【特供】11.1余弦定理-2同步練習(xí)一．填空題1．如圖，在三棱錐中，，都是正三角形，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成角為，則的取值范圍為_________．2．在中，角所對的邊分別為，若，，若，的周長為，的面積為，則的值是______.3．銳角的內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.若，且的外接圓半徑為1，則周長的取值范圍為___________.4．如圖，在中，，，為外一點(diǎn)，且，，的面積為，則______.5．已知四面體的所有棱長均為，．分別為棱．的中點(diǎn)，為棱上異于．的動(dòng)點(diǎn)．則下列結(jié)論中正確的結(jié)論的序號為__________．①線段的長度為；②若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則無論點(diǎn)與如何運(yùn)動(dòng)，直線與直線都是異面直線；③的余弦值的取值范圍是；④周長的最小值為．6．已知點(diǎn)為的外心，，，，若，則______．7．在中，角，所對的邊分別為，已知，，，則邊上的中線長_________．8．已知平面向量，的夾角為45°，且，則的最小值是___________.9．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，且，則的周長為___________．10．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知的面積為，，，則的值為______．11．如圖，為△中邊上一點(diǎn)，若，，，若使△的個(gè)數(shù)有且僅有兩個(gè)，則線段的值可以為___________.12．已知平面向量，，滿足，，，，則的最小值為________.13．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，，，則的外接圓半徑為________.14．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，且的面積為，則______．15．已知在中，則的面積為_______．

參考答案與試題解析1．【答案】【解析】分析：根據(jù)已知條件可證得面，分別取的中點(diǎn)，連接，可得面，因?yàn)椋勺C得面，所以，設(shè)，利用余弦定理求出的范圍，進(jìn)而可得的范圍，得出的范圍即可求解.詳解：因?yàn)?，都是正三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以面，分別取的中點(diǎn)，連接，，則，因?yàn)槊?，面，所以面，同理可證面，因?yàn)?，所以面面，因?yàn)?，面，所以面，所以面，所以即為與平面所成的角，即即為與平面所成的角，即，設(shè)，則，所以，，在中，由余弦定理可得，因?yàn)椋运?，可得，所以，所以，所以，即，所以，所以的取值范圍為，故答案為?2．【答案】.【解析】分析：首先應(yīng)用兩個(gè)向量的數(shù)量積，求得角的大小，根據(jù)三角形的面積公式求得，結(jié)合三角形的周長，求得，之后應(yīng)用余弦定理，求得邊長a的值.詳解：根據(jù)題意，有，整理得，因?yàn)?，所以，從而求得，所以，根?jù)題意有，，即，根據(jù)余弦定理，可得，故答案為：.3．【答案】【解析】分析：由余弦定理變形可求得角，再由正弦定理求得，在中利用余弦定理表示出的關(guān)系，并由基本不等式得出的一個(gè)范圍，結(jié)合三角形的性質(zhì)求得的范圍，從而可得結(jié)論．詳解：解：由余弦定理，得，即，因?yàn)椋?由正弦定理，得.因?yàn)?，由?nèi)切圓的性質(zhì)可得，所以，在中，由余弦定理，得，即，解得，又，所以，所以周長的取值范圍.故答案為：.4．【答案】4【解析】分析：由二倍角公式求得，再求得，由三角形公式求得，然后由余弦定理求得，再在中，由余弦定理求得．詳解：因?yàn)?，所以，且，所以，，由于，的面積為，所以，解得.由余弦定理，得，解得.在中，由余弦定理，得，即，解得.故答案為：4.5．【答案】①④【解析】分析：將正四面體放在正方體中觀察.對于①，可根據(jù)．分別為正方體前后兩個(gè)面的中心可得出結(jié)論；對于②，取為的中點(diǎn)，取為的中點(diǎn)，此時(shí)與相交；對于③，計(jì)算可得，由逼近思想可作出判斷；對于④，空間問題平面化的技巧，將三角形與放在同一平面上，可計(jì)算出.詳解：在棱長為的正方體上取如下圖所示的四個(gè)頂點(diǎn)依次連接，即可得到棱長為四面體，顯然，．分別為正方體前后兩個(gè)面的中心，故線段的長度為正方體棱長，故①對；對于②，如圖，取為的中點(diǎn)，取為的中點(diǎn)，取為的中點(diǎn)，則由正方體的性質(zhì)易知，．．