/12/12/第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)函數(shù)的奇偶性2015·全國卷Ⅰ·T13·5分利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)邏輯推理數(shù)學(xué)運算2014·全國卷Ⅰ·T3·5分判斷函數(shù)的奇偶性2014·全國卷Ⅱ·T15·5分解不等式函數(shù)的周期未單獨考查命題分析函數(shù)的奇偶性的判斷及應(yīng)用、周期性及應(yīng)用是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，與函數(shù)概念、圖像、其他性質(zhì)等綜合考查.1．函數(shù)的奇偶性已知y＝f(x)，x∈A，則f(x)奇偶性定義見下表：類別定義奇函數(shù)偶函數(shù)圖像定義圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)語言定義任意x∈A，滿足f(－x)＝－f(x)任意x∈A，?。?！滿足f(－x)＝f(x)###2．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在非零實數(shù)T，對定義域內(nèi)的任意一個x值，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期．提醒：(1)函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論①如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.②如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集．④奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．⑤在公共定義域內(nèi)，有下列結(jié)論成立“奇函數(shù)±奇函數(shù)＝奇函數(shù)”，“偶函數(shù)±偶函數(shù)＝偶函數(shù)”；“奇函數(shù)×奇函數(shù)＝偶函數(shù)”，“偶函數(shù)×偶函數(shù)＝偶函數(shù)”，“奇函數(shù)×偶函數(shù)＝奇函數(shù)”．(2)函數(shù)周期性的重要結(jié)論①周期函數(shù)的定義式f(x＋T)＝f(x)對定義域內(nèi)的x是恒成立的，若f(x＋a)＝f(x＋b)，則函數(shù)f(x)的周期為T＝|a－b|.若在定義域內(nèi)滿足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝eq\f(1,f?x?)，f(x＋a)＝－eq\f(1,f?x?)(a>0)．則f(x)為周期函數(shù)，且T＝2a為它的一個周期．②對稱性與周期的關(guān)系：a．若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a和直線x＝b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個周期．b．若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)和點(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個周期．c．若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)和直線x＝b對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|a－b|是它的一個周期．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(－x)＋f(x)＝0.()(2)偶函數(shù)的圖像不一定過原點，奇函數(shù)的圖像一定過原點．()(3)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件．()(4)若T是函數(shù)的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期．()(5)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數(shù)答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√2．(教材習(xí)題改編)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是定義在R上的奇函數(shù)，則系數(shù)a，b，c需滿足()A．a(chǎn)＝0 B．c＝0C．a(chǎn)＝c＝0 D．b＝0解析：選C當(dāng)a＝c＝0時，f(x)＝bx，有f(－x)＝－bx＝－f(x)．3．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是A．－eq\f(1,3) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：選B依題意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝eq\f(1,3)，則a＋b＝eq\f(1,3).4．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2x解析：選B選項A，f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sinx＝－f(x)，所以為奇函數(shù)；選項B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cosx＝f(x)，所以為偶函數(shù)；選項C，f(－x)＝|ln(－x)|，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，所以非奇非偶函數(shù)；選項D非奇非偶函數(shù)．判斷函數(shù)的奇偶性[明技法]判斷函數(shù)奇偶性的常用方法(1)定義法：即根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義來判斷；(2)圖像法：即利用奇、偶函數(shù)的對稱性來判斷；(3)性質(zhì)法：即利用在公共定義域內(nèi)奇函數(shù)、偶函數(shù)的和、差、積的奇偶性來判斷．[提能力]【典例】(1)(2018·肇慶模擬)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()A．y＝sinx B．y＝ln(eq\r(x2＋1)－x)C．y＝ex D．y＝lneq\r(x2＋1)(2)(2014·全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)解析：(1)選D由函數(shù)奇偶性的定義知D項為偶函數(shù)．(2)選Cf(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，故f(x)g(x)為奇函數(shù)，|f(x)|g(x)為偶函數(shù)，f(x)|g(x)|為奇函數(shù)，|f(x)g(x)|為偶函數(shù)，故選C．[刷好題]1．(金榜原創(chuàng))下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上遞增的函數(shù)為()A．y＝x3 B．y＝|log2x|C．y＝－x2 D．y＝|x|解析：選Dy＝x3是奇函數(shù)；函數(shù)y＝|log2x|的定義域(0，＋∞)不關(guān)于原點對稱，所以是非奇非偶函數(shù)；y＝－x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；函數(shù)y＝|x|是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上遞增，∴D正確．2．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是()A．y＝－eq\f(1,x) B．y＝x3＋3x－3－xC．y＝log3x D．y＝ex解析：選B選項A，y＝－eq\f(1,x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，但其在定義域上不是單調(diào)遞增函數(shù)；選項B，y＝f(x)＝x3＋3x－3－x在其定義域R上是增函數(shù)，又f(－x)＝－x3＋3－x－3x＝－(x3＋3x－3－x)＝－f(x)，所以y＝f(x)為奇函數(shù)；選項C，y＝log3x的定義域為(0，＋∞)，是增函數(shù)但不是奇函數(shù)；選項D，y＝ex在其定義域R上是增函數(shù)，但為非奇非偶函數(shù)．函數(shù)的周期性[明技法]函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用(1)判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．[提能力]【典例】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)．當(dāng)－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝()A．