圓的圓心，|衣|=6,ZOAC=30°,貝"()

A.0C=^3B.0C=2行

C.0A0C=6D.OAOC=-6

9.在MBC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè)HABC的面積為S,其中”=26，b1+c1=2A,

則S的最大值為.

10.校運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15。的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第

一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60。和30。，第一排和最后一排的距離為10"m（如圖所示），旗

桿底部與第一排在一個(gè)水平面上，若國(guó)歌時(shí)長(zhǎng)為50s,升旗手應(yīng)以m/s的速度勻速升旗.

11.已知輪船A和輪船8同時(shí)離開(kāi)C島，A船沿北偏東30。的方向航行，B

船沿正北方向航行（如圖）.若A船的航行速度為40nmile/h,lh后，B船測(cè)得A船位于B船的北偏東45。

的方向上，則此時(shí)A,B兩船相距nmile.

A

如圖，在AABC中，點(diǎn)。是邊BC上一點(diǎn)，AB=14,BO=6,A￡>=10

⑴求的大小;

(2)若“ABC的面積為356，求邊AC的長(zhǎng).

13.AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且吧七四￡=±1￡,

sinCa+h

⑴求角8的大小;

(2)若6=3,。為AC邊上一點(diǎn)，BD=2,且—,求AMC的面積.從①8。為DB的平分線，②。為AC

的中點(diǎn)，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上并作答.

必考點(diǎn)03平面向量的應(yīng)用

經(jīng)典必考題題型一向量在平面幾何證明問(wèn)題中的應(yīng)用

【例1】⑴四邊形A8C3中，AD=BC，（而+%萬(wàn)）?（而-詬）=0,則這個(gè)四邊形是（〉

A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形

【答案】A

【解析】由題意，AD=BC

即且AD〃BC

故四邊形ABC。為平行四邊形

^AB+Aby^Aii-AD^=ACDB=O

故AC_LBE>

即四邊形ABC。為菱形

故選：A

（2）在AABC中，AB=2AC,動(dòng)點(diǎn)M滿足麗7.（比+而）=0,則直線AM一定經(jīng)過(guò)AABC的（）

A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心

【答案】B

【解析】延長(zhǎng)AC,使得AC=C￡>,

則肥+/=配+而=而，

因?yàn)辂?（沅+/）=0,所以4V/_L8￡）,

因?yàn)锳B=2AC,所以AB=A￡）,

所以△M￡>是等腰?角形,

所以點(diǎn)M在BC的中垂線上，所以AM平分ZBAC,

直線AM一定經(jīng)過(guò)AABC的內(nèi)心.

故選：B.

【解題技巧提煉】用向量證明平面幾何問(wèn)題的兩種基本思路

（1）向量的線性運(yùn)算法的四個(gè)步驟：

①選取基底；

②用基底表示相關(guān)向量；

③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；

④把計(jì)算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.

(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟：

①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；

②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；

③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；

④利用向量關(guān)系回答幾何問(wèn)題.

題型二向量在物理中的應(yīng)用

【例2】(1)物體受到一個(gè)水平向右的力￡及與它成60。角的另一個(gè)力工的作用.己知耳的大小為2N,它們

的合力F與水平方向成30。角，則用的大小為()

A.3NB.73NC.2ND.-N

【答案】C

【解析】由題得NAO8=60,NAOC=30。，

所以NBOC=NBCO=30。,所以08=,所以10%|=|盛|，

所以尸2和￡大小相等，都為2N.故選：C

(2)某人在靜水中游泳時(shí)速度為妹m/h,水的流向是由西向東，水流速度為2km/h,

此人必須沿與水流方向成度角游泳，才能沿正北方向前進(jìn).

【答案】120

【解析】設(shè)方表示人游泳的速度，礪表示水速，

由題意可知，若人能沿正北方向前進(jìn)，則人游泳的速度與水速的合速度元方向?yàn)檎保驗(yàn)閨麗卜4,

|OB|=2,所以Z4OC=30。，所以ZAQB=120。，

即此人必須沿與水流方向成120度角游泳，才能沿正北方向前進(jìn).

故答案為：120.

OB

【解題技巧提煉】用向量方法解決物理問(wèn)題的“三步曲”

——>［把物理問(wèn)題中的相關(guān)物用向量表示

.［轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題的模型，通過(guò)向量的運(yùn)算使問(wèn)

題得以解決

——』把結(jié)果還原為物理問(wèn)題.第I一工十：1f?士的.一宿皿

---------------------------1題型二利用正弦定理、余弦定理解二角形

【例3】(2021?天津)在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

sinA:sin8:sinC=2:1:0,6=0.