三點(diǎn)在一條直線上，故此時(shí)與相交于，故②錯(cuò)；對于③，，，又有，故，故點(diǎn)無限接近點(diǎn)時(shí)，會(huì)無限接近，故的余弦值的取值范圍不為，③錯(cuò)誤；對于④，如圖將等邊三角形與鋪平，放在同一平面上，故有，當(dāng)且僅當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)取最小值，故在正方體中，故周長的最小值為，故④對.故答案為：①④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）計(jì)算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問題時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；（2）對于幾何體內(nèi)部折線段長的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合勾股定理求解.6．【答案】【解析】分析：由余弦定理求得，由正弦定理求得外接圓半徑，在等腰三角形中求得和，然后過作交于，作交于，如圖，則是平行四邊形，利用正弦定理求得，即，再根據(jù)向量的線性運(yùn)算和向量基本定理可得．詳解：，，所以中，，則中，，，過作交于，作交于，如圖，則是平行四邊形，，中由正弦定理得，同理中得，所以，，，所以，又，所以，．故答案為：．7．【答案】【解析】分析：設(shè)邊上的中線長，分別再和中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.詳解：設(shè)邊上的中線長，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，所以，解答，即，所以為邊上的中線長.故答案為：8．【答案】【解析】分析：設(shè)，則點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動(dòng)，，于是問題轉(zhuǎn)化為將軍飲馬問題，把點(diǎn)關(guān)于直線對稱過去，設(shè)為，則最小值為的長詳解：解：如圖所示，設(shè)，則三點(diǎn)共線，且，設(shè)，因?yàn)槠矫嫦蛄浚膴A角為45°，所以點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動(dòng)，且這條直線與的夾角為45°，設(shè)這條直線為，所以，，所以，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，連接交直線與點(diǎn)，連接交直線與點(diǎn)，所以，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，不等式取等號，在中，，由余弦定理得，所以，所以的最小值為，故答案為：9．【答案】【解析】分析：由化簡可得，再由兩式相減化簡可得，結(jié)合可求出，，利用正弦定理結(jié)合可得，再利用余弦定理可求出的值，從而可求出三角形的周長詳解：解：因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，因?yàn)椋?，化簡得，解得或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（舍去），由正弦定理得，，所以所以由余弦定理得，所以，所以，所以，所以三角形的周長為，故答案為：10．【答案】【解析】分析：由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，再由三角形面積公式可得，計(jì)算出后，利用余弦定理即可得解.詳解：因?yàn)椋?，所以，由的面積為，可得，解得，由于，所以即，所以，所以，解得．故答案為：4.11．【答案】（答案不唯一）【解析】分析：由余弦定理可求，再求到的距離，根據(jù)題設(shè)要求確定的取值范圍，寫出一個(gè)值即可.詳解：由余弦定理可知：，又，，，∴，∴到的距離為，要使△的個(gè)數(shù)有且僅有兩個(gè)，∴.故答案為：（答案不唯一）12．【答案】【解析】分析：令，，，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，由已知畫出圖形，求出點(diǎn)軌跡，求出的最小值，除以2得答案．詳解：解：令，，，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，由，，，得，則，即，所以，所以，即，，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，，當(dāng)且僅當(dāng)．．共線且在線段之間時(shí)取等號．的最小值為．故答案為：．13．【答案】【解析】分析：根據(jù)余弦定理求出邊，然后根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式和正弦定理即可求出外接圓半徑.詳解：由余弦定理，得，所以，因?yàn)?，，所以，所以，?故答案為：.14．【答案】4