第5章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)大與復(fù)數(shù)的引入全國(guó)卷五年考情圖解高考命題規(guī)律掌握1.考察形式本章在備考取一般為2個(gè)客觀題.2.考察內(nèi)容(1)對(duì)向量的考察，主要考察平面向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、向量的平行與垂直、向量的數(shù)目積及應(yīng)用，難度為簡(jiǎn)單或中檔.(2)高考主要考察復(fù)數(shù)的基本觀點(diǎn)、復(fù)數(shù)相等的充要條件以及復(fù)數(shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算，此中復(fù)數(shù)的運(yùn)算是高考的熱門(mén)，一般為選擇題.3.備考策略(1)深刻理解并掌握向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)目積、向量的模及夾角的運(yùn)算.(2)掌握復(fù)數(shù)的觀點(diǎn)、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義及四則運(yùn)算.第一節(jié)平面向量的觀點(diǎn)及線性運(yùn)算[最新考綱]1.認(rèn)識(shí)向量的實(shí)質(zhì)背景，理解平面向量的觀點(diǎn)和兩個(gè)向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.4.認(rèn)識(shí)向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第82頁(yè))1．向量的有關(guān)觀點(diǎn)(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度

(或模)．零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是隨意的．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向同樣的向量．相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．規(guī)定零向量的相反向量還是零向量．向量平行或共線：假如表示兩個(gè)向量的有向線段所在的直線平行或重合，則稱這兩個(gè)向量平行或共線，規(guī)定零向量與任一直量平行．2．向量的線性運(yùn)算向量

法例定義

運(yùn)算律運(yùn)算

(或幾何意義

)(1)互換律：加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法例a＋b＝b＋a；(2)聯(lián)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)平行四邊形法例求a與b的相反向量－b減法的和的運(yùn)算叫做a與ba－b＝a＋(－b)的差三角形法例(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的λ(μa)＝(λμ)a；務(wù)實(shí)數(shù)λ與向量a的積方向與a的方向同樣；(λ＋μ)a＝λa＋μ數(shù)乘當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向a；的運(yùn)算與a的方向相反；當(dāng)λ(＋)＝＋λabλaλb＝0時(shí)，λa＝0向量共線的判斷定理和性質(zhì)定理判斷定理：a是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線．(2)性質(zhì)定理：若向量

b與非零向量

a共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)

λ，使得

b＝λa.[常用結(jié)論

]→1→

→1

P為線段

AB的中點(diǎn)，

O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則

OP＝2(OA＋OB)．→→→2.OA＝λOB＋μO(píng)C(λ，μ為實(shí)數(shù))O不在直線AB上，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1.3．一般地，首尾按序相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終→→→→點(diǎn)的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋＋An－1An＝A1An，特別地，一個(gè)關(guān)閉圖形，首尾連結(jié)而成的向量和為零向量．a(chǎn)4．與非零向量a共線的單位向量為±.|a|一、思慮辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若兩個(gè)向量共線，則其方向必然同樣或相反．()(2)→→A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．()若向量AB與向量CD是共線向量，則(3)若，，則a∥c.()a∥bb∥c(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，必定有b＝λa，反之成立．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改編1．如圖，ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)→→→)M，若AB＝a，AD＝b，用a，b表示MD為(12a＋2b1a－b21C．－2a－2b1D．－2a＋2b→→→→→[由題意可知BD＝AD－AB＝b－a，又BD＝2MD，→

