概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1第一章隨機(jī)事件與概率2現(xiàn)實(shí)世界中存在的兩類現(xiàn)象一.確定性現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽每天從東邊升起”,“同性電荷必然互斥”?！八畯母咛幜飨虻吞帯?引言3二.不確定性現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象

在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.

實(shí)例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.

這類現(xiàn)象的特點(diǎn)是,即使在相同的條件下,每次試驗(yàn)所得的結(jié)果也會(huì)不相同,或者已知它過去的狀態(tài),它將來的發(fā)展?fàn)顟B(tài)仍然無法確定.4結(jié)果有可能為:1,2,3,4,5,6.

實(shí)例3

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

實(shí)例2

用同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點(diǎn)的情況.結(jié)果:彈落點(diǎn)會(huì)各不相同.試驗(yàn)結(jié)果的不確定性5實(shí)例4

從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實(shí)例5

過馬路交叉口時(shí),可能遇上各種顏色的交通指揮燈.6未來的不確定性實(shí)例7

劉翔還能破世界紀(jì)錄嗎？

實(shí)例6

明天的天氣可能是晴

,也可能是多云或雨.7主觀的不確定性

有些事情即使已經(jīng)發(fā)生了，但是在你知道結(jié)果之前，它們?nèi)匀痪哂胁淮_定性。這種不確定性我們稱之為主觀不確定性。

實(shí)例8

硬幣落地后雖然結(jié)果已經(jīng)確定,但是在觀察之前你還是無法確定硬幣是正面還是反面朝上。

實(shí)例9

病人得的病雖然已經(jīng)是客觀存在的事實(shí),但是在確診之前,在醫(yī)生看來病人得的是什么病仍然有多種可能。主觀不確定性融入了觀察者個(gè)人的信念.8實(shí)驗(yàn)者

n

nH

fn(H)德.摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998n:拋擲硬幣的次數(shù);nH:正面朝上的次數(shù)；著名的拋硬幣試驗(yàn)92.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量試驗(yàn)或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.1.隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.兩點(diǎn)說明10§1.1基本概念1.1.1隨機(jī)試驗(yàn)與事件

如果一個(gè)試驗(yàn)具有如下的共同特點(diǎn):(1)可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),但是能事先明確試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果;(3)試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).則稱滿足該試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn).簡(jiǎn)稱為試驗(yàn).11

定義1.1.1

隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間,記為S={ω},S的元素ω,即E的一個(gè)可能的結(jié)果,稱為樣本點(diǎn)或基本事件.12

E1:拋一枚硬幣,觀察正面H反面T的出現(xiàn)情況;

E2:拋一枚硬幣兩次,觀察正面H反面T的出現(xiàn)情況;

E3:拋一枚硬幣三次,觀察正面H反面T的出現(xiàn)情況;

E4:擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);

E5:在家電倉庫里隨機(jī)地抽取一臺(tái)電視機(jī),測(cè)試它的壽命;

E6:記錄某一天城市發(fā)生車禍的次數(shù).隨機(jī)試驗(yàn)的例子13相應(yīng)的樣本空間14

2.同一試驗(yàn),若試驗(yàn)?zāi)康牟煌?則對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同.例如

對(duì)于同一試驗(yàn):“將一枚硬幣拋擲三次”.若觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況,則樣本空間為若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù),則樣本空間為1.試驗(yàn)不同,對(duì)應(yīng)的樣本空間也不同.幾點(diǎn)說明153.建立樣本空間,事實(shí)上就是建立隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.因此,一個(gè)樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實(shí)際問題.例如只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的模型,也可以作為產(chǎn)品檢驗(yàn)中合格與不合格的模型,又能用于排隊(duì)現(xiàn)象中有人排隊(duì)與無人排隊(duì)的模型等.16

在具體問題的研究中,

描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間.

集合這一概念為我們搭建了從隨機(jī)現(xiàn)象到數(shù)學(xué)的一座橋梁。17隨機(jī)事件把樣本空間的某個(gè)子集(具有某種特征的樣本點(diǎn)組成的子集)稱為“隨機(jī)事件”,簡(jiǎn)稱為“事件”.以E5為例,如果電視機(jī)的壽命超過10000個(gè)小時(shí)被認(rèn)為是合格品,則“所抽取的電視機(jī)是合格品”這一事件可以用S5的子集A={t:t>10000}來表示.例2中,“至少出現(xiàn)一次正面”這一事件可以表示成:

