參數(shù)估計(jì)第五章

參數(shù)估計(jì)1本章內(nèi)容第一節(jié)統(tǒng)計(jì)推斷的基本問(wèn)題和概念第二節(jié)總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)第三節(jié)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)第四節(jié)一般總體均值的大樣本區(qū)間估計(jì)第六節(jié)樣本容量的確定2第一節(jié)統(tǒng)計(jì)推斷的基本問(wèn)題和概念〇、統(tǒng)計(jì)推斷的基本問(wèn)題一、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和抽樣誤差二、統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布三、參數(shù)估計(jì)的主要內(nèi)容3抽樣從總體中抽樣有多種方法和技術(shù)，常用方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，分層抽樣、系統(tǒng)抽樣和整群抽樣，不同的抽樣方法得到不同的樣本，進(jìn)而所用的統(tǒng)計(jì)推斷方法也不盡相同；簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最常用的方法。5簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣為什么要進(jìn)行隨機(jī)抽樣？由于種種原因，現(xiàn)實(shí)中很多現(xiàn)象不可能進(jìn)行全面調(diào)查。對(duì)具有破壞性或消耗性的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn):燈泡，食品質(zhì)量對(duì)無(wú)限總體或總體容量過(guò)大的現(xiàn)象進(jìn)行研究：海洋中的魚某些現(xiàn)象即使理論上可以進(jìn)行全面調(diào)查，但為了節(jié)省大量的人力、物力、財(cái)力和時(shí)間，在不影響精度和可靠度的前提下，采用抽樣推斷可以達(dá)到事半功倍的效果。

在進(jìn)行隨機(jī)抽樣時(shí)，根據(jù)有無(wú)放回分為：重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣6

重復(fù)抽樣又叫有放還抽樣或重置抽樣。它是每抽出一個(gè)樣本單位后，把結(jié)果記錄下來(lái)，隨即將該單位放回到總體中去，使它和其余的單位在下一次抽選中具有同等被抽中的機(jī)會(huì)。在重復(fù)抽樣過(guò)程中，總體單位數(shù)始終保持不變，并且同一個(gè)單位有多次被抽中的可能性。重復(fù)抽樣7樣本只是總體的部分個(gè)體，不能完全包含總體的全部信息。不管采用什么推斷方法，由樣本推斷總體時(shí)，必定存在差異，這種總體未知參數(shù)和相應(yīng)的基于樣本的統(tǒng)計(jì)量之間的差異稱為抽樣誤差（samplingerror）。抽樣誤差是抽樣推斷方法所固有的，只要利用抽樣推斷方法，抽樣誤差就一定存在，在參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷過(guò)程中都伴有抽樣誤差。抽樣誤差相同的條件下，哪種方式的抽樣誤差較??？不重復(fù)抽樣910到底是那個(gè)誤差才可以作為參考呢，事實(shí)上哪個(gè)也不行，最好能得到一個(gè)平均誤差11抽樣誤差理論研究中，在的條件下，常用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)測(cè)度抽樣平均誤差M通常難以獲取，以上平均誤差公式在實(shí)際中難以使用就抽樣平均數(shù)或成數(shù)而言，抽樣平均誤差就是抽樣平均數(shù)或成數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。13抽樣平均數(shù)的抽樣平均誤差重復(fù)抽樣：不重復(fù)抽樣：理論研究表明在一定條件下樣本均值的抽樣平均誤差公式為當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時(shí)用樣本值N表示總體單位數(shù)，n表示樣本容量比較兩種情形下的抽樣平均誤差的大?。ü?，直觀）樣本均值（成數(shù)）的抽樣平均誤差即為樣本均值(成數(shù)）的標(biāo)準(zhǔn)差特別注意顯然14例題1總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替15統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量：不依賴于任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)—或者說(shuō)統(tǒng)計(jì)量?jī)H僅是樣本的函數(shù)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值：把樣本的觀測(cè)值代入統(tǒng)計(jì)量公式計(jì)算出的數(shù)值；17抽樣分布統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，它也有自己的分布密度和分布函數(shù)—抽樣分布；由樣本推斷總體的有關(guān)特征時(shí)依據(jù)統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布。-如區(qū)間估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)由于正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用十分普遍，其樣本均值和樣本方差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中也起著非常重要的作用，接下來(lái)我們給出總體為正態(tài)分布的樣本均值和樣本方差的抽樣分布，它們是統(tǒng)計(jì)推斷的理論依據(jù)和基礎(chǔ)。

