/18/18/浙江省紹興市蕺山外國語學(xué)校2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）注意事項：1.本卷共3頁，考試時間為90分鐘，滿分為100分；一、選擇題：本大題共18小題，每小題3分，共54分.每小題只有一項是符合題目要求.1.已知集合A＝｛1，2，3，4｝，B＝｛1，3，5｝，則A∩B＝A.｛1，2，3，4，5｝ B.｛1，3，5｝ C.｛1，4｝ D.｛1，3｝【答案】D【解析】【分析】由集合A和B，再根據(jù)集合交集的基本關(guān)系，即可求出A∩B的結(jié)果.【詳解】因為集合，所以，故選D.【點睛】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)求最小正周期的公式,即可求出答案【詳解】因為：所以：．故答案選：C【點睛】由，求函數(shù)最小正周期3.計算（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)的運算性質(zhì)可得出答案.【詳解】由題意可得，故選B.【點睛】本題考查指數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵就是指數(shù)運算律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4.直線經(jīng)過點（）A.（1，0） B.（0，1） C. D.【答案】A【解析】【分析】將選項中的點代入方程中計算，即可判斷．【詳解】將選項A代入直線方程，檢驗滿足題意；將選項B代入直線方程，檢驗不滿足題意；將選項C代入直線方程，檢驗不滿足題意；將選項D代入直線方程，檢驗不滿足題意.故選：A.【點睛】本題考查了直線和點的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)的定義域是（）A. B. C.[0，2] D.（2，2）【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的限制條件，求得的范圍，即可求出函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得，,解得.所以函數(shù)的定義域為，故選：A【點睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，考查學(xué)生對函數(shù)的理解，是基礎(chǔ)題.6.對于空間向量，，若，則實數(shù)（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，知它們的坐標(biāo)對應(yīng)成比例，求出實數(shù)的值.【詳解】因為，所以，即，所以.故選：D【點睛】本題主要考查的是空間向量的平行或共線的坐標(biāo)運算，是基礎(chǔ)題.7.漸近線方程為的雙曲線方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程公式，即可求出正確的結(jié)果.【詳解】選項A的漸近線方程為：，選項B的漸近線方程為：，正確；選項C的漸近線：；選項D的漸近線方程為：；故選B．【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì),求出雙曲線的漸近線方程是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題．8.若實數(shù)x，y滿足，則y的最大值是A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】畫出約束條件的可行域，即可判斷y的最大值的位置，求解即可．【詳解】實數(shù)x，y滿足的可行域如圖：可行域是三角形的區(qū)域，A的縱坐標(biāo)取得最大值，由，可得，．故選B．【點睛】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，是基本知識的考查．9.某簡單幾何體的三視圖（俯視圖為等邊三角形）如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）為A.18 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判斷三視圖復(fù)原的幾何體的形狀,利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積即可.【詳解】由題意可知幾何體是底面為正三角形的三棱柱，底面邊長為2，高為3,所以幾何體的體積為，故選：C.【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力．10.關(guān)于x的不等式的解集是（）A. B.C.∪ D.[-1，2]【答案】C【解析】【分析】按照,,討論去絕對值解不等式后再相并可得答案.【詳解】當(dāng)時，，解得：當(dāng)時，，不成立，當(dāng)時，，解得：綜上，不等式的解集是，故選:C．【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法,解題關(guān)鍵是分三種情況去絕對值,屬于基礎(chǔ)題.11.下列命題中為假命題的是（）A.垂直于同一直線的兩個平面平行 B.垂直于同一直線的兩條直線平行C.平行于同一直線的兩條直線平行 D.平行于同一平面的兩個平面平行【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行公理，平行線的定義，以及面面平行的判定定理，對各選項分析判斷即可求解．【詳解】解：由面面平行的判定定理可得，垂直于同一直線的兩個平面平行，故A正確；這三條直線在同一平面內(nèi)，方可，故B錯誤；由平行公理可得，平行于同一直線的兩條直線平行，故C正確；平行于同一平面的兩個平面平行，根據(jù)平行公理知D正確；故選：B．