一般地,我們用英文字母表中前面的大寫字母(可以帶下標(biāo))表示事件,如用A,B,C,A1,B3,D17等.18

設(shè)A為隨機(jī)事件,如果試驗(yàn)的結(jié)果ω屬于A,則稱事件A發(fā)生.即試驗(yàn)的結(jié)果事件A發(fā)生

樣本空間有兩個(gè)特殊的子集,一個(gè)是S本身,由于它包含了所有可能的結(jié)果,所以在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生的,我們將其稱為必然事件;另一個(gè)子集是空集φ,它不包含任何元素,因此在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生,我們將其稱為不可能事件.191.1.2事件間的關(guān)系與運(yùn)算

由于事件是樣本空間的一個(gè)子集,因此本節(jié)所涉及到的事件之間的關(guān)系與運(yùn)算就是集合間的關(guān)系與運(yùn)算,但是事件之間的關(guān)系與運(yùn)算需要一套特別的語言來描述,并且熟悉這種特別的語言對(duì)本章及以后的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用.

這一部分的重點(diǎn)就是能正確地將集合論中的符號(hào)翻譯成概率論的語言.201)符號(hào):集合論中的含義:若ω∈A,則ω∈B概率論中的含義:若A發(fā)生,則B發(fā)生.這時(shí)我們稱事件B包含了事件A.若同時(shí),則稱A與B相等,記為A=B.SBA212)符號(hào):集合論中的含義:ω∈A或ω∈B概率論中的含義:事件發(fā)生事件A發(fā)生或事件B發(fā)生事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生SBA22進(jìn)一步推廣233)符號(hào):或

AB集合論中的含義:概率論中的含義:事件發(fā)生SABAB24進(jìn)一步推廣25

例1.1.1

設(shè)有n座橋梁如下圖所示串聯(lián)而成12

nLR用A表示事件“L至R是通路”，Ai表示“第i座橋梁是暢通的”(i=1,2,…,n),則有26如果這n座橋梁如下圖所示是并聯(lián)而成的，

1

2

nLR則有274)符號(hào):集合論中的含義:概率論中的含義:

SABSAB285)符號(hào):或集合論中的含義:概率論中的含義:SAB296)符號(hào):集合論中的含義:B是A的補(bǔ)集,即有且

概率論中的含義:事件A與B有且只有一個(gè)發(fā)生.稱為事件A的逆事件或?qū)α⑹录BA有以下公式成立307）事件的運(yùn)算規(guī)律交換律：

結(jié)合律：

分配律：

德.摩根律：31

例1.1.2

設(shè)A,B,C為三個(gè)事件,則

1)事件{A與B發(fā)生而C不發(fā)生}可以表示為2){A,B,C至少有兩個(gè)發(fā)生}可以表示為3){A,B,C恰好發(fā)生兩個(gè)}可以表示為4){A,B,C中有不多于一個(gè)發(fā)生}可以表示為32

例1.1.3

如圖所示的系統(tǒng)中,設(shè)A,B,C分別表示元件a,b,

c能正常工作的,D為整個(gè)系統(tǒng)能正常工作,則有a

b

c

該例表明,在實(shí)際問題中,事件之間相互關(guān)系的確定有時(shí)不必直接借助于集合,而只須從概率論本身的含義出發(fā)即可.33§1.2頻率與概率

研究隨機(jī)現(xiàn)象不僅要知道可能出現(xiàn)哪些事件,還要知道各種事件出現(xiàn)的可能性的大小.我們把衡量事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)稱作事件的概率.事件A的概率用P(A)來表示.問題:對(duì)于一個(gè)給定的隨機(jī)事件,衡量它發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)——概率,是如何確定的？

3435試驗(yàn)序號(hào)12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實(shí)例將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.波動(dòng)最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性36頻率具有如下的特點(diǎn):

1.頻率的大小在一定程度上能客觀反映事件發(fā)生可能性的大小,頻率大則發(fā)生的可能性也應(yīng)該大;反之,頻率小則發(fā)生的可能性也小.

2.頻率有一定的隨機(jī)波動(dòng)性.比如當(dāng)拋投硬幣的次數(shù)不同時(shí)得到的頻率常常會(huì)不一樣,事實(shí)上,有時(shí)甚至投同樣多次硬幣可能也會(huì)得到不同的頻率,這樣就使頻率缺乏科學(xué)度量單位所具有的客觀性.