335 B．338C．339 D．340解析：選C由f(x＋6)＝f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期為6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一個周期內(nèi)有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＋336×1＝1＋2＋336＝339.[母題變式]本例中若將條件“f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)”改為“f(x)滿足f(x＋3)＝－f(x)”，其他條件不變，則結(jié)果又是什么？解：∵f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期為6.∴f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，故在一個周期內(nèi)有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＋336×1＝1＋2＋336＝339.[刷好題](2018·阜陽檢測)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝__________.解析：∵f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期T＝2.又當(dāng)x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2018)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2019)＝1.故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝1010.答案：1010函數(shù)性質(zhì)的綜合[析考情]函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合，而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合，并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主．多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)．[提能力]命題點1：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)【典例1】(2015·全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數(shù)，則a＝__________.解析：由題意得f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))＝f(－x)＝－xln(eq\r(a＋x2)－x)，所以eq\r(a＋x2)＋x＝eq\f(1,\r(a＋x2)－x)，解得a＝1.答案：1命題點2：利用函數(shù)的奇偶性求值【典例2】(2018·武漢聯(lián)考)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝()A．ex－e－x B．eq\f(1,2)(ex＋e－x)C．eq\f(1,2)(e－x－ex) D．eq\f(1,2)(ex－e－x)解析：選D∵f(x)＋g(x)＝ex，①∴f(－x)＋g(－x)＝e－x，又f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(x)－g(x)＝e－x，②由①②可解得g(x)＝eq\f(ex－e－x,2).故選D.命題點3：利用函數(shù)性質(zhì)解不等式【典例3】已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是減函數(shù)，若f(a)≥f(2)，則實數(shù)a的取值范圍是__________.解析：∵y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是減函數(shù)，∴函數(shù)y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．∴當(dāng)a>0時，由f(a)≥f(2)可得a≥2，當(dāng)a<0時，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)命題點4：函數(shù)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合【典例4】(2018·煙臺月考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)<f(11)解析：選D∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．[悟技法]函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖像的對稱性．(2)周期性與奇偶性結(jié)合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．[刷好題]1．(2018·石家莊質(zhì)檢)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－1,4) B．(－2,0)C．(－1,0) D．(－1,2)解析：選A∵f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù)，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，∴eq\f(2a－3,a＋1)<1，即eq\f(a－4,a＋1)<0，解得－1<a<4，故選A．2．(2018·哈爾濱質(zhì)檢)定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有eq\f(f?x2?－f?x1?,x2－x1)<0，則()A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)解析：選A由題意知f(x)為偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)，又x∈[0，＋∞)時，f(x)為減函數(shù)，且3>2>1，∴f(3)<f(2)<f(1)，即f(3)<f(－2)<f(1)，故選A．3．(2018·承德模擬)函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為()A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)解析：選Cf(x)的圖像如圖．當(dāng)x∈(－1,0)時，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；當(dāng)x∈(0,1)時，由xf(x)＞0得x∈?；當(dāng)x∈(1,3)時，由xf(x)>0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．4．(2018·日照模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(?x＋1??x＋a?,x)為奇函數(shù)，則a＝__________.解析：∵f(x)＝eq\f(?x＋1??x＋a?,x)為奇函數(shù)，∴f(1)＋f(－1)＝0，即eq\f(?1＋1??1＋a?,1)＋eq\f(?－1＋1??－1＋a?,－1)＝0，∴a＝－1.答案：－1課時作業(yè)提升(六)函數(shù)的奇偶性與周期性A組夯實基礎(chǔ)1．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上單調(diào)性也相同的是()A．y＝－eq\f(1,x) B．y＝log2|x|C．y＝1－x2 D．y＝x3－1解析：選C函數(shù)y＝－3|x|為偶函數(shù)，在(－∞，0)上為增函數(shù)．選項A，D是奇函數(shù)，不符合；選項B是偶函數(shù)但單調(diào)性不符合；只有選項C符合要求．2．(2018·江西三校聯(lián)考)設(shè)f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則g(x)的解析式可以為()A．x3 B．cosxC．1＋x D．xex解析：選B由題意，只要g(－x)為偶函數(shù)即可，由選項可知，只有選項B的函數(shù)為偶函數(shù)；故選B.3．函數(shù)f(x)＝lg|sinx|是()A．最小正周期為π的奇函數(shù) B．最小正周期為2π的奇函數(shù)C．最小正周期為π的偶函數(shù) D．最小正周期為2π的偶函數(shù)解析：選C∵f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sinx|，∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．∵f(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sinx|，∴函數(shù)f(x)的最小正周期為π.4．