18一個(gè)正態(tài)總體（時(shí)的抽樣分布）19非正態(tài)總體樣本均值的抽樣分布—中心極限定理

方差未知用樣本21總體成數(shù)和樣本成數(shù)所謂總體成數(shù)（或比例）指總體中具有某種特征的個(gè)體的數(shù)量在總體中所占的比重，用π表示。如果總體容量為N，總體中的個(gè)體具有某特質(zhì)（如合格）賦值為“1”，不具有此特質(zhì)則賦值為“0”，假設(shè)總體均值u為具有該特質(zhì)的個(gè)體數(shù)可見，對(duì)這種0-1總體而言，其均值等于成數(shù)如果所有取值僅有0，1兩個(gè)結(jié)果，這樣的總體一般稱之為0-1總體22總體成數(shù)和樣本成數(shù)易知樣本成數(shù)p就是樣本均值；所以總體(樣本）成數(shù)就是一類特殊總體的總體（樣本）均值；易得成數(shù)的抽樣誤差：總體標(biāo)準(zhǔn)差為:23例題225有關(guān)樣本成數(shù)的漸近分布的結(jié)論可以作為樣本均值的特殊情況得到26參數(shù)估計(jì)的主要內(nèi)容瓶裝飲料上所標(biāo)注的容量：看一下飲料供應(yīng)商有沒(méi)有欺騙消費(fèi)者對(duì)瓶裝飲料的含量估計(jì)一個(gè)區(qū)間，只要廠家的聲稱（或瓶上的標(biāo)注）未超出我們所估計(jì)區(qū)間的上限，我們就認(rèn)為沒(méi)有欺騙行為---有上限即可單側(cè)置信區(qū)間舉例：29在研究未知參數(shù)的估計(jì)值時(shí)，并不是根據(jù)一組樣本的具體觀測(cè)值來(lái)確定一個(gè)估計(jì)值，而是從總體出發(fā)，先根據(jù)某原理確定估計(jì)量(根據(jù)某種特定目的確定的統(tǒng)計(jì)量）。

點(diǎn)估計(jì)的特點(diǎn)點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)在于它能夠提供總體參數(shù)的具體估計(jì)值，可以作為行動(dòng)決策的數(shù)量依據(jù)。點(diǎn)估計(jì)的不足之處，它不能提供誤差情況如何、誤差程度有多大的這類重要信息。然后在研究參數(shù)一個(gè)估計(jì)量與參數(shù)的真值之間的偏差在統(tǒng)計(jì)意義下是大還是小，在統(tǒng)計(jì)意義下偏差小的估計(jì)量通常被認(rèn)為是好的。30矩估計(jì)

矩估計(jì)法是英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家K.Pearson提出的。其基本思想：用樣本矩來(lái)估計(jì)相應(yīng)的總體矩，從而得到總體分布的參數(shù)的估計(jì)，這種估計(jì)方法稱為矩估計(jì)

31一階原點(diǎn)矩一階樣本原點(diǎn)矩矩估計(jì)

二階中心矩二階樣本中心矩實(shí)際中，更多使用32矩估計(jì)

矩法估計(jì)優(yōu)點(diǎn):(1)只要總體的k階矩存在，就可以用矩估計(jì)來(lái)估計(jì)總體參數(shù);(2)簡(jiǎn)單、直觀，且不必知道總體的分布類型