1

11∴MD＝2(b－a)＝2b－2a，應(yīng)選

D.]2．關(guān)于非零向量

a，b，“a＋b＝0”是“

a∥b”的(

)A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件A[若

a＋b＝0，則

a＝－b，因此

a∥b.若a∥b，則

a＋b＝0

不必定成立，故前者是后者的充分不用要條件．

]→→

→3．已知ABCD的對(duì)角線AC和BD訂交于點(diǎn)O，且OA＝a，OB＝b，則DC＝________，→BC＝________.(用a，b表示)→→→→→→→→→b－a－a－b[如圖，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－－.]ab→→→→4．在平行四邊形ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，則四邊形ABCD的形狀為_(kāi)_______．矩形→→→→→→→→[如圖，由于AB＋AD＝AC，AB－AD＝DB，因此|AC|＝|DB|.由對(duì)角線長(zhǎng)相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形是矩形．]ABCD(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第83頁(yè))⊙考點(diǎn)1平面向量的觀點(diǎn)辨析向量有關(guān)觀點(diǎn)的五個(gè)重點(diǎn)點(diǎn)向量定義的重點(diǎn)是方向和長(zhǎng)度．非零共線向量的重點(diǎn)是方向同樣或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制．相等向量的重點(diǎn)是方向同樣且長(zhǎng)度相等．單位向量的重點(diǎn)是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度．零向量的重點(diǎn)是長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線．給出以下命題：①兩個(gè)擁有公共終點(diǎn)的向量必定是共線向量；②兩個(gè)向量不可以比較大小，但它們的模能比較大??；③若λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；④已知

λ，μ為實(shí)數(shù)，若

λa＝μb，則

a與

b共線．此中正確命題的個(gè)數(shù)為

(

)A．1

B．2

C．3

D．4[①錯(cuò)誤．兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn)．②正確．由于向量既有大小，又有方向，故它們不可以比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故能夠比較大?。坼e(cuò)誤．當(dāng)a＝0時(shí)，不論λ為什么值，λa＝0.④錯(cuò)誤．當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb，此時(shí)，a與b能夠是隨意愿量．]2．給出以下命題：①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)同樣，終點(diǎn)同樣；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；→→③若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且AB＝DC，則ABCD為平行四邊形；a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；此中真命題的序號(hào)是________．[①錯(cuò)誤．兩個(gè)向量起點(diǎn)同樣，終點(diǎn)同樣，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不必定有同樣的起點(diǎn)和終點(diǎn)．②錯(cuò)誤．|a|＝|b|，但a，b方向不確立，因此a，b不必定相等或相反．③正確．由于→＝→→→→→，因此||＝||且∥；ABDCABDCABDC又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，因此四邊形ABCD為平行四邊形．④錯(cuò)誤．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即便|a|＝|b|，也不可以獲得a＝b，因此|a|＝|b|且a∥b不是＝的充要條件，而是必需不充分條件．]ab只需不改變向量a的大小和方向，能夠自由平移a，平移后的向量與a相等．在研究向量的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，必定要聯(lián)合圖形進(jìn)行剖析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧．⊙考點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算向量線性運(yùn)算的解題策略(1)向量的加減常用的法例是平行四邊形法例和三角形法例，一般共起點(diǎn)的向量乞降用平行四邊形法例，求差用三角形法例，求首尾相連向量的和用三角形法例．找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)變到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．向量的線性運(yùn)算→(1)(2018·全國(guó)卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則EB＝( )3→→1→→A.4AB－4ACB.4AB－4AC3→→1→→C.4AB＋4ACD.4AB＋4AC(2019·皖南八校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一→→→點(diǎn)，BC＝3EC，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則BF＝( )1→2→A．3AB－3AD2→1→B．－3AB＋3AD1→2→C．－3AB＋3AD2→1→D．3AB－3AD→→→→1→→11→→3→1→(1)A(2)B[(1)EB＝AB－AE＝AB－2AD＝AB－2×2(AB＋AC)＝4AB－4AC，應(yīng)選A.→1→1→依據(jù)平面向量的運(yùn)算法例得BF＝2BA＋2BE，→2→→→→BE＝3BC，BC＝AC－AB.由于→＝→＋→，→＝1→，ACADDCDC2AB→→→→→→→1＋1－21因此BF＝－2AB＋3AD2ABAB＝－3AB＋3AD，應(yīng)選B.]平面向量的線性運(yùn)算技巧不含圖形的狀況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法例求解．含圖形的狀況：將它們轉(zhuǎn)變到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解．依據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)→1→→(2019·山西師大附中模擬)在△ABC中，AN＝4NC，P是直線BN上一點(diǎn)，若AP＝→→的值為( )＋2，則實(shí)數(shù)mAB5ACmA．－4B．－1C．1D．4→1→→→[∵AN＝4NC，∴AC＝5AN.→→2→又AP＝mAB＋5AC，→→∴AP＝mAB＋2AN，由B，P，N三點(diǎn)共線可知，m＋2＝1，∴m＝－1.]與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，一般是結(jié)構(gòu)三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法例進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，而后經(jīng)過(guò)成立方程組即可求得有關(guān)參數(shù)的值．1.(2019·西寧模擬)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊→→→上，且CD＝2DB，點(diǎn)E在AD邊上，且AD＝3AE，則用向量AB，AC表示CE為()A.2→→B.2→→＋8－89AB9AC9AB9AC2→7→2→7→C.9AB＋9ACD.9AB－9AC→→→1→→1→1B[由平面向量的三角形法例及向量共線的性質(zhì)可得CE＝AE－AC＝3AD－AC＝3(AB＋3→→)－ACBC1→1→→→3AB＋3AC－AB－AC2→8→9AB－9AC.]→1→