【點睛】本題考查空間線面和線線、面面的位置關(guān)系的判斷，考查平行和垂直的判斷和性質(zhì)，考查空間想象能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．12.等差數(shù)列的公差為，前項和為，若，則當(dāng)取得最大值時，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可知，又，即．【詳解】根據(jù)題意，等差數(shù)列中，，則，又由為等差數(shù)列，則，又由，則，則當(dāng)時，取得最大值，故選C．【點睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13.對于實數(shù)a，b，則“a＜b＜0”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合字母的特殊值排除錯誤選項，確定正確選項即可．【詳解】若“”即，則“”，故“”是“”的充分條件，若“”，假設(shè)，則“”，得且，故“”是“”的不必要條件；對于實數(shù)，則“”是“”充分不必要條件,故選A.【點睛】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，不等式性質(zhì)的應(yīng)用，利用特殊值代入法，是此類問題常用的思維方法，是基礎(chǔ)題．14.已知函數(shù)的定義域是，值域為，則值域也為的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】已知的定義域和值域，然后可根據(jù)各選項所給函數(shù)的特點分別分析函數(shù)的值域；這里的選項所給的均是常見的平移、伸縮、對稱、翻折變換，可從這幾個方面入手.【詳解】的定義域為，值域為，即；∴A．，即的值域為，∴該選項錯誤；B．，即的值域為，∴該選項正確；C．，即的值域為，∴該選項錯誤；D．，即的值域為，∴該選項錯誤．故選B．【點睛】函數(shù)圖象常見的四種變換：平移、伸縮、對稱、翻折.平移：；伸縮：或者；對稱：（關(guān)于軸對稱）或者（關(guān)于軸對稱）；翻折：（將軸下方圖象翻折到上方）或者（將軸右邊圖象翻折到左邊）.15.函數(shù)（）的圖像不可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由于函數(shù)的解析式中含有參數(shù)，因此可考慮對直接進行取值，然后再判斷的大致圖象即可.【詳解】直接利用排除法：①當(dāng)時，選項B成立；②當(dāng)時，函數(shù)的圖象類似D；③當(dāng)時，，函數(shù)圖象類似C；故選A．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的辨析，難度較易.16.若實數(shù)a，b滿足ab＞0，則的最小值為A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】直接利用關(guān)系式的恒等變換和基本不等式求出結(jié)果.【詳解】實數(shù)a，b滿足ab＞0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故選C．【點睛】本題考查的知識要點：函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力.17.如圖，在同一平面內(nèi)，A，B為兩個不同的定點，圓A和圓B的半徑都為r，射線AB交圓A于點P，過P作圓A的切線l，當(dāng)r（）變化時，l與圓B的公共點的軌跡是A.圓 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.拋物線【答案】D【解析】【分析】利用拋物線的定義得動點軌跡為拋物線．【詳解】設(shè)切線與圓的公共點，過作直線的垂線，過作，垂足為，連，則，所以，即動點到定點的距離等于動點到定直線的距離，且定點不在定直線上，根據(jù)拋物線定義知，動點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線．故選D．【點睛】本題考查了拋物線的定義，熟練掌握拋物線的定義是解決此題的關(guān)鍵.18.如圖，四邊形ABCD為矩形，沿AC將△ADC翻折成.設(shè)二面角的平面角為，直線與直線BC所成角為，直線與平面ABC所成角為，當(dāng)為銳角時，有A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作平面，，連接，即有，，于是根據(jù)，即可得到與的大小，由于，根據(jù)最小角定理可知，與平面所成角為小于等于直線與直線所成角，即可解出．【詳解】如圖所示：作平面，，連接．根據(jù)線面角以及二面角平面角定義可知，，，∴，，而，即．由可得，，所以直線與直線所成角即為直線與直線所成的角，根據(jù)最小角定理可知，與平面所成角為，小于等于直線與直線所成角，∴．故選：B．【點睛】本題考查二面角、線面角、異面直線所成角的大小的判斷，考查空間位置關(guān)系和空間思維能力的培養(yǎng)，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．二、填空題：本大題共4小題，每空3分，共15分.19.已知函數(shù)則________；________.【答案】(1).0(2).2【解析】【分析】將代入相應(yīng)范圍的某段分段函數(shù)中直接計算即可.【詳解】因為函數(shù)則=0；.【點睛】本題考查分段函數(shù)求值，注意每段函數(shù)的定義域，直接計算得出結(jié)果，難度容易.20.已知O為坐標(biāo)原點，B與F分別為橢圓的上頂點與右焦點，若，則該橢圓的離心率是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件推出b=c，轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率即可．