學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊教師用書：第7章章末綜合提升含解析［鞏固層·知識(shí)整合][提升層·題型探究］互斥事件與對立事件【例1】某商場有獎(jiǎng)銷售中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券,多購多得，1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè),一等獎(jiǎng)10個(gè),二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A、B、C,求：(1）P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；（3）1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．[解］(1）P(A)＝eq\f(1,1000），P（B)＝eq\f（10，1000)＝eq\f（1,100），P（C）＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1，20)。故事件A，B，C的概率分別為eq\f(1，1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1，20)。(2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)．設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事件為M，則M＝A∪B∪C。∵A、B、C兩兩互斥,∴P(M）＝P（A∪B∪C）＝P(A)＋P（B）＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50，1000)＝eq\f(61,1000）。故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為eq\f（61,1000)。(3）設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)"為事件N，則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對立事件，∴P(N)＝1－P（A∪B）＝1－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，1000)＋\f(1，100）））＝eq\f(989，1000）.故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為eq\f(989，1000）?；コ馐录?、對立事件的概念與計(jì)算（1）互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件;對立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生．因此對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，對立事件是互斥事件的特殊情況．（2)若A1，A2，…，An互斥，則P(A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2)＋…＋P(An).對立事件概率由公式可得P(A）＝1－P（eq\x\to(A)）(這里eq\x\to（A)是A的對立事件)。eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練］）1．調(diào)查一批黃種人群，其中各種血型的人所占的比例如下:血型ABABO該血型的人所占比例（％）2829835已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，其他不同血型的人不能互相輸血，張三是B型血,若張三因病需要輸血，問:（1)任找一個(gè)人，其血可以輸給張三的概率是多少？(2)任找一個(gè)人，其血不能輸給張三的概率是多少？［解］(1）對任一人,其血型為A，B，AB,O的事件分別記為A′,B′，C′,D′，由已知,有P（A′)＝0。28，P（B′）＝0.29,P（C′)＝0.08，P（D′)＝0.35,因?yàn)锽，O型血可以輸給張三，所以“任找一人，其血可以輸給張三"為事件B′∪D′。依據(jù)互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0。29＋0。35＝0。64.(2）法一：由于A，AB型血不能輸給B型血的人，所以“任找一人,其血不能輸給張三”為事件A′∪C′,依據(jù)互斥事件概率的加法公式，有P(A′∪C′）＝P(A′)＋P（C′）＝0。28＋0。08＝0.36.法二:因?yàn)槭录叭握乙蝗耍溲梢暂斀o張三"與事件“任找一人，其血不能輸給張三"是對立事件，所以由對立事件的概率公式，有，P(A′∪C′)＝1－P（B′∪D′）＝1－P（B′)－P（D′）＝1－0.64＝0.36.古典概型【例2】某校高三學(xué)生體檢后，為了解高三學(xué)生的視力情況,該校從高三六個(gè)班的300名學(xué)生中以班為單位(每班學(xué)生50人)，每班按隨機(jī)抽樣方法抽取了8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)．其中高三（1)班抽取的8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)與人數(shù)見下表：視力數(shù)據(jù)4.04.14。24.34。44.54。64.74。84.95.05.15。25。3人數(shù)22211（1）用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)高三(1)班學(xué)生視力的平均值；(2）已知其余五個(gè)班學(xué)生視力的平均值分別為4。