局限性:(1)如它要求總體的k階原點(diǎn)矩不存在，否則無(wú)法應(yīng)用;(2)它不考慮總體分布類型，如果總體的分布類型已知，由于它沒(méi)有充分利用總體分布函數(shù)提供的信息，所以得到的結(jié)果并不比極大似然估計(jì)來(lái)的準(zhǔn)確。

331.無(wú)偏性2.一致性（相合性）（以投幣過(guò)程中正面出現(xiàn)的比重為例）3.有效性這里都是的無(wú)偏估計(jì)點(diǎn)估計(jì)優(yōu)良性的測(cè)定34第三節(jié)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)一、單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)二、兩正態(tài)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)三、正態(tài)總體均值的單側(cè)區(qū)間估計(jì)35

區(qū)間估計(jì)一點(diǎn)估計(jì)是通過(guò)相應(yīng)的估計(jì)量計(jì)算出一個(gè)數(shù)值去估計(jì)未知參數(shù)，而實(shí)際中常常用到參數(shù)的另一種估計(jì)形式：區(qū)間估計(jì)。區(qū)間估計(jì)考慮了估計(jì)中可能出現(xiàn)的誤差，并將誤差以醒目的形式標(biāo)出來(lái)，給以以更大的可信感。如估計(jì)某人身高以很大的可能性在1.70-1.72米之間，估計(jì)某月消費(fèi)金額在1000-1400元之間，估計(jì)某個(gè)人的年齡范圍等等。36區(qū)間估計(jì)的概念和基本思想37置信區(qū)間越小，說(shuō)明估計(jì)的精度越高，即我們對(duì)未知參數(shù)的了解越多、越具體；置信水平越大，估計(jì)可靠性就越大。一般說(shuō)來(lái)，在樣本容量一定的前提下，精度（區(qū)間長(zhǎng)度）與置信度往往是相互矛盾的；若置信水平增加，則置信區(qū)間必然增大，降低了精度；若精度提高，則區(qū)間縮小，置信水平必然減小。要同時(shí)提高估計(jì)的置信水平和精度，就要增加樣本容量。置信區(qū)間的構(gòu)建往往要借助于未知參數(shù)點(diǎn)估計(jì)或其函數(shù)的抽樣分布來(lái)進(jìn)行。

38單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)(方差已知時(shí))即要找到兩個(gè)端點(diǎn)使得平均壽命滿足（一般置信區(qū)間構(gòu)造和相應(yīng)點(diǎn)估計(jì)的分布有關(guān)）回憶其樣本均值的有關(guān)性質(zhì)：給定置信水平我們可以對(duì)任何概率值找到對(duì)應(yīng)的區(qū)間的定義39單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)(方差已知時(shí))即所以總體均值的置信水平為的（雙側(cè)）置信區(qū)間函數(shù)normsinv(1-α/2)=-normsinv(α/2)返回的即為我們所需的重復(fù)抽樣時(shí)平均數(shù)的抽樣誤差40總體方差，樣本容量為，樣本均值置信水平為

對(duì)應(yīng)函數(shù)normsinv(1-0.025)=-normsinv(0.025)=1.96因此該廠60W燈泡的平均壽命的置信水平為95%的置信區(qū)間為

假如該廠聲稱其燈泡使用壽命平均為1490—我們認(rèn)為還是可信的，如果聲稱為1500，則認(rèn)為不可信41注意：在構(gòu)造區(qū)間估計(jì)時(shí)，事實(shí)上我們是通過(guò)尋找一個(gè)隨機(jī)變量完成的，在此例中，就是找到了這個(gè)量，我們把它稱為是樞軸量，這也是構(gòu)造區(qū)間估計(jì)的常用方法，在這個(gè)樞軸量中，只含有待估的未知參數(shù)而不含其他任何未知參數(shù).在很多情況下可以從未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)經(jīng)過(guò)變換獲得

