-2023學(xué)年上海市徐匯區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）一、選擇題（共6題，每題4分，滿分24分）.1．下列函數(shù)中，關(guān)于的二次函數(shù)是A． B． C． D．2．在中，，如果，，那么等于A． B． C． D．3．已知和都是單位向量，下列結(jié)論中，正確的是A． B． C． D．4．已知點、點是線段的兩個黃金分割點，且，那么的長為A． B． C． D．5．在中，點、分別在邊、的延長線上，下列比例式中能判定的為A． B． C． D．6．如圖，正方形與在方格紙中，正方形和三角形的頂點都在格點上，那么與相似的是A．以點、、為頂點的三角形 B．以點、、為頂點的三角形 C．以點、、為頂點的三角形 D．以點、、為頂點的三角形二、填空題（共12題，每題4分，滿分48分）.7．若，則．8．拋物線與軸交點的坐標(biāo)為．9．拋物線向下平移1個單位，再向右平移3個單位，得到的拋物線的函數(shù)解析式為．10．二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標(biāo)為．11．如果兩個相似三角形的面積之比為，這兩個三角形的周長的和是，那么較小的三角形的周長為．12．如圖中，是斜邊上的中線，已知，，則．13．如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物體從地面送到離地面10米高的地方，那么該物體所經(jīng)過的路程是米．14．如圖，在梯形中，，是梯形的中位線，分別交、于點、，若，，則用、表示．15．如圖，為等邊三角形，點、分別在邊、上，，如果，，那么的長等于．16．如圖，在中，，，，正方形內(nèi)接于，點、分別在邊、上，點、在斜邊上，那么正方形的邊長是．17．在中，，，，以為邊在外作等邊，設(shè)點、分別是和的重心，則兩重心與之間的距離是．18．如圖，在中，，，，是的中點，點在邊上，將沿翻折，使得點落在點處，當(dāng)時，則．三、解答題（共7題，滿分78分）.19．（10分）計算：.

20．（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、、．求這個二次函數(shù)的解析式，并求出其圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸．

21．（10分）如圖，已知在中，，垂足為點，，，，點是邊的中點．（1）求邊的長；（2）求的正弦值．

22．（10分）如圖，在大樓的正前方有一斜坡，米，坡度，小明在斜坡下端處測得樓頂點的仰角為，在斜坡上的點處測得樓頂?shù)难鼋菫?，與地面垂直，垂足為，其中點、、在同一直線上．（1）求的值；（2）求大樓的高度（結(jié)果保留根號）．

23．（12分）已知：如圖，在中，點在邊上，，與、分別相交于點、，．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，求證：．

24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系（如圖）中，拋物線經(jīng)過點、，與軸的交點為．（1）試求這個拋物線的表達(dá)式；（2）如果這個拋物線的頂點為，求的面積；（3）如果這個拋物線的對稱軸與直線交于點，點在線段上，且，求點的坐標(biāo)．

25．（14分）如圖，已知在中，，，點為邊上一動點（與點、不重合），點為上一點，，過點作，垂足為點，交射線于點．（1）如果點為邊的中點，求的正切值；（2）當(dāng)點在邊上時，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式及的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)，如果與相似，求線段的長．