3，4。4，4。5，4.6，4。8。若從這六個(gè)班中任意抽取兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值作比較,求抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對值不小于0.2的概率．[解］（1)高三(1）班學(xué)生視力的平均值為eq\f（4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.1，8)＝4.7，故用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)高三(1）班學(xué)生視力的平均值為4。7。（2）從這六個(gè)班中任意抽取兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值作比較，所有的取法共有15種，而滿足抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對值不小于0。2的取法有：（4.3，4.5），（4.3，4.6)，(4.3，4。7）,（4.3，4.8），（4.4，4。6）,（4。4，4。7)，(4.4，4.8），（4.5，4.7)，(4。5，4.8)，（4。6,4。8）,共有10種，故抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對值不小于0。2的概率為P＝eq\f（10，15)＝eq\f（2，3）。古典概型概率的計(jì)算（1）古典概型是一種最基本的概率模型，也是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ)，在高考題中，經(jīng)常出現(xiàn)此種概率模型的題目．解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征，即有限性和等可能性．（2)在應(yīng)用公式P（A）＝eq\f(m，n)時(shí)，關(guān)鍵是正確理解試驗(yàn)的發(fā)生過程，求出試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)n和事件A的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)m。eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練］）2．有7位歌手（1至7號(hào))參加一場歌唱比賽，由500名大眾評(píng)委現(xiàn)場投票決定歌手名次,根據(jù)年齡將大眾評(píng)委分為五組，各組的人數(shù)如下：組別ABCDE人數(shù)5010015015050（1）為了調(diào)查大眾評(píng)委對7位歌手的支持情況,現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干名大眾評(píng)委，其中從B組中抽取了6人．請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表;組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6（2)在（1)中，若A，B兩組被抽到的大眾評(píng)委中各有2人支持1號(hào)歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到的大眾評(píng)委中分別任選1人，求這2人都支持1號(hào)歌手的概率．[解］（1）由題設(shè)知，分層抽樣的抽取比例為6%，所以各組抽取的人數(shù)如下表:組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993（2)記從A組抽到的3個(gè)評(píng)委為a1，a2，a3,其中a1,a2支持1號(hào)歌手；從B組抽到的6個(gè)評(píng)委為b1,b2，b3，b4,b5，b6，其中b1，b2支持1號(hào)歌手．從{a1，a2，a3}和{b1,b2，b3，b4，b5,b6}中各抽取1人的所有結(jié)果為由以上樹狀圖知所有結(jié)果共18種，其中2人都支持1號(hào)歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4種，故所求概率P＝eq\f（4,18)＝eq\f(2,9）。頻率與概率【例3】某射擊運(yùn)動(dòng)員為備戰(zhàn)下屆奧運(yùn)會(huì)，在相同條件下進(jìn)行射擊訓(xùn)練，結(jié)果如下：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率0.80.950.880。920。890.91（1）該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，擊中靶心的概率大約是多少？(2)假設(shè)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了300次,則擊中靶心的次數(shù)大約是多少？（3）假如該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了300次，前270次都擊中靶心，那么后30次一定都擊不中靶心嗎？[解］（1）由題意,得擊中靶心的頻率與0.9接近，故概率約為0。9.(2）擊中靶心的次數(shù)大約為300×0.9＝270（次).（3）由概率的意義，可知概率是個(gè)常數(shù)，不因試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．后30次中，每次擊中靶心的概率仍是0.9,所以不一定不擊中靶心．1．假如該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了10次，前9次中有8次擊中靶心，那么第10次一定擊中靶心嗎？