對(duì)給定的置信水平，利用樞軸量的抽樣分布(一般都是常見分布)通過(guò)不等式變形即可得到未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)構(gòu)造位置參數(shù)的置信區(qū)間的一般步驟：42單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)(方差未知時(shí))當(dāng)正態(tài)總體的方差未知時(shí)，如果要構(gòu)造總體均值的區(qū)間估計(jì)，此時(shí)的樞軸量就不能選擇，因?yàn)槠渲泻形粗獏?shù)，可考慮用樣本標(biāo)準(zhǔn)差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差，得到樞軸量，服從自由度為n-1的t分布可得，即正態(tài)總體方差未知時(shí)，總體均值的置信水平為的（雙側(cè)）置信區(qū)間為

m重復(fù)抽樣時(shí)抽樣平均數(shù)的抽樣誤差43

t分布函數(shù)說(shuō)明1；單尾2：雙尾Tdist(x,deg-greedom,tail)=p(|T|>x)或p(T>x)p=Tdist(1.75,8,2)=0.118233；p=Tdist(1.75,8,1)=0.059116非負(fù)44

t分布函數(shù)說(shuō)明Tinv(0.118233，8)=1.75tinv(0.05,8)=2.306概率----分位點(diǎn)如果求p(T>?)=α---運(yùn)用t分布的對(duì)稱性Tinv(0.1,8)=1.8595Tinv(probability,deg-freedom):返回p(|T|>x)=probability所對(duì)應(yīng)x(注：只是雙側(cè)情形）即Tinv(α,m):返回的即為雙側(cè)置信區(qū)間估計(jì)中的所需的分位點(diǎn)計(jì)算4546對(duì)應(yīng)函數(shù)Tinv(0.01,24)=2.7969類似題目見活頁(yè)ex-3,47類似題目見活頁(yè)ex-2,由于樣本量較大，所以采用了正態(tài)分位數(shù)48t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較

49教材數(shù)據(jù)中的ch5例5.6Exel演示50Exel演示Tinv(0.05,31)-Normsinv(0.025)51正態(tài)總體均值的單側(cè)區(qū)間估計(jì)

根據(jù)研究者掌握的關(guān)于總體均值的信息，有時(shí)只需要或只想要尋求有關(guān)總體均值的置信下限(或置信上限)，這就涉及到單側(cè)置信區(qū)間問(wèn)題飲料的容量---消協(xié)想根據(jù)瓶上的容量標(biāo)注看一下商家有沒(méi)有欺騙消費(fèi)者估計(jì)出飲料容量可能的區(qū)間，其實(shí)只要瓶上的標(biāo)注容量沒(méi)有超出區(qū)間的上限，我們就認(rèn)為商家沒(méi)有欺騙行為----所以，主要是一個(gè)上限的問(wèn)題52的定義53的定義Tinv(2α,n-1)54Tinv(0.02,24)=2.49255兩正態(tài)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)56類似題目見活頁(yè)ex-5-Normstinv(0.05)=1.65572.兩個(gè)正態(tài)總體的方差和未知，但582.兩個(gè)正態(tài)總體的方差和未知，但59EXCEL演示類似題目見活頁(yè)ex-4對(duì)應(yīng)函數(shù)Tinv(0.1,11)=1.795960如果樣本量n和m應(yīng)比較大61兩正態(tài)總體的均值之差的單側(cè)置信區(qū)間

62兩正態(tài)總體的均值之差的單側(cè)置信區(qū)間

63小結(jié)：正態(tài)總體均值和均值之差的大樣本雙側(cè)置信區(qū)間64第四節(jié)一般總體均值的大樣本區(qū)間估計(jì)

一、非正態(tài)總體均值的大樣本區(qū)間估計(jì)二、總體成數(shù)的大樣本區(qū)間估計(jì)三、總體成數(shù)的大樣本單側(cè)區(qū)間估計(jì)65非正態(tài)總體均值的大樣本區(qū)間估計(jì)

