第十六章分析力學基礎牛頓動力學是基于矢量的形式建立的系統(tǒng)，稱為“矢量力學”。它具有數(shù)學形式簡單和物理概念清晰的特點。但將其用于求解復雜約束系統(tǒng)和變形體的動力學問題時較為困難。分析力學使用功和能的觀點描述物體運動與相互作用的關系。并用達朗貝爾原理和虛位移原理建立普遍形式下的動力學方程?！?6-1以廣義坐標表示的質(zhì)點系平衡條件設作用在質(zhì)點系第i個質(zhì)點上的主動力的合力：該質(zhì)點的矢徑：對質(zhì)點系用虛位移原理：令則虛功方程可寫為：Qj稱為：與廣義坐標qj相對應的廣義力。當廣義坐標qj是線位移時，Qj是力的量綱；當廣義坐標qj是角位移時，Qj是力矩的量綱。式中：具有功的量綱?！嘤捎趶V義坐標的獨立性，δqj可任意取值，若上式成立，則必須有：廣義坐標下質(zhì)點系平衡條件：具有理想約束的系統(tǒng)對應每一個廣義坐標的廣義力都等于零?？衫脧V義虛位移的任意性求廣義力。即：令：則：得：例16-1由：解出受力。如果作用在質(zhì)點系上的主動力都是有勢力，即質(zhì)點系在勢力場中的情況。設Mo為勢能零點。以三維坐標為例，設有勢力F從M移動到M’，對應的勢能：由全微分：在直角坐標中：比較得：如果系統(tǒng)有多個有勢力，總勢能為V，對作用點(xi,yi,zi)的有勢力Fi：虛功方程：在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點系的平衡條件是系統(tǒng)勢能在平衡位置處一階變分為零。若以廣義坐標表示質(zhì)點系位置，則勢能寫為：在勢力場中，受理想約束質(zhì)點系的平衡條件是系統(tǒng)勢能對于每個廣義坐標的偏導數(shù)分別等于零。則廣義力：則平衡條件又表示為：約束反力，由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，第i個質(zhì)點的質(zhì)量為mi，作用在第i個質(zhì)點上主動力的合力，§16-2動力學普遍方程所受的慣性力：該質(zhì)點的矢徑，由達朗貝爾原理，作用在整個質(zhì)點系上的主動力、約束反力和慣性力系是平衡力系。若系統(tǒng)只受理想約束作用，則由虛位移原理：為表示為解析表達式，其中：動力學普遍方程：在理想約束條件下，質(zhì)點系在任一時刻所受的主動力系和虛加的慣性力系在虛位移上所作的功之和等于零。將約束方程：兩邊取變分：引入拉格朗日乘子：乘以上式并對k求和：交換求和：§16-3第一類拉格朗日方程將動力學普遍方程：與上式相減：在3n個質(zhì)點坐標系中，獨立坐標有3n-s個。由廣義虛位移的任意性：此式稱為第一類拉格朗日方程。其中：是s個約束作用的約束反力。§16-4第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程：——質(zhì)點系的動能——廣義坐標——廣義坐標qj對應的廣義速度——廣義坐標qj對應的廣義力引入拉格朗日函數(shù)：若在保守系統(tǒng)中，主動力都是有勢力(保守力)，廣義力：則：僅T是的函數(shù)。僅受保守力作用的拉格朗日方程解題步驟：1.判定質(zhì)點系自由度k，選取適宜的廣義坐標；2.計算質(zhì)點系的動能T、勢能V，及L函數(shù)；3.建立拉氏方程，整理得k個二階常微分方程；4.求解上述一組微分方程。例16-2結束例16-1圖示系統(tǒng)，A重2P，B重P。不計滑輪重及各輪處的摩擦，求平衡時C的重量W及A與水平面之間的摩擦系數(shù)f。解：1.選整體質(zhì)點系系統(tǒng)為研究對象，受力分析(畫出作功的主動力及摩擦力)；2.自由度/廣義坐標:由A、B位置可確定C位置，∴系統(tǒng)有2個自由度，取sA、sB為廣義坐標，3.用廣義平衡方程:1)設δsB=0(B不動)，僅sA有虛位移δsA時，δsC=δsA

/2系統(tǒng)平衡時，由QA=0，得Ff=0.5W對應的系統(tǒng)虛功：對應廣義坐標sA的廣義力：設虛位移如圖；系統(tǒng)平衡時，由QB=0，得W=2P由步驟1)：Ff=0.5W∴Ff=P2)設δsA=0(A不動)，僅sB有虛位移δsB時，δsC=δsB

/2 對應的系統(tǒng)虛功：對應廣義坐標sB的廣義力：例16-2圖示系統(tǒng)，輪A作水平純滾，輪心與彈簧相連系于墻，質(zhì)量為m1的重物C經(jīng)定滑輪B聯(lián)于A輪輪心，A、B都是均質(zhì)圓盤，半徑為R，質(zhì)量為m2，彈簧剛度為k，靜變形為l0，求細繩始終保持張緊的條件下，系統(tǒng)的運動微分方程及振動周期。1.系統(tǒng)具有一個自由度，物塊C的坐標x為廣義坐標。2.計算L函