中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一頁，共四十六頁，2022年，8月28日鏈接目錄第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章

中值定理,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章不定積分第六章定積分第七章

無窮級(jí)數(shù)(不要求)第八章多元函數(shù)第九章微分方程復(fù)習(xí)第二頁，共四十六頁，2022年，8月28日參考書[1]趙樹嫄.微積分.中國(guó)人民出版社[2]同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué).高等教育出版社第三頁，共四十六頁，2022年，8月28日第四章中值定理第四頁，共四十六頁，2022年，8月28日中值定理

第二章我們討論了微分法，解決了曲線的切線、法線及有關(guān)變化率問題。這一章我們來討論導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題。我們知道，函數(shù)在區(qū)間上的增量可用它的微分來近似計(jì)算其誤差是比高階的無窮小是近似關(guān)系第五頁，共四十六頁，2022年，8月28日是極限關(guān)系,都不便應(yīng)用

我們的任務(wù)是尋求差商與導(dǎo)數(shù)的直接關(guān)系，既不是極限關(guān)系，也不是近似關(guān)系。對(duì)此，Lagrange中值定理給出了圓滿的解答：——導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)

本章我們先給出Rolle定理（它是Lagrange定理的特殊情況），由特殊過渡到一般來證明Lagrange定理和Cauchy定理，有了Cauchy定理就可以給出Taylor中值定理及L，

Hospital法則，這就是本章理論部分的主要內(nèi)容。第六頁，共四十六頁，2022年，8月28日理論部分結(jié)構(gòu)圖Lagrange定理特例Rolle定理推廣Cauchy定理推廣Taylor定理第七頁，共四十六頁，2022年，8月28日

本章的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分就是以此為基礎(chǔ)展開討論的，利用Lagrange定理給出了可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性的判定法則，可以討論可導(dǎo)函數(shù)取得極值的條件；有了L，

Hospital法則，可以進(jìn)一步討論等各種類型的未定式的極限；此外利用中值定理和單調(diào)性還可證明一些不等式。重點(diǎn)微分中值定理L，

Hospital法則Taylor公式求函數(shù)的極值和最值第八頁，共四十六頁，2022年，8月28日難點(diǎn)中值定理L，

Hospital法則的運(yùn)用利用中值定理證明不等式基本要求①正確理解和掌握R、L、C、T定理及它們之間的關(guān)系②熟練運(yùn)用L—法則求未定式的極限③掌握函數(shù)展開成Taylor公式的方法，熟記的Taylor公式第九頁，共四十六頁，2022年，8月28日④熟練掌握單調(diào)性的判定方法，會(huì)利用單調(diào)性來證明不等式⑤正確理解函數(shù)取得極值的條件，掌握極值判定條件及求法⑥掌握函數(shù)凹凸性的判定方法，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)⑦會(huì)用中值定理證明不等式先講中值定理，以提供必要的理論基礎(chǔ)第十頁，共四十六頁，2022年，8月28日一、羅爾(Rolle)定理定理(Rolle)若函數(shù)f(x)滿足（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等f(a)=f(b)例如,第十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日幾何解釋:若連續(xù)曲線弧的兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，且除去兩個(gè)端點(diǎn)外處處有不垂直于橫軸的切線，物理解釋:變速直線運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處,瞬時(shí)速度等于零.第十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日證第十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日第十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日注①Rolle定理有三個(gè)條件：閉區(qū)間連續(xù)；開區(qū)間可導(dǎo)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等；這三個(gè)條件只是充分條件，而非必要條件如：y=x2在[-1,2]上滿足(1),(2)，不滿足(3)卻在(-1,2)內(nèi)有一點(diǎn)x=0使但定理的條件又都是必須的，即為了保證結(jié)論成立三個(gè)條件缺一不可。例如,第十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日又例如,在[0,1]上除去x=0不連續(xù)外，滿足羅爾定理的一切條件再例如在[0,1]上除去端點(diǎn)的函數(shù)值不相等外，滿足羅爾定理的一切條件②羅爾定理的結(jié)論是在開區(qū)間內(nèi)至少有一使導(dǎo)數(shù)等0的點(diǎn)。有的函數(shù)這樣的點(diǎn)可能不止一個(gè)；第十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日另外還要注意點(diǎn)ξ并未具體指出，即使對(duì)于給定的具體函數(shù)，點(diǎn)ξ也不一定能指出是哪一點(diǎn)，如在[-1，0]上滿足羅爾定理的全部條件，而但卻不易找到使但根據(jù)定理，這樣的點(diǎn)是存在的。即便如此，我們將會(huì)看到，這絲毫不影響這一重要定理的應(yīng)用第十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日例1證由介值定理即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾,第十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日例2證明至多有三個(gè)實(shí)根證直接證明有困難，采用反證法設(shè)有四個(gè)實(shí)根連續(xù)、可導(dǎo)對(duì)用羅爾定理得連續(xù)、可導(dǎo)對(duì)用羅爾定理得第十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日連續(xù)、可導(dǎo)對(duì)用羅爾定理得矛盾得證結(jié)論成立第二十頁，共四十六頁，2022年，8月28日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理第二十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日幾何解釋:證分析:弦AB方程為第二十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.第二十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.微分中值定理推論1推論2第二十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日例2證第二十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日例3證由上式得第二十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日例4證Lagrange定理第二十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日例5設(shè)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)函數(shù)f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)曲線y=f(x)與拋物線在（a,b）內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)證明證如圖所示oxyy=f(x)abcMN第二十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日由羅爾定理，得再由羅爾定理，得第二十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日三、柯西(Cauchy)中值定理第三十頁，共四十六頁，2022年，8月28日幾何解釋:證作輔助函數(shù)第三十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日Cauchy定理又稱為廣義微分中值定理第三十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日例6證分析:結(jié)論可變形為第三十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日例7設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且試證證由題設(shè)知滿足Cauchy定理的條件由Cauchy公式得再對(duì)函數(shù)應(yīng)用Cauchy公式，有第三十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日若f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有n階導(dǎo)數(shù)，且——這就是Taylor公式第三十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日例8設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，證明證f(x)在[a,b]上滿足Lagrange定理的條件滿足Cauchy定理的條件滿足Cauchy定理的條件第三十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日注這類所謂多中值問題的證明一般不作輔助函數(shù)而是分別求出一個(gè)函數(shù)的Lagrange公式，另一個(gè)函數(shù)的Cauchy公式，利用f(b)－f(a)或某種運(yùn)算建立關(guān)系。第三十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日第三十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日第四十頁，共四十六頁，2022年，8月28日第四十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日第四十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日第四十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日返回第四十四頁，共四十六頁，2022年