(一)單個(gè)非正態(tài)總體的均值的大樣本置信區(qū)間

類似題目見活頁(yè)11題66(二)兩個(gè)非正態(tài)總體的均值之差的置信區(qū)間

類似題目見活頁(yè)11題67小結(jié)：非正態(tài)總體均值和均值之差的區(qū)間估計(jì)68總體成數(shù)和樣本成數(shù)所謂總體成數(shù)（或比例）指總體中具有某種特征的個(gè)體的數(shù)量在總體中所占的比重，用π表示?？傮w成數(shù)的大樣本區(qū)間估計(jì)

一般，總體中的個(gè)體具有某特質(zhì)（如合格）賦值為“1”，不具有此特質(zhì)則賦值為“0”即認(rèn)為總體中的個(gè)體要么取值為1，要么取值為0，顯然這就是我們所熟悉的0-1總體。令X表示相應(yīng)的總體，簡(jiǎn)化為合格問(wèn)題易知，在此問(wèn)題中，合格的概率(比重）就是成數(shù)π，可表示為69總體成數(shù)和樣本成數(shù)總體成數(shù)的大樣本區(qū)間估計(jì)

回憶0-1總體的均值，方差由此可知總體成數(shù)即為0-1總體的均值。顯而易見，樣本成數(shù)（記為p)為0-1總體的樣本均值。所以，有關(guān)總體成數(shù)的估計(jì)問(wèn)題即為0-1總體（非正態(tài)總體）均值的估計(jì)問(wèn)題70回憶單個(gè)非正態(tài)總體均值的置信區(qū)間估計(jì)，給定置信水平1-α，對(duì)應(yīng)的雙側(cè)置信區(qū)間為總體成數(shù)的大樣本區(qū)間估計(jì)

故成數(shù)π的雙側(cè)置信區(qū)間為這里p表示樣本成數(shù)（對(duì)應(yīng)0-1總體的樣本均值），p(1-p)表示樣本方差注意：大樣本的情形71【例5.9】某公司有職工3000人，從中隨機(jī)抽取100人調(diào)查其工資收入情況。調(diào)查結(jié)果表明，職工的月平均工資為3350元，標(biāo)準(zhǔn)差為403元，月收入在5000元及以上職工8人。試以95.45%的置信水平推斷該公司職工月平均工資所在的范圍月收入在5000元及以上職工在全部職工中所占的比重所在的范圍總體成數(shù)的大樣本區(qū)間估計(jì)

72。

73類似題目：課后三（2）或活頁(yè)274回憶兩個(gè)個(gè)非正態(tài)總體均值之差的置信區(qū)間估計(jì)，所采用的樞軸量為故兩總體成數(shù)之差π1-π2的雙側(cè)置信區(qū)間為這里p1，p2表示樣本成數(shù)注意：大樣本的情形兩總體成數(shù)之差的近似區(qū)間估計(jì)給定置信水平1-α，對(duì)應(yīng)的雙側(cè)置信區(qū)間為近似分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布75【例5.10】分別從兩個(gè)同行公司中隨機(jī)抽取100人和120人調(diào)查其工資收入情況。調(diào)查結(jié)果表明，A公司月收入在5000元及以上有職工9人，B公司月收入在5000元及以上的職工有6人。試以95%的置信水平推斷這兩個(gè)公司職工月工資在5000元及以上職工所占的比重之差的置信區(qū)間；該結(jié)果能說(shuō)明A公司5000元及以上職工所占的比重比B公司高嗎？總體成數(shù)的大樣本區(qū)間估計(jì)

7677總體成數(shù)或成數(shù)之差的區(qū)間估計(jì)（同非正態(tài)（0-1分布）情形）78小結(jié)：非正態(tài)總體均值和均值之差的大樣本雙側(cè)置信區(qū)間