(2018·撫順模擬)已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當(dāng)x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝()A．2 B．－2C．－98 D．98解析：選B因為f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期T＝4，又f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.5．(2018·邯鄲月考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，若f(lgx)＜0，則x的取值范圍是()A．(0,1) B．(1,10)C．(1，＋∞) D．(10，＋∞)解析：選A依題意，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(0)＝0，不等式f(lgx)＜0＝f(0)等價于lgx＜0，故0＜x＜1，故選A．6．已知函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，且f(2)＝1，則f(－2)＝()A．－1 B．1C．－5 D．5解析：選D令y＝g(x)＝f(x)＋x，∵f(2)＝1，∴g(2)＝f(2)＋2＝1＋2＝3，∵函數(shù)g(x)＝f(x)＋x是偶函數(shù)，∴g(－2)＝3＝f(－2)＋(－2)，解得f(－2)＝5.故選D.7．(2018·大慶模擬)x為實數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)＝x－[x]在R上為()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．增函數(shù) D．周期函數(shù)解析：選D對任意非零整數(shù)k，[x＋k]＝[x]＋k，所以f(x＋k)＝x＋k－[x]－k＝x－[x]＝f(x)，任意非零整數(shù)均是函數(shù)f(x)的周期．故選D.8．(2018·本溪模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≥0,g?x?，x＜0))，且函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則g(－2)＝__________.解析：∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，∴f(－2)＝g(－2)＝－f(2)＝－(22＋2)＝－6.答案：－69．函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x＋2)＝eq\f(1,f?x?)，若f(1)＝－5，則f(f(5))＝__________.解析：∵f(x＋2)＝eq\f(1,f?x?)，∴f(x＋4)＝eq\f(1,f?x＋2?)＝f(x)，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝eq\f(1,f?1?)＝－eq\f(1,5).答案：－eq\f(1,5)10．設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為__________.解析：設(shè)g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因為函數(shù)g(x)＝x是奇函數(shù)，則由題意知，函數(shù)h(x)＝ex＋ae－x為偶函數(shù)，又函數(shù)f(x)的定義域為R，∴h(x)＝h(－x)，解得a＝1.答案：111．若f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x2－x＋1)，求f(x)的表達(dá)式．解：在f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x2－x＋1)中用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,?－x?2－?－x?＋1)，又f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，所以－f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x2＋x＋1)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?x?＋g?x?＝\f(1,x2－x＋1)，,－f?x?＋g?x?＝\f(1,x2＋x＋1)，))兩式相減得f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2－x＋1)－\f(1,x2＋x＋1)))＝eq\f(x,x4＋x2＋1).12．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(0)＝0，當(dāng)x>0時，f(x)＝logeq\f(1,2)x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.解：(1)當(dāng)x<0時，－x>0，則f(－x)＝logeq\f(1,2)(－x)．因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)．所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x，x>0，,0，x＝0，,log\f(1,2)?－x?，x<0.))(2)因為f(4)＝logeq\f(1,2)4＝－2，f(x)是偶函數(shù)，所以不等式f(x2－1)>－2可化為f(|x2－1|)>f(4)．又因為函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以|x2－1|<4，解得－eq\r(5)<x<eq\r(5)，即不等式的解集為(－eq\r(5)，eq\r(5))．B組能力提升1．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且f(x＋1)＝－f(x)．若f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，則函數(shù)f(x)在[1,3]上()A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減C．先增后減 D．先減后增解析：選D由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期為2.又f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在[0,1]上是增函數(shù)，在[1,2]上是減函數(shù)，在[2,3]上是增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在[1,3]上先減后增．2．(2018·惠州模擬)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，若f(3)＝3，則f(2019)的值為()A．3 B．0C．－3 D．±3解析：選A因為g(－x)＝f(－x－1)，所以－g(x)＝f(x＋1)．又g(x)＝f(x－1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，則f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(2019)＝f(3)＝3.3．(2018·江西模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1)上單調(diào)遞增，記a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＞b＝c B．b＞a＝cC．b＞c＞a D．a(chǎn)＞c＞b解析：選A依題意得，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，f(2)＝f(0)＝0，又f(3)＝－f(2)＝0，且f(x)在[0,1)上是增函數(shù)，于是有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＞f(0)＝f(2)＝f(3)，即a＞b＝c.4．偶函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱，f(3)＝3，則f(－1)＝__________.解析：∵f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱，∴f(4－x)＝f(x)，∴f(4－1)＝f(1)＝f(3)＝3，即f(1)＝3.∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(－1)＝f(1)＝3.答案：35．(2018·滄州一中月考)已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，對于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，當(dāng)x1，x2∈[0,3]，且x1≠x