參考答案一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．下列函數(shù)中，關(guān)于的二次函數(shù)是A． B． C． D．解：、當(dāng)時，不是二次函數(shù)，故此選項不合題意；、含有分式，不是二次函數(shù)，故此選項不合題意；、，是二次函數(shù)，故此選項符合題意；、，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；故選：．2．在中，，如果，，那么等于A． B． C． D．解：，．故選：．3．已知和都是單位向量，下列結(jié)論中，正確的是A． B． C． D．解：、由題意可知，故符合題意．、與方向不一定相同，故不符合題意．、是帶有方向和數(shù)量的，故不符合題意．、仍然是向量，故不符合題意．故選：．4．已知點、點是線段的兩個黃金分割點，且，那么的長為A． B． C． D．解：如圖，點、是線段的黃金分割點，，，，故選：．5．在中，點、分別在邊、的延長線上，下列比例式中能判定的為A． B． C． D．解：如圖：、當(dāng)時，不能判定，不符合題意；、當(dāng)時，不能判定，不符合題意；、當(dāng)，能判定，符合題意；、當(dāng)時，能判定，而當(dāng)時，不能判定，不符合題意；故選：．6．如圖，正方形與在方格紙中，正方形和三角形的頂點都在格點上，那么與相似的是A．以點、、為頂點的三角形 B．以點、、為頂點的三角形 C．以點、、為頂點的三角形 D．以點、、為頂點的三角形解：由題意可得，中，，，．、中，，則與不相似，故本選項不符合題意；、中，，則與不相似，故本選項不符合題意；、中，，，，，，即與相似，故本選項符合題意；、中，，則與不相似，故本選項不符合題意；故選：．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．若，則．解：，，．故答案為：．8．拋物線與軸交點的坐標(biāo)為．解：當(dāng)時，拋物線與軸相交，把代入，求得，拋物線與軸的交點坐標(biāo)為．故答案為．9．拋物線向下平移1個單位，再向右平移3個單位，得到的拋物線的函數(shù)解析式為．解：拋物線向下平移1個單位，再向右平移3個單位，得到的拋物線的函數(shù)解析式為，即．故答案為：．10．二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標(biāo)為．解：，拋物線最低點坐標(biāo)為．故答案為：．11．如果兩個相似三角形的面積之比為，這兩個三角形的周長的和是，那么較小的三角形的周長為40．解：設(shè)較小的三角形的周長為，則較大的三角形的周長為，兩個相似三角形的面積之比為，兩個相似三角形的相似比為，兩個相似三角形的周長比為，，解得，故答案為：40．12．如圖中，是斜邊上的中線，已知，，則．解：直角中，是斜邊上的中線，，則．故答案是：．13．如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物體從地面送到離地面10米高的地方，那么該物體所經(jīng)過的路程是米．解：傳送帶與地面所成斜坡的坡度，它把物體從地面送到離地面10米高，水平距離為：（米，物體所經(jīng)過的路程為：（米，故答案為：．14．如圖，在梯形中，，是梯形的中位線，分別交、于點、，若，，則用、表示．解：在梯形中，，則，，四邊形是平行四邊形．．又是梯形的中位線，，且．．，，．故答案是：．15．如圖，為等邊三角形，點、分別在邊、上，，如果，，那么的長等于．【解答】解為等邊三角形，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．16．如圖，在中，，，，正方形內(nèi)接于，點、分別在邊、上，點、在斜邊上，那么正方形的邊長是．解：作于，交于，如圖所示：中，，，，，，正方形內(nèi)接于，，，，，即，解得：；故答案為：．17．在中，，，，以為邊在外作等邊，設(shè)點、分別是和的重心，則兩重心與之間的距離是．解：如圖，取中點，連接、、、．在中，，，，，，是等邊三角形，，，，．點、分別是和的重心，，又，，，．故答案為：．18．如圖，在中，，，，是的中點，點在邊上，將沿翻折，使得點落在點處，當(dāng)時，則或．解：如圖，作于，連接．在中，，，，，，，，，，，由翻折不變性可知：，，，，如圖，作于，當(dāng)時，同法可得，．故答案為或．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：解：原式．20．（10分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、、．求這個二次函數(shù)的解析式，并求出其圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸．解：由這個函數(shù)的圖象經(jīng)過點、、，，解得，所求函數(shù)的解析式為；，這個函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線．21．（10分）如圖，已知在中，，垂足為點，，，，點是邊的中點．（1）求邊的長；（2）求的正弦值．解：（1），、均為直角三角形．在中，，，．在中，．（2）過點作，垂足為．，，．又點是邊的中點，是的中位線．，．．在中，．．22．（10分）如圖，在大樓的正前方有一斜坡，米，坡度，小明在斜坡下端處測得樓頂點的仰角為，在斜坡上的點處測得樓頂?shù)难鼋菫?，與地面垂直，垂足為，其中點、、在同一直線上．（1）求的值；（2）求大樓的高度（結(jié)果保留根號）．解：（1）斜坡的坡度為，，設(shè)米，則米，在中，米，由勾股定理得，解得．斜坡的高度為2米；（2）在中，米，米，，過點作于點．則米，，在中，，，設(shè)米，則米，則米，在中，，，解得，，解得．米．大樓的高度為米．23．（12分）已知：如圖，在中，點在邊上，，與、分別相交于點、，．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，求證：．【解答】證明：（1）．，，，，，，，，；（2），，，，，，，，，．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系（如圖）中，拋物線經(jīng)過點、，與軸的交點為．（1）試求這個拋物線的表達(dá)式；（2）如果這個拋物線的頂點為，求的面積；（3）如果這個拋物線的對稱軸與直線交于點，點在線段上，且，求點的坐標(biāo)．解：（1）將，代入，得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為．（2），頂點的坐標(biāo)為．當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為．過點作軸，垂足為點，如圖1所示．，，，．（3）連接，過點作軸，垂足為點，如圖2所示．點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，，，是等腰直角三角形，．同理，可得：．點的坐標(biāo)為，，，是等腰直角三角形，，，．，．，，，．拋物線的對稱軸是直線，點的坐標(biāo)為，，，，過點作軸，垂足為點，則為等腰直角三角形，，點的坐標(biāo)為．25．（14分）如圖，已知在中，，，點為邊上一動點（與點、不重合），點為上一點，，過點作，垂足為點，交射線于點．（1）如果點為邊的中點，求的正切值；（2）當(dāng)點在邊上時