3.當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)逐漸增多時(shí),頻率又具有穩(wěn)定性，它反映了概率的客觀性.37頻率具有如下性質(zhì):1）非負(fù)性任意事件A的頻率非負(fù):2）規(guī)范性必然事件S

的頻率為1:3）有限可加性若是一組兩兩不相容的事件,則有38因?yàn)轭l率的本質(zhì)是概率,因此頻率所滿足的這三條性質(zhì)同時(shí)也必須是概率具有的性質(zhì).做適當(dāng)?shù)耐茝V后可以得到概率的公理化定義.391.2.2概率的公理化定義

1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，給出了概率的嚴(yán)格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展.4041

注:在歷史上,對(duì)概率的理解一直存在著各種不同看法,比如有從頻率的角度來理解,也有從主觀信念的角度來理解的(如貝葉斯學(xué)派的主觀概率),等等,但是不論從哪個(gè)角度來理解概率這個(gè)概念,大家都承認(rèn)上面三條是概率必須滿足的最基本的性質(zhì).這三條性質(zhì)就像公理一樣已被數(shù)學(xué)家們所普遍接受.因此,上面的定義又被稱為概率的公理化定義.

42概率的性質(zhì)性質(zhì)1.不可能事件的概率為零,即

證

令則且于是由可列可加性，有由于故由上式知43性質(zhì)2.

（有限可加性）若是一組兩兩不相容的事件,則有證

利用可列可加性及性質(zhì)1,令則有44

性質(zhì)3

證由于再由概率的規(guī)范性和有限可加性,得移項(xiàng)后即證.45

性質(zhì)4

設(shè),則有證

由及知移項(xiàng)后即得由概率的非負(fù)性，即得下面的推論注：一般的，有推論（單調(diào)性）若,則有BAAB由,可得46解設(shè)Ak={取出的m個(gè)球的最大號(hào)碼為k}則有47

性質(zhì)6（加法公式）對(duì)于任意兩個(gè)事件A,B有

證

因?yàn)樵儆尚再|(zhì)2,3,有48該性質(zhì)可推廣到多個(gè)事件的和：上述公式有時(shí)又被稱為多除少補(bǔ)原理。4950所以51

概率論所討論的問題中,有一類問題最簡(jiǎn)單直觀,這類問題所涉及到的試驗(yàn)具有下面兩個(gè)特征：1)試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè);2)試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.

把具有上述兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為等可能概型或古典概型.例如,拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,或者出現(xiàn)正面或者出現(xiàn)反面,只有兩種結(jié)果,且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.又如拋一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則共有6種結(jié)果,且每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。

§1.3等可能概型52因此,要計(jì)算任何一個(gè)事件的概率,關(guān)鍵是要計(jì)算樣本空間所含的基本事件數(shù)n和該事件所含的基本事件數(shù)k.計(jì)算公式53

例1.3.4

將一枚硬幣拋擲三次.(1)設(shè)事件A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”,求P(A1);(2)設(shè)事件A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”,求P(A2).

解

（1）樣本空間為而故n=8,k=3,于是（2）由于,于是有54

例1.3.5

將n只球隨機(jī)地放入個(gè)盒子中去,試求每個(gè)盒子至多有一只球的概率（設(shè)盒子的容量不限）解將n只球放入N個(gè)盒子中去,每一種放法是一基本事件.易知,這是古典概率問題,因每一只球都可以放入N個(gè)盒子中的任一個(gè)盒子,故共有種不同的方法,而每個(gè)盒子中至多放一只球的放法共有種不同的方法,故所求的概率為55

關(guān)于本例題的說明：有許多問題都可歸結(jié)為本例的數(shù)學(xué)模型,比如生日問題.假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,那么隨機(jī)選取n(n≤365)個(gè)人,他們的生日各不相同的概率為

至少有兩個(gè)人的生日相同的概率為56經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果：n

202330405064100q0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.999999757

例1.3.6（抽簽問題）箱中裝有a個(gè)白球和b個(gè)黑球,現(xiàn)從中任意地取球,每次取一球,取后不放回,求第s

(1≤s≤a+b)次取出的球是白球的概率.

解

設(shè)想把取出的球依次放在排列成一直線的a+b個(gè)位置上,則箱內(nèi)a+b個(gè)球中的任一個(gè)放在第s個(gè)位置都是等可能的，因此第s個(gè)位置上共有a+b中可能，而在該位置放白球則有a種可能性。設(shè)A={第s次取出的是白球},則所求的概率為該例的結(jié)果表明,抽簽結(jié)果是與抽簽順序無關(guān)的。58上式即所謂超幾何分布的概率公式。

59續(xù)例四因?yàn)樗约椿蛄顒t60

例1.3.8某接待站在某一周曾接待過12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的，問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？

解假設(shè)接待時(shí)間是沒有規(guī)定的，那么各來訪者在一周7日中去接待站是等可能的，均為1/7。那么這12次接待恰好都在周二和周四的概率為由實(shí)際推斷原理，小概率事件在一次試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的，而現(xiàn)在居然發(fā)生了，因此有理由懷疑原來假設(shè)的正確性，即認(rèn)為接待時(shí)間是有規(guī)定的。非常?。?！61解令X正=甲擲出的正面次數(shù)X反=甲擲出的反面次數(shù)