【詳解】因為O為坐標(biāo)原點，B與F分別為橢圓的上頂點與右焦點，且，所以可得，又，所以橢圓的離心率為.故答案為：【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了離心率的計算，屬于容易題．21.已知數(shù)列滿足：，則____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式直接計算即可.【詳解】數(shù)列滿足：,故答案為：【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項公式，根據(jù)通項公式求數(shù)列的項，屬于容易題.22.如圖，O是坐標(biāo)原點，圓O的半徑為1，點A（-1，0），B（1，0），點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，圓O上按逆時針方向運動.若點P的速度大小是點Q的兩倍，則在點P運動一周的過程中，的最大值是_______.【答案】2【解析】【分析】利用轉(zhuǎn)速是兩倍關(guān)系得轉(zhuǎn)角為兩倍，設(shè)出后，推出，然后根據(jù)三角函數(shù)坐標(biāo)定義可得兩點的坐標(biāo)，再用數(shù)量積公式計算，最后用正弦函數(shù)最值可得．【詳解】設(shè)，根據(jù)題意得，，且，依題意得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故答案為2【點睛】本題考查了三角函數(shù)定義，向量數(shù)量積等概念，本題根據(jù)題意求出依題意得，是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共3小題，共31分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.23.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面積；（Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范圍.【答案】（1）60°；（2）；（3）.【解析】【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得，結(jié)合范圍B∈（0，π），可求；（Ⅱ）利用三角形面積公式即可計算得解．（Ⅲ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得，結(jié)合范圍，利用正弦函數(shù)的有界性即可求解．【詳解】（Ⅰ）由.，得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）得.（Ⅲ）由題意得.因為0＜A＜，所以.故所求的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的有界性在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想．24.已知拋物線C：的焦點是F，準(zhǔn)線是l，（Ⅰ）寫出F的坐標(biāo)和l的方程；（Ⅱ）已知點P（9，6），若過F的直線交拋物線C于不同兩點A，B（均與P不重合），直線PA，PB分別交l于點M，N.求證：MF⊥NF.【答案】（1）F的坐標(biāo)為（1，0）；的方程是x＝－1；（2）見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由拋物線的幾何性質(zhì)可得；（Ⅱ）設(shè)出坐標(biāo)，用的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)，再用斜率公式計算斜率乘積．【詳解】（Ⅰ）由題意得，的坐標(biāo)為的方程是.（Ⅱ）設(shè)，AB的直線方程為（m是實數(shù)），代入，得，于是.由，得，直線方程為，令，得.所以.故.【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題方法.25.已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，寫出的單調(diào)遞增區(qū)間（不需寫出推證過程）；（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，若直線y＝4與函數(shù)的圖像交于A，B兩點，記，求的最大值；（Ⅲ）若關(guān)于x的方程在區(qū)間（1，2）上有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）遞增區(qū)間為；（2）4；（3）.【解析】分析】（Ⅰ）當(dāng)時，，由此能求出的單調(diào)遞增區(qū)間;（Ⅱ）由，得當(dāng)時，y=f（x）的圖象與直線y=4沒有交點；當(dāng)a=4或a=0時，y=f（x）的圖象與直線y=4只有一個交點；當(dāng)時，；當(dāng)時，由，得，由，得，由此能求出的最大值;（Ⅲ）要使關(guān)于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，則，且，根據(jù)，且進行分類討論能求出的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為.（Ⅱ）因為x＞0，所以（i）當(dāng)a＞4時，y＝f（x）的圖像與直線y＝4沒有交點；（ii）當(dāng)a＝4或a＝0時，y＝f（x）的圖像與直線y＝4只有一個交點；（iii）當(dāng)0＜a＜4時，0＜g（a）＜4；(iv)當(dāng)a＜0