數(shù)列中的奇偶項(xiàng)分類討論問題20230313數(shù)列中的奇偶項(xiàng)分類討論問題20230313例1、〔14寧波二?！吃O(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且SKIPIF1<0．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．〔=1\*ROMANI〕求數(shù)列,的通項(xiàng)公式；〔=2\*ROMANII〕設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：〔Ⅰ〕由題意，，得．，，，兩式相減，得數(shù)列為等比數(shù)列，．〔Ⅱ〕．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，〔法一〕為偶數(shù)，〔法二〕．例2.數(shù)列中，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求。練習(xí)、〔12寧波一模〕數(shù)列滿足：，設(shè).〔1〕求并證明：〔2〕①證明：數(shù)列等比數(shù)列；②假設(shè)成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值.解：〔1〕〔2〕①因?yàn)樗詳?shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.②由數(shù)列可得，，那么，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，令，得，解得，得.……………14分2.數(shù)列{an}滿足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)an為偶數(shù)，,an－2nan為奇數(shù).))假設(shè)a3＝1，那么a1的所有可能取值為________．解析：當(dāng)a2為奇數(shù)時(shí)，a3＝a2－4＝1，a2＝5；當(dāng)a2為偶數(shù)時(shí)，a3＝eq\f(1,2)a2＝1，a2＝2；當(dāng)a1為奇數(shù)時(shí)，a2＝a1－2＝5，a1＝7或a2＝a1－2＝2，a1＝4(舍去)；當(dāng)a1為偶數(shù)時(shí)，a2＝eq\f(1,2)a1＝5，a1＝10或a2＝eq\f(1,2)a1＝2，a1＝4.綜上，a1的可能取值為4,7,10.答案：4,7,103.一個(gè)數(shù)列{an}，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，an＝5n＋1；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＝，那么這個(gè)數(shù)列的前2m項(xiàng)的和是________．解析：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，{an}是以6為首項(xiàng)，以10為公差的等差數(shù)列；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，{an}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．所以，S2m＝S奇＋S偶＝ma1＋eq\f(mm－1,2)×10＋eq\f(a21－2m,1－2)＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1)＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2＝2m＋14．等差數(shù)列{an}的公差為2，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為15，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為25，那么這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A．10B．20C．30D解析：選A設(shè)這個(gè)數(shù)列有2n項(xiàng)，那么由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：偶數(shù)項(xiàng)之和減去奇數(shù)項(xiàng)之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為10.5、等比數(shù)列的首項(xiàng)為，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有的奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有的偶數(shù)項(xiàng)之和為，那么這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕6、數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，且an，an＋1是函數(shù)f(x)＝x2－bnx＋2n的兩個(gè)零點(diǎn)，那么b10＝________.解析：∵an＋an＋1＝bn，an·an＋1＝2n，∴an＋1·an＋2＝2n＋1，∴an＋2＝2an.又∵a1＝1，a1·a2＝2，∴a2＝2，∴a2n＝2n，a2n－1＝2n－1(n∈N*)，∴b10＝a10＋a11＝64.7、數(shù)列{an}滿足a1＝5，anan＋1＝2n，那么eq\f(a7,a3)＝()A．2B．4C．5D.eq\f(5,2)解析：選B依題意得eq\f(an＋1an＋2,anan＋1)＝eq\f(2n＋1,2n)＝2，即eq\f(an＋2,an)＝2，故數(shù)列a1，a3，a5，a7，…是一個(gè)以5為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，因此eq\f(a7,a3)＝4.8．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，那么S2023＝()A．22023－1B．3×21007－3C．3×21007－1D．3×21007－2解析：選B由eq\f(an＋2an＋1,an＋1an)＝eq\f(an＋2,an)＝eq\f(2n＋1,2n)＝2，且a2＝2，得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故S2023＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2023)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2023)＝eq\f(1－21007,1－2)＋eq\f(21－21007,1－2)＝3×21007－3.比照：an＋1/an＝2n那么用累乘法，9.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，那么S100＝________.解析：由an＋2－an＝1＋(－1)n，知a2k＋2－a2k＝2，a2k＋1－a2k－1＝0，∴a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝1，數(shù)列{a2k}是等差數(shù)列，a2k＝2k.∴S100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋eq\f(100＋2×50,2)＝2600.點(diǎn)評(píng)：分奇偶項(xiàng)求和，實(shí)質(zhì)分組法求和，注意公差和公比。比照練習(xí)：(2023·衢州模擬)對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列〞，假設(shè)a1＝2，{an}的“差數(shù)列〞的通項(xiàng)公式為2n，那么數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________.解析：∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝eq\f(2－2n,1－2)＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝eq\f(2－2n＋1,1－2)＝2n＋1－2.10、(2023·天津高考)首項(xiàng)為eq\f(3,2)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明Sn＋eq\f(1,Sn)≤eq\f(13,6)(n∈N*)．[解題指導(dǎo)](1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫出通項(xiàng)公式；(2)求出前n項(xiàng)和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明．[解](1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)椋?S2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝eq\f(a4,a3)＝－eq\f(1,2).又a1＝eq\f(3,2)，所以等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1＝(－1)n－1·eq\f(3,2n).(2)證明：Sn＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，Sn＋eq\f(1,Sn)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋eq\f(1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2n2n＋1)，n為奇數(shù)，,2＋\f(1,2n2n－1)，n為偶數(shù).))當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＋eq\f(1,Sn)隨n的增大而減小，所以Sn＋eq\f(1,Sn)≤S1＋eq\f(1,S1)＝eq\f(13,6).當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＋eq\f(1,Sn)隨n的增大而減小，所以Sn＋eq\f(1,Sn)≤S2＋eq\f(1,S2)＝eq\f(25,12).故對(duì)于n∈N*，有Sn＋eq\f(1,Sn)≤eq\f(13,6).變式：(2023·湖北高考)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2＋a3＋a4＝－18.①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥2013？假設(shè)存在，求出符合條件的所有n的集合；假設(shè)不存在，說明理由．解析：①設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，那么a1≠0，q≠0.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S2－S4＝S3－S2，,a2＋a3＋a4＝－18，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a1q2－a1q3＝a1q2，,a1q1＋q＋q2＝－18，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝－2.))故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3×(－2)n－1.②由①有Sn＝eq\f(3×[1－－2n],1－－2)＝1－(－2)n.假設(shè)存在n，使得Sn≥2013，那么1－(－2)n≥2013，即(－2)n≤－2012.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(－2)n>0，上式不成立；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(－2)n＝－2n≤－2012，即2n≥2012，那么n≥11.綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．點(diǎn)評(píng)：當(dāng)數(shù)列涉及底數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，要對(duì)指數(shù)n分奇偶討論。數(shù)列中的奇偶項(xiàng)練習(xí)B組20230313〔2023天津〕在數(shù)列中，且，那么。變式：求。2600變式：2、求和：3、數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。4、(2023年北京理14)定義“等和數(shù)列〞:在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．?dāng)?shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為。3，5.數(shù)列的首項(xiàng)，且對(duì)于任意，與恰為方程的兩