巧破數(shù)列迷陣

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即它是定義在正整數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)n從小到大取

值時(shí)，所對應(yīng)的一系列函數(shù)值，就是數(shù)列。

如一個(gè)數(shù)列中某項(xiàng)是最大的，它滿足｛:常：；，同樣的，如果某項(xiàng)是最小的，則｛::魯:：

通項(xiàng)公式：

用來表示序數(shù)和每一項(xiàng)的關(guān)系的式子(an=f(n))

題中會(huì)給到S0和通項(xiàng)an,a.的遞推式，常見的有以下經(jīng)典類型

20與50的關(guān)系對群才(?)

(一定要檢驗(yàn)首項(xiàng)許=鳥是否符合通式，符合的話合并寫，不符合的話分

n=1和n>2來表述)

an+i=an+f(n的形式，如果f(n堤個(gè)方便求和的關(guān)于n的式子。則可以用累差法

an+i-an=f(n)

a

n-an.1=f(n-l)

......左邊的加在一起，右邊的也加在一起，通項(xiàng)公式就出來了，一定要

a2-a.=f(U

a'=a'檢驗(yàn)首項(xiàng)是否符合通式，符合的話合并寫，不符合的話分

11=1和門22來表述

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an+1=f(n)a,t,其中f(n層個(gè)方便求積的成分。我們用累乘法求通項(xiàng)

-----—=f(n)?f(n-1)*f(n-2)......f(l),得到a。的通式。

anan-<ai

例：在數(shù)用向一an=p(an-a”])n>2

5.芻.阻=吐1?“_?t1…….2,進(jìn)而得到a”的通式。

anan-ia!nn-1n-21

R鼬懶順嬲

型，其中p,q為常數(shù)。我們通過待定系數(shù)法，'二匚：：：：構(gòu)造

b由《麻卿懈酈時(shí)捌

a?i=pan+q

,設(shè)

借助輔助數(shù)列求得,的通項(xiàng)，根據(jù)明和aM換算關(guān)系得到an

也可以兩邊同時(shí)除以P"'得到舒T+焉，令bn=*則1也=占，用累差法做。

rrrrr

也可以類”斕”推，…心融贏轡蝌

刀一i[------、，貝以看出是一個(gè)以~十

Gld1-a3?=a“+>1IJFt>n

設(shè)4r1+1r-fMLrP汨公比叱等比我歹u

1bn=an+1-an,bn是一個(gè)首項(xiàng)為az-a1，公比為p的等比數(shù)列

[I['I1第2頁共10頁

對于h+：=pan+q”型的，兩邊同時(shí)除以q"+，,變成

據(jù)=工41+，，止匕時(shí)設(shè)bn='，則又化歸成

qlqJqq?

問題，按照上邊的方法進(jìn)行計(jì)算，就得到結(jié)果也可以用待定系數(shù)法，思路

是如果強(qiáng)行使得

-舸斕趟鼬儒順地》畿樨?

遞推式為an+2=pan+i+qa”的

第3a.+|=pan+q

它:是美于a—】不口3口白勺迂推式;

a?+2=（?+A,+1-?A^只需令也駕，解得必仇于是得鄴向-儂力是以，為公比的等比數(shù)列。

求得這個(gè)新數(shù)列的通項(xiàng),

已知國的關(guān)于n的表達(dá)式時(shí),|an與二的關(guān)系為｛貯之［；（心2）

用含S”和通項(xiàng)a”，a.的遞推式的表達(dá)式去推通項(xiàng)公式的時(shí)候，一定要檢驗(yàn)

a1是否符合這個(gè)通式，如果符合，并入通項(xiàng)公式，不符合，單獨(dú)列出來。如由Sn表達(dá)式推出的

1,4,8,16,........的通項(xiàng)公式為=｛墨?2），首項(xiàng)就不符合2”，單獨(dú)列出來。

n

例1：5n=10-l

nl

a1=9,當(dāng)nN2時(shí)，an=9xlO,檢驗(yàn)當(dāng)n=l時(shí)，等于9,我們發(fā)現(xiàn)a1剛好也符合這個(gè)通式,

則a”通項(xiàng)我們有理由寫他?1On-'

例2：S（n）='+1

Hj==2

當(dāng)n=l時(shí)，

nN2時(shí)，an=Sb染|=2n-l,檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)=2不符全n-1,所以我們將a”的通項(xiàng)表示為（an｝=｛溜%

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Sn=?圖，求a”

(1)例：求an的通項(xiàng)公式。

①Sn是數(shù)列｛22al,的前n項(xiàng)和，Sn=9-6n,

②an中小=1，當(dāng)nN2時(shí)，其前n項(xiàng)和為Sn,滿足S；=a(s“-g)

解：①當(dāng)n=l時(shí)，a|=$=3,當(dāng)n?2時(shí)，an=SnY?W，31檢驗(yàn)是否也同樣符

合這個(gè)急式，經(jīng)檢驗(yàn)，不符合這個(gè)通式，故本題的an分兩種情況寫。

解②n22時(shí)，a0=S”-Sn4,我們給an來個(gè)巧妙地代換,得至|J25n5n,=Sn-Sn,=￡一==2,

令bn=￡,則bn是一個(gè)以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，據(jù)此我們得到bn的通項(xiàng),