(1)求。的值；

(2)求cosC的值；

(3)求sin(2C-令的值.

【解析】(i);AABC中，sinA:sinB:sinC=2:1:0,.'.a:b:c=2'.l：42,

b=y/2，a=2b=2>/2,c=V2Z>=2.

(2)AABC中，由余弦定理可得cosC=.+”--c2=8+十4J.

2ab2x20x04

(3)由(2)可得sinC=V1-cos2C=—,

4

I

，sin2c=2sinCcosC=-----，cos2C=2cos2C-1=-.

88

sin(2C--)=sin2Ccos--cos2Csin—=_L.

66616

【解題技巧提煉】

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即

根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過(guò)解方程求得未知元素.

(2)正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角

函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.

題型四面積問(wèn)題

【例4】(2021?新高考II)在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)為a,b,c,b=a+\,c=a+2.

(I)若2sinC=3sinA,求AA8c的面積；

(ID是否存在正整數(shù)〃，使得AABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】(Z)v2sinC=3sinA,

根據(jù)正弦定理可得2c=3a,

?：b=a+\,c=a+2,

.,.a=4ib=5tc=6.

2i22

在A4BC中，運(yùn)用余弦定理可得cos。=匕生二三=

2x4x58

,/sin2C+cos2C=1,

sinC=d'-cos2c=Jl-

」而inC」x4x5工皿

84

(//)\,c>b>a

.?.AABC為鈍角三角形時(shí)，角C必為鈍角,

.,.0<67<3?

?.?三角形的任意兩邊之和大于第三邊，

.'.a+b>c>即a+a+l>a+2,即a>l,l<a<3>

■jo為正整數(shù)，.1a=2.

【解題技巧提煉】

1.求三角形面積的方法

(1)若已知三角形的一個(gè)角(南的大小或該角的正、余弦值)及該角的兩邊長(zhǎng)度，代入公式求面積；

(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，或直接代入海倫公

式求面積.總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵.

2.已知三角形面積求邊、角的方法

(1)若求角，就尋求夾這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解；(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)

有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解.題型五判斷三角形的形狀

【例5】(1)在AABC中，若$詒%+$皿28〈$皿2(7,則AABC的形狀是

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.不能確定

【答案】A

【解析】因?yàn)樵贏ABC中,滿足sin?A+sin*〈sin?C,

由正弦定理知sinA=W，sinB==,sinC=三，代入上式得標(biāo)+〃<,2,

2A2A2A

又由余弦定理可得cosC="-c<。因?yàn)镃是三角形的內(nèi)角，所以Ce(g,;r),

2ab2

所以A48c為鈍角三角形，故選A.

sin("+B)

(2)在回A8C中，若滿足(2則該三角形的形狀為()

bcos(2乃一4)

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【解析】由正弦定理可得sinA=a=sm(「+B)?osB,

sinBbcos(2^-A)cosA

所以sinAcosA=sinBcosB,

所以sin2A-sin23=0,

所以sin2A-sin24=2cos(A+3)sin(A-B)=0,

所以cos(A+8)=0或sin(A-8)=0,

因?yàn)锳+3W(0,4),A—3c(一肛乃)，

所以A+B=1或A—B=0,

2

所以。=1或4=3，

2

所以AA8c是直角三角形或等腰三角形，故選：D

【解題技巧提煉】

判百方就J通過(guò)正弦定理、余弦定理化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒

斷七巴上力等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷

途

徑通過(guò)正弦定理、余弦定理化邊為角，利用三角變

倭出廠換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷

1.判斷三角形形狀的2種常用途徑?_____________________________

2.判斷三角形的形狀的注意點(diǎn)

在判斷三角形的形狀時(shí)一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件.另外，在變形過(guò)程中要注意角A,

B,C的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響，在等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免

漏解.

題型六化簡(jiǎn)與證明

【例6】在aAHC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)AABC的面積為S,且滿足

S=曰(/+/一。2).

(1)求角c的大??；

(2)求sin4sin3的最大值.

【解析】(1)由題意可知！。/?5111。='^*2。6(：05。.

24

所以tanC=J9.