4→

→→2．(2019·棗莊模擬

)設(shè)

D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，

AD＝－3AB＋3AC，若BC＝λDC(λ∈R)，則

λ＝(

)A．2

B．3C．－2

D．－3→→→→→→[由BC＝λDC可知AC－AB＝λ(AC－AD)，→1→1→AD＝1－λAC＋λAB，→→→14又AD＝－3AB＋3AC，1λ＝－3，∴41－λ＝3.解得λ＝－3，應(yīng)選D.]→→→→→→→3．在△ABC中，點(diǎn)M，N知足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，則x＝________；y________.11→→→1→1→－6[MN＝MC＋CN＝3AC＋2CB1→1→→3AC＋2(AB－AC)1→1→2AB－6AC→xAB＋yAC，1∴x＝，y＝－.]6⊙考點(diǎn)3共線向量定理的應(yīng)用共線向量定理的三個(gè)應(yīng)用證明向量共線關(guān)于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb(b≠0)，則a與b共線證明三點(diǎn)共線→→若存在實(shí)數(shù)λ，使AB＝λAC，則A，B，C三點(diǎn)共線求參數(shù)的值利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，→→→若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；試確立實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．→→→[解](1)證明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，→→→BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)→2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB.→→AB，BD共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線．∵ka＋b和a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，k－λ＝λk－1＝0，k2－1＝0，∴k＝±1.[母題研究]→→若將本例(1)中“BC＝2a＋8b”改為“BC＝a＋mb”，則m為什么值時(shí)，A，B，D三點(diǎn)共線？→→[解]BC＋CD＝(a＋mb)＋3(a－b)4a＋(m－3)b，→即BD＝4a＋(m－3)b.→→若A，B，D三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使BD＝λAB.即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．4＝λ，∴解得m＝7.m－3＝λ，故當(dāng)m＝7時(shí)，A，B，D三點(diǎn)共線．利用向量共線定理解決問(wèn)題應(yīng)注意兩點(diǎn)向量共線的充要條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，往常只有非零向量才能表示與之共線的其余向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用．證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意愿量共線與三點(diǎn)共線的差別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能獲得三點(diǎn)共線．→→→在四邊形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是( )A．矩形

B．平行四邊形C．梯形

D．以上都不對(duì)→→→→

→→→

→[由已知，得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，故AD∥BC.又由于AB與→CD不平行，因此四邊形ABCD是梯形．]2．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a與向量b共線，則( )A．λ＝0B．e2＝0C．e∥eD．e∥e或λ＝01212D[由于向量e1≠0，λ