進(jìn)而得到Sn,接下來就是熟悉的故事了。

兩種常見數(shù)列

等差數(shù)列:從第二項(xiàng)起，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差為定值d的數(shù)列，d>0則數(shù)列遞增，反之遞減。

另外，等差中項(xiàng)也是判斷等差數(shù)列的一個(gè)依據(jù)。即2a"%4+2旬(北2)

nx中項(xiàng)「中項(xiàng)就是n為奇數(shù)時(shí)的中間數(shù)和1為偶數(shù)時(shí)的中間兩項(xiàng)的

2平均數(shù)7

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（Sn的前兩個(gè)表達(dá)式的形式為一個(gè)沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，可以作為等差數(shù)列的一個(gè)

判斷方法。有時(shí)還可以結(jié)合二次函數(shù)的性態(tài)研究Sn單調(diào)性，最值，零點(diǎn)等）

特點(diǎn)：①把等差數(shù)列每隔相同的t項(xiàng)抽出來按相同的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是

等差數(shù)列，公差是（t+1）d,剩下的則不確定是什么數(shù)列。

②若a”和b”是等差數(shù)列，則｛皿“+處力乃然是等差數(shù)列。

③若m+n=p+q,則

am+an=ap+aq,同一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)。即序數(shù)的和相等的兩部分?jǐn)?shù)列和是相等的

例：an滿足a.i=2a_-aMn22）,a,=1,a2=3,求通項(xiàng)。

解：可以用等差數(shù)列定義，把右邊an移到左邊一個(gè),；也可以用等差中項(xiàng)判定，把

a0」移到左邊。得到a”是個(gè)等差數(shù)列。接下來就不說了。。

等比數(shù)列：從第二項(xiàng)起，后項(xiàng)與前項(xiàng)之比為定值q的數(shù)列，q不為0.

數(shù)列求和方法匯總

公式法：能直接用等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的以及正整數(shù)平方和，立方和公式等

求和的方法。

等差數(shù)列：對于a”=aa（n-l）d,S”=*+嗎也=gd2n2=以節(jié)端（形式為一

個(gè)沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，不過由于n的取值，這些點(diǎn)是間斷的）

等比數(shù)列：對an于=a4」，Sn=Wf*,如果我們令言=c,S"c-cqn

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請注意應(yīng)用常見數(shù)列的求和公式：

①正整數(shù)前n項(xiàng)和公式：1+2+3+.....+nJ(；+l)

②正整數(shù)平方構(gòu)成的數(shù)列｛r?｝的前n項(xiàng)和公式：/+22+32…+n2=(2n+lXn+l)n

6

裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消，剩下首尾若干項(xiàng)。

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常見的裂項(xiàng)公式

注意，以上的公式里的任何一個(gè)字母的含義是一個(gè)位置，公式傳達(dá)的是一種變換機(jī)制，即它描述了

它把一個(gè)量進(jìn)行如何的加工的過程。字母位置E那里也可以是f(n),比如說，以2n替換n,式子依舊成立

分組轉(zhuǎn)化法：

把原數(shù)列中的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)。使其分解為幾個(gè)等差，等比數(shù)列，再求解。

例：an=-------------，求和就分成一個(gè)等比數(shù)列和等差數(shù)列。

并項(xiàng)求和法：

一個(gè)‘小"\數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和。

形如可采用并項(xiàng)求和，

222222

例如100-99+98-97+……+2-I=(100+99)+(98+97)+----+(2+1)=5050Sn=

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錯(cuò)位相減法:

遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積的形式，考慮錯(cuò)位相減法。

例1：an=*2,求前n項(xiàng)和Sn

我們選擇錯(cuò)位相減法。

23

Sn=lx2'+2x2+3x2……+n?2”①

1X22+2X23+3X24......H-n*2n+1

2Sn=②

23

①-②得到2'+2+2....2"-n.2--Sn=

n+l

Sn=（n-l）.2+2

例2：*=n?a|+（n-l）?a2..…+2an.1+an?已知7]=1,n=4

⑴求a”的通項(xiàng)。⑵求7；的通項(xiàng)。

解：an是等比數(shù)列，已知1=1，4=4,oa|=l,q=2,故a"2\

求Tn的通項(xiàng)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，Tn是一個(gè)差比數(shù)列前n項(xiàng)和的造型。求它的通項(xiàng)我們可以

借助錯(cuò)位相減法，得到結(jié)果。

a+a+a+a1

另外，（2）還可以用累差法做。^-^=>23n=2'-l,這個(gè)差是便于求和的。

7；=7]+（m）+Z—琪????+（￡—&）=1+（22-1）+（23-1）+..…（2n-l）接下來,進(jìn)行分組求和即可。

推廣：我們知道差比數(shù)列求和用到錯(cuò)位相減法，我們又知道差比數(shù)列是一定能寫成

（a?n+附后的,我們對這個(gè)結(jié)構(gòu)使用錯(cuò)位相減操作是一定能得到一個(gè)（A?n+8W+°結(jié)構(gòu)

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的東西的，這里的A=QB=C=-B>這樣差比數(shù)列求和就變得傻