高等數(shù)學(xué)二教學(xué)大綱課程編號(hào)：074202課程名稱：高等數(shù)學(xué)(二)學(xué)時(shí)/學(xué)分：64/4先修課程：高等數(shù)學(xué)(一)適用專業(yè)：應(yīng)用化學(xué)開課系或教研室：化學(xué)化工系一、課程性質(zhì)與任務(wù)1．課程性質(zhì)：本課程是理、工等相關(guān)專業(yè)的學(xué)科基礎(chǔ)理論課。2．課程任務(wù)：通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握微積分學(xué)的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。要通過各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力，還要特別注意培養(yǎng)學(xué)生的熟練運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析解決問題的能力。二、課程教學(xué)基本要求課程教學(xué)安排64課時(shí)；成績考核形式：考核要以基本理論、基本技能為主，考察學(xué)生對(duì)基本理論和基本技能的掌握程度，利用所學(xué)的基本知識(shí)解決問題的能力。掌握層次的內(nèi)容約占80%左右，熟悉層次的內(nèi)容約占20%左右，了解層次一般不作考核要求。以上數(shù)據(jù)作為參考，也可根據(jù)實(shí)際情況作適當(dāng)調(diào)整。三、課程教學(xué)內(nèi)容（六）微分方程1.教學(xué)內(nèi)容：（1）微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念，可分離的方程及一階線性方程的解法。（2）降價(jià)法解下列方程：，和了；某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程；自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二級(jí)常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解；歐拉方程，包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組；微分方程（或方程組）解決一些簡單的應(yīng)用問題。2．教學(xué)要求：（1）理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；（2）掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法；掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；（3）了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念；了解微分方程的冪級(jí)數(shù)解法；會(huì)解齊次方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡單的變量代換解某些微分方程；（4）會(huì)用降價(jià)法解下列方程：，和了；會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程；會(huì)求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二級(jí)常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解；會(huì)解歐拉方程，會(huì)解包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組；會(huì)用微分方程（或方程組）解決一些簡單的應(yīng)用問題。（七）向量代數(shù)與空間解析幾何1.教學(xué)內(nèi)容：（1）曲面方程的概念（2）向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法；平面方程和直線方程及其求法；（3）平面曲線的參數(shù)方程和一般方程；（4）平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題；以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線的方程。2.教學(xué)要求：（1）理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及表示；理解曲面方程的概念；（2）掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，以及用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法；掌握平面方程和直線方程及其求法；（3）了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件；了解常用二次曲面的方程及其圖形；了解平面曲線的參數(shù)方程和一般方程；（4）會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題；會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線的方程。（八）多元函數(shù)微分學(xué)1.教學(xué)內(nèi)容：（1）多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的幾何意義；（2）多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念；（3）方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法；（4）多元函數(shù)極值和條件極值的概念；（5）多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法；方向?qū)?shù)與梯度的計(jì)算方法；多元函數(shù)極值存在的必要條件；（6）全微分；隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)；曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的方程；二元函數(shù)的極值，拉格朗日乘數(shù)法求條件極值；簡單多元函數(shù)的最大值和最小值。2.教學(xué)要求：（1）理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義；理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念；理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法；理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念；（2）掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法；掌握方向?qū)?shù)與梯度的計(jì)算方法；掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件；（3）了解二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解全微分存在的必要條件和充分條件；了解全微分形式的不變性，了解全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用；了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念；了解二元函數(shù)極值存在的充分條件；（4）會(huì)求全微分；會(huì)求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)；會(huì)求曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的方程；會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值；會(huì)求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡單的應(yīng)用問題。（九）重積分1.教學(xué)內(nèi)容：（1）二重積分的概念，二重積分（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計(jì)算方法，二重積分的中值定理（2）三重積分的概念，三重積分（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）的計(jì)算方法2.教學(xué)要求：（1）理解二重積分、三重積分的概念；（2）掌握二重積分（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）的計(jì)算方法；（3）了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理；會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。（十）曲線積分與曲面積分1.教學(xué)內(nèi)容：（1）兩類曲線積分的概念（2）兩類曲線積分的計(jì)算方法，格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件；兩類曲面積分的方法；（3）兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系；兩類曲面積分的概念，性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系；高斯公式、斯托克斯公（4）高斯公式計(jì)算曲面積分；會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）；會(huì)計(jì)算散度與旋度。2.教學(xué)要求：（1）理解兩類曲線積分的概念；（2）掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法；掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件；掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法；（3）了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系；了解兩類曲面積分的概念，性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系；了解高斯公式、斯托克斯公；（4）會(huì)用高斯公式計(jì)算曲面積分；會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）；會(huì)計(jì)算散度與旋度。（十一）無窮級(jí)數(shù)1.教學(xué)內(nèi)容：（1）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念（2）級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件；幾何級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件；正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和比值審斂法；交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理；冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；（3）任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系；函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)；函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件；冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算上的簡單應(yīng)用；傅里葉級(jí)數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理；2.教學(xué)要求：（1）理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念；（2）掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件；掌握幾何級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件；掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法和比值審斂法；掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理；掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；掌握，，，和的麥克勞林展開式；（3）了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系；了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)；了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件；了解冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算上的簡單應(yīng)用；了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理；（4）會(huì)用根值審斂法；會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)；會(huì)將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)；會(huì)將定義在上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式。四、學(xué)時(shí)分配表章序內(nèi)容課時(shí)備注第六章微分方程10第七章向量代數(shù)與空間解析幾何8第八章多元函數(shù)微分學(xué)12第九章重積分12第十章曲線積分與曲面積分12第十一