（只做出判斷,不必說明理由）［解]不一定．2．利用例3（1)得到的該運(yùn)動(dòng)員射擊一次擊中靶心的概率，估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射擊3次，其中有2次擊中靶心的概率．［解］由例3（1）可得運(yùn)動(dòng)員射擊一次擊中靶心概率約為0.9,那么連續(xù)射擊3次,其中有2次擊中靶心的概率為0。9×0。9×（1－0。9)＋0。9×（1－0.9)×0。9＋(1－0。9)×0。9×0.9＝0.243.對于概率的定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)（1)求一個(gè)事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗(yàn)．（2)只有當(dāng)頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，這個(gè)常數(shù)才叫做事件A的概率．(3）概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值．（4)概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大?。?)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故0≤P(A)≤1.eq\a\vs4\al(［跟進(jìn)訓(xùn)練］）3．對一批優(yōu)盤進(jìn)行抽檢，結(jié)果如下表：抽出件數(shù)a50100200300400500次品件數(shù)b345589次品頻率eq\f(b，a)(1）計(jì)算表中次品的頻率;（2)從這批優(yōu)盤中任抽一個(gè)是次品的概率約是多少?（3)為保證買到次品的顧客能夠及時(shí)更換，要銷售2000個(gè)優(yōu)盤，至少需進(jìn)貨多少個(gè)優(yōu)盤?[解](1)表中次品頻率從左到右依次為0.06，0.04,0.025，0.017，0。02，0.018。（2）當(dāng)抽取件數(shù)a越來越大時(shí)，出現(xiàn)次品的頻率在0.02附近擺動(dòng)，所以從這批優(yōu)盤中任抽一個(gè)是次品的概率約是0。02。(3)設(shè)需要進(jìn)貨x個(gè)優(yōu)盤，為保證其中有2000個(gè)正品優(yōu)盤，則x（1－0。02)≥2000，因?yàn)閤是正整數(shù)，所以x≥2041，即至少需進(jìn)貨2041個(gè)優(yōu)盤．事件的獨(dú)立性【例4】某射擊隊(duì)為備戰(zhàn)奧運(yùn)會(huì)進(jìn)行緊張艱苦的訓(xùn)練,訓(xùn)練項(xiàng)目完成后，教練總會(huì)設(shè)計(jì)安排一些放松、娛樂性恢復(fù)活動(dòng)．在一次速射“飛碟”的游戲活動(dòng)中，教練制定如下規(guī)則：每次飛碟飛行過程中只允許射擊三次，根據(jù)飛碟飛行的規(guī)律，隊(duì)員甲在飛行距離為50米遠(yuǎn)處命中的概率為eq\f(2，3).(1)如果隊(duì)員甲一共參加了三次射擊飛碟的游戲,試求隊(duì)員甲在這三次游戲中第一次至少有一次擊中的概率;（2)如果隊(duì)員甲射擊飛行距離為50米遠(yuǎn)處的飛碟，如果第一次未命中，則進(jìn)行第二次射擊,同時(shí)第二次射擊時(shí)飛碟飛行距離變?yōu)?00米；如果第二次未命中，則進(jìn)行第三次射擊，第三次射擊時(shí)飛碟飛行距離變?yōu)?50米（此后飛碟不在射程之內(nèi)）.已知，命中的概率與飛碟飛行距離的平方成反比，求隊(duì)員甲在一次游戲中命中飛碟的概率．[解]（1）記“隊(duì)員甲在三次游戲中，第一次至少有一次命中”為事件A，則P(A）＝1－P（eq\x\to（A)）＝eq\f(26，27)。即隊(duì)員甲在這三次游戲中第一次至少有一次擊中的概率為eq\f（26,27).(2）記“在一次游戲中，第i次擊中飛碟”為事件Bi(i＝1，2，3),“隊(duì)員甲在一次游戲中命中飛碟”為事件B.P(B1）＝eq\f(2，3），P（B2）＝eq\f（2，3）×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）））eq\s\up8(2）＝eq\f（1，6）,P（B3）＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）)）eq\s\up8(2)＝eq\f(2，27）。又Bi是相互獨(dú)立事件，所以P（B)＝P(B1）＋P（eq\x\to（B）1B2）＋P(eq\a\vs4\al(\x\to（B)1）eq\a\vs4\al(\x\to（B）2）B3）＝P(B1）＋P(eq\x\to(B)1)·P（B2）＋P(eq\x\to（B）1）·P(eq\x\to(B）2)·P(B3）＝eq\f(2,3）＋eq\f(1，3）×eq\f（1,6)＋eq\f(1,3)×eq\f(5,6)×eq\f（2，27）＝eq\f（361,486）.即隊(duì)員甲在一次游戲中命中飛碟的概率為eq\f(361,486).相互獨(dú)立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個(gè)明顯的特征，那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值，解題時(shí)先要判斷事件的性質(zhì)（是互斥還是相互獨(dú)立)，再選擇相應(yīng)的公式計(jì)算求解．eq\a\vs4\al（[跟進(jìn)訓(xùn)練]）4．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A＝{第一枚為正面向上},B＝{第二枚為正面向上},則事件C＝{兩枚向上的面為一正一反｝的概率為()A．0。25B．0。5C．0。75D．0.375B［P（A)＝P(B)＝eq\f（1，2），P（