PAGEPAGE9專題19坐標(biāo)系與參數(shù)方程1．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，l與C交于A、B兩點(diǎn)，|AB|＝eq\r(10)，求l的斜率．解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圓C的極坐標(biāo)方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.2．圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2eq\r(2)ρ·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－4＝0，求圓C的半徑．解以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2eq\r(2)ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinθ－\f(\r(2),2)cosθ))－4＝0，化簡(jiǎn)，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.那么圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圓C的半徑為eq\r(6).3．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，假設(shè)極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4的直線與曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3))(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)．解極坐標(biāo)方程ρcosθ＝4的普通方程為x＝4，代入eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝t3，))得t＝±2，當(dāng)t＝2時(shí)，y＝8；當(dāng)t＝－2時(shí)，y＝－8.兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(4,8)，(4，－8)，從而AB＝16.4．在直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα,y＝2＋2sinα))(α為參數(shù))，假設(shè)以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程．解由參數(shù)方程消去α得圓C的方程為x2＋(y－2)2＝4，將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入得(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，整理得ρ＝4sinθ.5．曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3\r(3)cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ為參數(shù))，直線l：ρ(cosθ－eq\r(3)sinθ)＝12.(1)將直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程和普通方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在曲線C上，求P點(diǎn)到直線l的距離的最小值．易錯(cuò)起源1、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例1、在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，求a的值．解ρ(eq\r(2)cosθ＋sinθ)＝1，即eq\r(2)ρcosθ＋ρsinθ＝1對(duì)應(yīng)的普通方程為eq\r(2)x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)對(duì)應(yīng)的普通方程為x2＋y2＝a2.在eq\r(2)x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝eq\f(\r(2),2).將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))代入x2＋y2＝a2得a＝eq\f(\r(2),2).【變式探究】在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos(θ＋eq\f(π,4))＝3eq\r(2)和ρsin2θ＝8cosθ，直線l與曲線C交于點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)．得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝18,y＝12))，所以A(2，－4)，B(18,12)，所以AB＝eq\r(18－22＋[12－－4]2)＝16eq\r(2).即線段AB的長(zhǎng)為16eq\r(2).【名師點(diǎn)睛】(1)在由點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，一定要注意點(diǎn)所在的象限和極角的范圍，否那么點(diǎn)的極坐標(biāo)將不唯一．(2)在與曲線的方程進(jìn)行互化時(shí)，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性．【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x，y)和(ρ，θ)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2,tanθ＝\f(y,x)x≠0)).易錯(cuò)起源2、參數(shù)方程與普通方程的互化例2、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋3cost，,y＝－2＋3sint))(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸)中，直線l的方程為eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝m(m∈R)．(1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值．【變式探究】直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－2t，,y＝t－2))(t為參數(shù))，P是橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．解由于直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－2t，,y＝t－2))(t為參數(shù))，故直線l的普通方程為x＋2y＝0.因?yàn)镻為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上的任意一點(diǎn)，故可設(shè)P(2cosθ，sinθ)，其中θ∈R.因此點(diǎn)P到直線l的距離是d＝eq\f(|2cosθ＋2sinθ|,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))),\r(5)).所以當(dāng)θ＝kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z時(shí)，d取得最大值eq\f(2\r(10),5).【名師點(diǎn)睛】(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ?jiàn)的消參方法有代入消參法，加減消參法，平方消參法等．(2)將參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意兩種方程的等價(jià)性，不要增解、漏解，假設(shè)x、y有范圍限制，要標(biāo)出x、y的取值范圍．【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】1．直線的參數(shù)方程過(guò)定點(diǎn)M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))．2．圓的參數(shù)方程圓心在點(diǎn)M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y(tǒng)0＋rsinθ))(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)．3．圓錐曲線的參數(shù)方程(1)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ為參數(shù))．(2)拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數(shù))．易錯(cuò)起源3、極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用例3、在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sinθ，曲線C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)假設(shè)C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值．解(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2eq\r(3)x＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的極坐標(biāo)為(2sinα，α)，B的極坐標(biāo)為(2eq\r(3)cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－2eq\r(3)cosα|＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))).當(dāng)α＝eq\f(5π,6)時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4.【變式探究】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2eq\r(3)sinθ.(1)寫(xiě)出⊙C的直角坐標(biāo)方程；(2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)．【名師點(diǎn)睛】(1)利用參數(shù)方程解決問(wèn)題，要理解參數(shù)的幾何意義．(2)解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程或?qū)?shù)方程化為普通方程，有助于對(duì)方程所表示的曲線的認(rèn)識(shí)，從而到達(dá)化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過(guò)互化解決與圓、圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，如最值、范圍等．1．圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4，eq\f(π,3))，求CP的長(zhǎng)．解由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，即x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，∴圓心C(2,0)，又由點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4，eq\f(π,3))可得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,2eq\r(3))，∴CP＝eq\r(2－22＋2\r(3)－02)＝2eq\r(3).2．在極坐標(biāo)系中，求圓ρ＝8sinθ上的點(diǎn)到直線θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)距離的最大值．解圓ρ＝8sinθ化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16，直線θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)化為直角坐標(biāo)方程為y＝eq\r(3)x，結(jié)合圖形知圓上的點(diǎn)到直線的最大距離可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離再加上半徑．圓心(0,4)到直線y＝eq\r(3)x的距離為eq\f(4,\r(\r(3)2＋－12))＝2，又圓的半徑r＝4，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為6.3．在極坐標(biāo)系中，三點(diǎn)M(2，－eq\f(π,3))、N(2,0)、P(2eq\r(3)，eq\f(π,6))．(1)將M、N、P三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；(2)判斷M、N、P三點(diǎn)是否在一條直線上．4．直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋t，,y＝1＋t))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ＞0，\f(3π,4)＜θ＜\f(5π,4)))，求直線l與曲線C的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．解直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝x＋2，由ρ2cos2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐標(biāo)方程為x2－y2＝4，把y＝x＋2代入雙曲線方程解得x＝－2，因此交點(diǎn)為(－2,0)，其極坐標(biāo)為(2，π)．5．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝t－3))(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cosθ，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．解直線l的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝t－3))(t為參數(shù))化為直角坐標(biāo)方程是y＝x－4，圓C的極坐標(biāo)方程ρ＝4cosθ化為直角坐標(biāo)方程是x2＋y2－4x＝0.圓C的圓心(2,0)到直線x－y－4＝0的距離為d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).又圓C的半徑r＝2，因此直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2).6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t，))(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))．設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．解直線l的方程化為普通方程為eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0，橢圓C的方程化為普通方程為x2＋eq\f(y2,4)＝1，7．直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(