二輪大題專(zhuān)練24—圓錐曲線（拋物線：最值范圍問(wèn)題）1．已知拋物線的焦點(diǎn)為．（1）求上縱坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；（2）若斜率為2的直線與交于、兩點(diǎn)，且達(dá)到最小值，求直線的方程；（3）設(shè)是的一條弦且，求線段中點(diǎn)橫坐標(biāo)的最小值．解：（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，可得，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，可得，由△，可得，設(shè)，，，，可得，，，則，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值，所以直線的方程為；（3）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，可得，設(shè)，的縱坐標(biāo)分別為，，可得，，且△，即，由，可得，則，可得線段中點(diǎn)橫坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號(hào)；當(dāng)時(shí)，令，由在遞增，可得的最小值為．綜上可得，時(shí)，所求最小值為；時(shí)，所求最小值為．2．如圖，已知點(diǎn)，，是拋物線上的三個(gè)不同的點(diǎn)，且是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．（Ⅰ）若直線的斜率為1，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）求三角形的面積的最小值．解：（1）直線的斜率為1，直線的傾斜角為，即，又是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，直線與軸平行，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)為原點(diǎn)，．（2）由對(duì)稱(chēng)性知，不妨設(shè)點(diǎn)在軸的右側(cè)（包括軸），且，，，，，則，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，得，，，，同理可得，，，，化簡(jiǎn)可得，，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故三角形的面積的最小值為1．3．如圖，已知是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，與軸分別交于，．（1）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；（2）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，記，兩點(diǎn)到直線的距離分別為，；求當(dāng)取最大值時(shí)的面積．解：（1）證明：設(shè)過(guò)點(diǎn)與拋物線相切的直線方程為：，由，因?yàn)橄嗲?，所以，設(shè)，是該方程的兩根，由韋達(dá)定理得：，，分別表示切線，斜率的倒數(shù)，且每條切線對(duì)應(yīng)一個(gè)切點(diǎn)，所以切點(diǎn)所以直線為：，直線方程為：，所以過(guò)定點(diǎn)．（2）方法一由（1）知，由（1）知點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以直線方程為：，即：，，分居直線兩側(cè)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，又由，令得：，；方法二：因?yàn)?，由?）知點(diǎn)坐標(biāo)為，，又由（1）知直線方程為：，，當(dāng)且僅當(dāng)取到等號(hào)，又由，令得：，．4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，分別交拋物線于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）當(dāng)直線垂直于直線時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)為，，則，拋物線方程為；（Ⅱ）設(shè)，，，，由題意知，，不與軸垂直，設(shè)，，由，得，則，得，同理可得，，由直線與圓相切，可得，得，則，又，，，，即，將代入，化簡(jiǎn)有：，即，，，即，得．實(shí)數(shù)的取值范圍是，．5．已知橢圓的右頂點(diǎn)與的焦點(diǎn)重合．且橢圓的離心率為，過(guò)的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線截所得的弦長(zhǎng)為．（1）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，直線與直線交于點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，實(shí)軸長(zhǎng)為，由題意得，則，將代入得，即，所以，由，得，，，，因此橢圓方程為，拋物線的方程為．（5分）（2）設(shè)直線的方程為，，，，，由，得，故，，，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，令，得，，，令，，在上是增函數(shù)，，即，當(dāng)時(shí)，，，，，，綜上的取值范圍是，．（12分）6．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在拋物線上，且．（1）求拋物線的方程；（2）已知圓交拋物線與，兩點(diǎn)，過(guò)劣弧上一點(diǎn)作圓的切線交拋物線與，兩點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）設(shè)拋物線的方程為，將坐標(biāo)代入方程得，①又，②由①，②解得，所以拋物線的方程為．（2）由題意可得、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，，