Y正=乙擲出的正面次數(shù)

Y反=乙擲出的反面次數(shù)

因?yàn)橛矌攀蔷鶆虻?，由?duì)稱性知由此即得62因?yàn)椋?3……所以由加法公式，所求的概率為64§1.4條件概率651.4.1條件概率的定義

問題：一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子，已知其中有一個(gè)是女孩，問另一個(gè)也是女孩的概率是多少？分析：一個(gè)家庭有兩個(gè)孩子的所有可能結(jié)果為：所以，有66在該例中，如果不知道事件A已經(jīng)發(fā)生的信息，那么事件B發(fā)生的概率為上述條件概率還可以寫成67古典概型的情形這個(gè)關(guān)系具有一般性，即條件概率是兩個(gè)無條件概率之商。這就是下面的定義。68條件概率的定義6970由于是不放回抽樣,所以有由定義,

7172性質(zhì)1.4.1條件概率也是概率73

概率所具有的性質(zhì)和滿足的關(guān)系式，條件概率仍然具有和滿足．

741.4.2乘法定理利用條件概率的定義，可直接得到下面的乘法定理75乘法公式的直觀解釋76則所求的概率為77

例1.4.4

已知某廠家的一批產(chǎn)品共100件,其中有5件廢品,但是采購(gòu)員并不知道有幾個(gè)廢品.為慎重起見,他對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行不放回的抽樣檢查,如果在被他抽查的5件產(chǎn)品中至少有一件是廢品,則他拒絕購(gòu)買這一批產(chǎn)品.求采購(gòu)員拒絕購(gòu)買這批產(chǎn)品的概率.解

設(shè)則有從而從而，由概率的乘法公式，有78于是79

例1.4.5

袋中有一個(gè)白球及一個(gè)黑球,一次次地從袋中取球.如果取出白球,則除把白球放回外再加進(jìn)一個(gè)白球,直至取出黑球?yàn)橹?求取了n次都沒有取到黑球的概率.解

設(shè)則有從而由乘法公式,有801.4.3全概率公式與貝葉斯公式8182由全概率公式，有83并且84由全概率公式，有并且85證明

由條件概率的定義和全概率公式得

貝葉斯公式8687解

設(shè)A={取到的是一只次品}Bi={所取產(chǎn)品是由第i家工廠提供｝顯然，B1,B2,B3是樣本空間的一個(gè)劃分(1)由全概率公式(2)由貝葉斯公式同理88

例1.4.9對(duì)以往數(shù)據(jù)分析的結(jié)果表明,當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí),產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí),其合格率為30%.每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí),機(jī)器調(diào)整得良好的概率為75%.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí),機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？解設(shè)A={產(chǎn)品是合格品},

B={機(jī)器調(diào)整得良好}由題意89機(jī)器本身是否處于調(diào)整得良好的狀態(tài)是一個(gè)客觀給定的事實(shí)，但是由于我們所獲得的經(jīng)驗(yàn)信息的不同，而對(duì)其處于什么樣狀態(tài)的概率得到了不同的數(shù)值，即先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率，可以認(rèn)為它們反映了試驗(yàn)前后人們對(duì)機(jī)器狀態(tài)的一種主觀信念．

先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率9091

解由貝葉斯公式,有92一個(gè)不懂概率的人可能會(huì)這樣推理，由于沒患精神分裂癥的人被CAT掃描診斷為腦萎縮的機(jī)會(huì)才2%，因此如果某人已經(jīng)被CAT掃描診斷為腦萎縮，那么他患有精神分裂癥的概率應(yīng)該很大。然而，由于在美國(guó)人口中患有精神分裂癥的比例極小，再加上檢驗(yàn)方法也不是很完善，因此很多人可能是因?yàn)閯e的原因或疾病而被診斷為腦萎縮。但是如果在做CAT掃描之前，醫(yī)生通過聽其言觀其行就已經(jīng)有50%的把握將其診斷為精神分裂癥患者（即先驗(yàn)概率為0.5），那么此時(shí)如果通過CAT掃描顯示為腦萎縮，則由貝葉斯公式，其患有精神分裂癥的后驗(yàn)概率就達(dá)到了93.75%．案例：里根遇刺案93例1.4.11