因?yàn)?<C<?,

TT

所以C=4：

3

(2)由已知sinAsin8

27r

=sinA?sin(4-C-A)=sinA-sin(-------A)

3

.4/G人^.11/0人%J

=sinA?(——cosA+—smA)=——sin2A——cos2A+-=—sin(2A----)4-—?

22444264

因?yàn)?<A<—<2A-^-<—7i,

3666

7TTTTT3

所以2A--=一即A=—n寸，sinAsin8取最大值一.

6234

3

所以sinAsinB的最大值是一.

4

【解題技巧提煉】

解三角形中的最值或范圍問(wèn)題主要有兩種解決方法：一是將問(wèn)題表示為邊的形式，利用基本不等式求得最

大值或最小值；二是將問(wèn)題用三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)表示，結(jié)合角的范圍確定最值.或范圍題型七解

三角形的實(shí)際應(yīng)用

【例7】(1)福建省寧德市2021屆高三畢業(yè)班第二次(5月)質(zhì)量檢查考試數(shù)學(xué)理試題)如圖，為了測(cè)量

某濕地4B兩點(diǎn)間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點(diǎn)GD,E.從。點(diǎn)測(cè)得幽DC=67.5。，從C點(diǎn)

測(cè)得MCD=45。，0BC￡=75",從E點(diǎn)測(cè)得E18EC=60。.若測(cè)得DC=26,CE=夜(單位：百米)，則A,B

兩點(diǎn)的距離為()

A.而B-2&

C.D.273

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，在蜘DC中，MCD=45°,EMDC=67.5°,DC=26,

貝幅DAC=180°—45°—67.5°=67.5°,則AC=DC=2也,

在E1BCE'中，0BC￡=75°,SBfC=60°,CE=拒，

則（3E8C=180°-75°-60°=45°,

CEBCCEsinNBEC

則有變形可得BC=

sinZEBCsinNBECsinNEBC

2

在中，AC=2y/3,8C=G，EMCB=180°-ElACD-06CE=60",

則AB2=AC2-\-BC2-2ACBCcos^ACB=9,

貝l]AB=3.故選：C.

（2）（2021?甲卷）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：機(jī)）,

三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A,8，C三點(diǎn),

且力，B,C在同一水平面上的投影A,B1,C'滿足N4'C'8'=45。，NAEC=60。.由C點(diǎn)測(cè)得8點(diǎn)的

仰角為15。，88'與CC'的差為io。；由8點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45。，則A,C兩點(diǎn)到水平面A'8'C'的高度

差A(yù)4，-CC約為（)(6=1.732)

A.346B.373D.473

【答案】B

【解析】過(guò)C作CH_L8用于H,過(guò)8作于M,

則NBC〃=15°,BH=100,ZABM=45°,CH=CB,AB=BM=AM,BR=MA!,NCA'占=75°

tanZBCH=tan15°=tan(45°-30°)=3妗-1ali30。=2_6,sin75°=sin(45°+30°)=—(—+-)

1+tan450tail30°222

則在RtABCH中，CH=———=100(2+G),，Ca=100(2+G)

tanNBCH

在△A6C中，由正弦定理知，A'B'=————sinNAC'8'=100(G+l),AM=100(后+1),

smZC'A'B'

-CC=AM+=100(^+1)+100?373,

故選：B.

M

【例8】已知島A南偏西38。方向，距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處

的一艘走私船正以10海里/小時(shí)的速度向島北偏西22。方向行駛，問(wèn)緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好

用0.5小時(shí)能截住該走私船？

（參考數(shù)據(jù)：sin380?—,sin22°?—）

1414

【解析】如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，。為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為x海里/小時(shí)，結(jié)

合題意知8c=0.5x,4c=5,N84C=18（T-38°-22o=120。.

由余弦定理可得8C2=AB2+AC2-2A8ACCOS120°,

所以8。2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14.

5X近r-

又由正弦定理得sin/ABC=A（晉所以NA8C=38。,

又/54。=38。，所以8C〃A￡>,

故緝私艇以14海里/小時(shí)的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時(shí)截住該走私船.

【解題技巧提煉】

1.求解距離問(wèn)題，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放

在另一確定三角形中求解.確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.

2.高度也是兩點(diǎn)之間的距離，其解法同測(cè)量水平面上兩點(diǎn)間距離的方法是類似的，基本思想是把要求解的

高度（某線段的長(zhǎng)度）納入到一個(gè)可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識(shí)求出該高度.

3.測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問(wèn)題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距

離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解.