伊索寓言“狼來了”的貝葉斯分析設(shè)A={小孩說謊}，B={小孩可信}，不妨設(shè)村民過去對(duì)這個(gè)孩子的印象（先驗(yàn)概率）為村民在第一次被騙（A發(fā)生）以后，認(rèn)為小孩可信程度（后驗(yàn)概率）調(diào)整為94于是村民認(rèn)為小孩的可信程度從原來的0.8調(diào)整為0.444，即信念的進(jìn)一步調(diào)整在此基礎(chǔ)上，如果孩子再一次撒謊，則村民對(duì)他的可信程度會(huì)進(jìn)一步調(diào)整為

問題：如果這個(gè)孩子再喊“狼來了”，村民們還會(huì)相信嗎？95§1.6獨(dú)立性

事件的獨(dú)立性是概率論中最重要的概念之一.那么什么是事件的獨(dú)立性呢？

所謂兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立,直觀上說就是它們互不影響,說得更明確一點(diǎn)，就是事件A發(fā)生與否不會(huì)影響事件B發(fā)生的可能性,事件B發(fā)生與否不會(huì)影響事件A發(fā)生的可能性,用數(shù)學(xué)式子來表示,就是且

但是上面兩式分別要求A與B的概率大于零，考慮到更一般的情形，給出如下的定義.96

定義1.6.1

設(shè)A、B是兩個(gè)事件，如果成立等式則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.

由定義知，概率為零的事件與任何事件獨(dú)立.1.6.1事件的獨(dú)立性97

事件之間相互獨(dú)立與事件之間互不相容是兩個(gè)完全不同的概念.事實(shí)上,由定義可以推知，

如果兩個(gè)具有正概率的事件是互不相容的,那么它們一定是不獨(dú)立的,反之,如果兩個(gè)具有正概率的事件是相互獨(dú)立的,那么這兩個(gè)事件不可能互不相容.

兩個(gè)概念之間的區(qū)別98證明

由概率的性質(zhì)知由A與B的獨(dú)立性知所以類似地可證其余結(jié)論.因此，概率為1的事件與任何事件相互獨(dú)立。99

定義1.5.2

設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，如果如下四個(gè)等式則稱事件A,B,C相互獨(dú)立.多個(gè)事件的相互獨(dú)立性注:定義中前面三個(gè)等式只說明這三個(gè)事件是兩兩相互獨(dú)立的,但是由此并不能將第四個(gè)等式推導(dǎo)出來.100則故有

但是

101

當(dāng)我們考慮多個(gè)事件之間是否相互獨(dú)立時(shí),除了必須考慮任意兩事件之間的相互關(guān)系外,還要考慮到多個(gè)事件的乘積對(duì)其它事件的影響.102注:由定義要判定n個(gè)事件是否相互獨(dú)立，需要驗(yàn)證個(gè)等式．在實(shí)際問題中,獨(dú)立性是根據(jù)實(shí)際意義來判斷的,然后利用獨(dú)立性來計(jì)算事件乘積的概率的.103證明

因?yàn)?04兩個(gè)結(jié)論105(1)由獨(dú)立性和加法公式,所求的概率為

(2)所求的概率為106例1.5.4設(shè)有電路如圖所示,其中1,2,3,4為電子元件.設(shè)各電子元件的工作是相互獨(dú)立的,且每一電子元件正常工作概率均為p.求L至R的系統(tǒng)正常工作的概率.

107

例1.5.5

設(shè)每一名機(jī)槍射擊手擊落飛機(jī)的概率都是0.2,若10名機(jī)槍射擊手同時(shí)向一架飛機(jī)射擊,問擊落飛機(jī)的概率是多少?由事件的獨(dú)立性可得108證

記則109

此例說明,雖然小概率事件在一次試驗(yàn)中不太可能發(fā)生,但在不斷重復(fù)該試驗(yàn)時(shí),它遲早會(huì)發(fā)生.人們常說的“智者千慮,必有一失”,“多行不義必自斃”等講的就是這個(gè)道理.

因此,在大數(shù)次的試驗(yàn)中不能忽略小概率事件,這或許就是“不怕一萬，就怕萬一”的含義所在.小概率事件遲早會(huì)出現(xiàn)1101.5.2伯努利概型

下面我們用事件的獨(dú)立性來討論伯努利概型這一在經(jīng)典概率論中占據(jù)重要地位的模型.

111伯努利試驗(yàn)是一種很基本的概率模型．

112一個(gè)n重伯努利試驗(yàn)的結(jié)果或基本事件可以記作設(shè)則有如下的重要公式113故由題意，至少出現(xiàn)一次的概率為1141151161)用符號(hào)表達(dá)相關(guān)的事件；2)找出事件之間的相互關(guān)系,并用符號(hào)表示；3)