對(duì)點(diǎn)變式練題型一向量在平面幾何證明問(wèn)題中的應(yīng)用

1.如圖，在等腰梯形ABCD中，48=8,8C=4,CO=4.點(diǎn)/>在線段AO上運(yùn)動(dòng)，則|雨+而|的取值范圍是

D

.f6,4+4x/3]B.[4>/3,8]C.[4及,8JD.[6,12]

【答案】B【解析】如圖，以48中點(diǎn)為原點(diǎn)，A8所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,

則A(-4,0),8(4,0),C(2,26),D(-2,2^),

易知，ZDAO=60,故AD方程為：y=g(x+4),

故設(shè)尸(X,G(X+4)),-4<X<-2.

則⑸=(7_兌_石(工+4)),PB=(4-x,-V3(x+4)j,

詡+P*=(_2x,—26(x+4)),

2222

|S4+PB|=4X+12(X+4)=16[(X+3)+3],

^-4<x<-2,

0|RW+Pgf最小值為16x3=48,最大值為I6X[(-4+3)2+3]=16X4=64,

|麗+得團(tuán)[46,8]

故選：B.

yti

工D________C

“',題型二向量在物理中的應(yīng)用

2.加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中重要組成部分，某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)

時(shí)，若兩只胳膊的夾角為60。，每只胳膊的拉力大小均為500N,則該學(xué)生的體重（單位：kg）約為

（）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g=10m/s2,V3^1.732）

87C.89D.91

【解析】設(shè)兩只胳膊的拉力分別為耳,豆，因=|同=500,＜解用＞=60。,

；.|耳+訃+耳）2=田+工+2R.瓦=《250000+250000+2x500x500x1=500g=866,

=866，解得m=86.6?87（版）.

?,?學(xué)生的體重約為87版.故選：B.

題型三利用正弦定理、余弦定理解三角形

3.已知姐8c的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為mb,c,〃sin=〃sinB

⑴求角A;

⑵若X，BC邊上的高為半，求c.

【解析】⑴由己知條件得bsin—=asinB,

A

由正弦定理得sinBcos—=sinAsinB,

2

A_A1

團(tuán)sinBwO,0cos—=sinA,[Hsin—=-,

222

八4口八A?！?71,,71

又用OvA〈兀，^0<—<—,^—=—^A4=—；

（2）由三角形面積公式得

⑸c_136_3&_1.兀_36、

=c=A

己3-x---ci=----a，SARC-x6xosin-=----c

"ABRCr224A232

3g3百,

回---ci=----cfLJJa-2c,

42

由余弦定理得/=36+/-6c,將a=2c代入可得c2+2c-12=0.

解得c=JiB'—1或c=—JT5—1（舍去）,

Ajifc=713-1.

題型四面積問(wèn)題

4.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其中c=4,且滿足acosC=csin4.

⑴求角C的大?。?/p>

⑵若2sin（8+?）=c-2GcosA,求AABC的面積.

【解析】（1）由題意，acosC=csinA,結(jié)合正弦定理三=二=’7；

sinAsmBsinC

故sinAcosC=sinCsinA

又Aw（0,乃），故sinAwO

故cosC=sinC,BPtanC=1,又Cw（0,萬(wàn)）

.,.C=?（2）由題意2sin[8+￡）=c-2后cosA,又8=1-A-C=3-A故2sin（乃-A）=c-26cosA

2sinA=4—2>/3cosA?-sinA+5/3cosA=22sin(A+—)=2U|Jsin(A+—)=1,/.A4--=—4-2k冗,kwZ又

Aw(0,萬(wàn))

%冗、ac1J2

??A=:由—―,sinA=—,c=4,sinC=——

6sinAsinC22

代入可得：a=20

n4〃71.門?/乃乃、?萬(wàn)冗冗.兀J5+巡

B=TT-A-C=——,sinn=sin(—+—)=sin—cos—+cos—sin—=-----------

124343434

=LesinB=-x2>/2x4x?+娓

?s2+20

-24ABe

224題型五判斷三角形的形狀

5.AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,^3c=Z>(sinA+V3cosA),

C0S(j-A)Sin[?+A)=l,則4Ase的形狀為()

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.不確定

【答案】C

【解析】因?yàn)橛襝=b(sinA+GcosA),

所以6sinC=sinB(sinA+GcosA)

5/3sinC=Gsin(4一A-B)=JJsin(A+3)=5/3sinAcosB+GeosAsinB,

所以百sinAcosB+GcosAsinB=sin8sinA+石sin8cosA

則sinB=73cosB,即tanB=G,故8=g.

當(dāng)sin(A+工]=二時(shí)，所以A=J或A=g.若A=g,則。=1.若A=g,則。=彳.

(6)2626226

當(dāng)sin(A+2)=-@時(shí),A+—=—=>A=—(舍去)，

[6)2636

因此△A5C的形狀為直角三角形.

故選：C

題型六三角形的最值或范圍問(wèn)題

6.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,h,c,且20-acosC)=gc.

⑴求A；

(2)若a=2,求AABC面積的最大值.

【解析】⑴由正弦定理得2(sinB-sinAcosC)=若sinC,

乂團(tuán)sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

團(tuán)2cosAsinC=GsinC,又團(tuán)sinCwO,團(tuán)2cosA=百，0cosA=-

故在△ABC中，A=30。；

(2)由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosAy

2222

04=fe+c-2bccos30°=b+c-羋1bc>(2-y/3)bc,

0^-<=4(2+百)，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，

OAABC面枳5=2a對(duì)114=1兒42+后.當(dāng)且僅當(dāng)/?=￡"時(shí)取等號(hào),

24

故AASC面積的最大值為2+百.

題型七解三角形的實(shí)際應(yīng)用

7.如圖，航空測(cè)量的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)飛行的海拔高度為10000m,速度為

50m/s.某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5。，經(jīng)過(guò)420s后看山頂?shù)母┙菫?5。，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為

(0=1.4，6=1.7)()

.7350mB.2650mC.3650mD.4650m

【答案】B

【解析】如圖，設(shè)飛機(jī)的初始位置為點(diǎn)A,經(jīng)過(guò)420s后的位置為點(diǎn)B,山頂為點(diǎn)C,作SLAB于點(diǎn)￡),

則ZBAC=l5°,NCBD=45°,所以ZACB=30°,

在A/WC中，A5=50*420=21000,

A3BC

由正弦定理得

sinZACBsinZBAC

8c=21^92xsin15°=10500

2

因?yàn)镃O_LA8,

所以C￡>=BCsin45°=10500（^-&）x拳=10500（K-1）=7350,

所以山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為10000-7350=2650（m）.

故選：B.

為加快推進(jìn)“5G+光網(wǎng)"雙千兆城市建設(shè)，如圖，在東北某地地面有四

個(gè)5G基站A,B,C,D.已知C,。兩個(gè)基站建在松花江的南岸，距離為lObkm；基站A,B在江的北

岸，測(cè)得NACB=75。，ZACD=120°,NM>C=30。，ZADB=45°,則A,B兩個(gè)基站的距離為()

106kmB.30（6-l）km

C.30（72-l）kmD.10瓜m

【答案】D

【解析】在/XACD中，ZADC=30°,ZACD=75°+45°=120°,

所以NC4￡>=30",有N4）C=NC4D,所以AC=CD=10J5,

在ABDC中，NCBO=180°-(75°+45°)=60°,

由正弦定理，得8。=如叵包巴=5&+5指，

sin60

在AABC中，由余弦定理，得

AB2=AC2+BC2-2AC-BCcosZBCA=(1ON/3)2+(5>/2+5X/6)2-2X1OQX(5四+5向COS75"=500,

所以AB=106，即兩個(gè)基站A、B之間的距離為106%"?.

故選：D

9.當(dāng)太陽(yáng)光與水平面的傾斜角為60。時(shí)，一根長(zhǎng)為2機(jī)的竹竿如圖所示裝置，要使它的影子最長(zhǎng)，則竹竿

與地面所成的角是()

2m

A.150°B.30°C.45°D.60°

/60。//—

【答案】B

【解析】設(shè)竹竿與地面所成的角是。，影子長(zhǎng)為m?，由正弦定理得

2_x

sin60°-sin(120°-a)?

所以x=W^sin(12(T-a),

因?yàn)?()。＜120。一。＜12()。，

所以當(dāng)120。一￡=90。，即a=30。時(shí),x取得最大值,

所以竹竿與地面所成的角為30°時(shí)，影子最長(zhǎng)，

故選：B

標(biāo)［寶女1,已知SAABC=3,點(diǎn)M是0A3C內(nèi)一點(diǎn)且礪+2礪=兩，則0M3C的面積為

()

11-