79非正態(tài)總體均值和均值之差的大樣本單側(cè)置信區(qū)間

80在單個(gè)總體均值或成數(shù)的置信區(qū)間估計(jì)問(wèn)題中，置信區(qū)間的形式為

給定置信水平1-α，樣本均值置信區(qū)間為樣本成數(shù)置信區(qū)間為特別注意當(dāng)采用不重復(fù)抽樣，特別給出總體單位個(gè)數(shù)N時(shí)，應(yīng)考慮新的置信區(qū)間形式相關(guān)題目：活頁(yè)10或課后操作題四樣本均值在重復(fù)抽樣下的抽樣平均誤差樣本成數(shù)在重復(fù)抽樣下的抽樣平均誤差81第六節(jié)樣本容量的確定一、總體均值估計(jì)的必要樣本容量二、總體成數(shù)估計(jì)的必要樣本容量三、影響必要樣本容量的因素82作參數(shù)估計(jì)時(shí)為什么要確定合適(必要)的樣本容量？我們既希望參數(shù)的估計(jì)的可靠度或置信度要高，又希望估計(jì)的精度要高，但樣本容量過(guò)多，必然會(huì)增加人力、財(cái)力、物力的支出，造成不必要的浪費(fèi);樣本容量過(guò)少，又會(huì)導(dǎo)致抽樣誤差增大，達(dá)不到抽樣所要求的準(zhǔn)確程度。因此，必要樣本容量就是在保證誤差不超過(guò)規(guī)定范圍的條件下盡可能節(jié)省人、財(cái)、物的支出。必要樣本容量83本節(jié)只考慮了單個(gè)總體雙側(cè)區(qū)間估計(jì)時(shí)的樣本容量。這里確定出來(lái)的樣本容量，很多時(shí)候是一個(gè)近似值，在實(shí)際工作中是一個(gè)非常重要的參考以上也可表示為，在1-α的置信水平下，可理解為在1-α的置信度下，抽樣誤差不會(huì)超過(guò)預(yù)先設(shè)定的誤差Δ，在此條件下的樣本容量稱為必要樣本容量。根據(jù)抽樣方式不同，必要樣本容量的表達(dá)式也不同。給定置信水平1-α，均值置信區(qū)間為84總體均值的必要樣本容量重復(fù)抽樣：不重復(fù)抽樣：當(dāng)總體方差未知時(shí)，采用樣本方差進(jìn)行，當(dāng)有多個(gè)樣本方差可供選擇時(shí)，采用最大的樣本方差遵循隨大原則。務(wù)必注意8586以重復(fù)抽樣為例說(shuō)明此時(shí)計(jì)算的樣本容量為達(dá)到要求所需的最小容量此例中所計(jì)算的n=144,如果我們采用了140，看看抽樣的平均誤差是否達(dá)到了既定標(biāo)準(zhǔn)，即p(|x-u|<Δ)是否到達(dá)了99.73%根據(jù)有關(guān)性質(zhì)p(|x-u|<Δ)是否到達(dá)了99.73%P=1-2*normsdist(-2.958)=99.69%87重復(fù)抽樣：不重復(fù)抽樣：總體成數(shù)的必要樣本容量例題7當(dāng)總體成數(shù)未知時(shí)，用其估計(jì)量—樣本成數(shù)代替。同樣采用最大的樣本方差遵循隨大原則。88遵循隨大原則：p(1-p)在p=0.5時(shí)取得極大值相關(guān)題目：活頁(yè)7，889影響必要樣本容量的因素1.總體的變異程度，即方差的大小。總體方差越大，要求樣本容量要大些；反之則相反。2.容許誤差的大小。容許誤差越大，要求樣本容量越小。3.抽樣方法。在其他條件相同時(shí)，重復(fù)抽樣比不重復(fù)抽樣要求樣本容量大些。4.抽樣方式。采用類型抽樣的樣本容量要小于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本容量。5.抽樣推斷的置信度的大小。置信度越大，要求樣本容量越大.

可從樣本容量計(jì)算公式的推導(dǎo)結(jié)果加以驗(yàn)證提醒：活頁(yè)習(xí)題2雖為方差未知的正態(tài)總體，由于是大樣本，簡(jiǎn)單起見可采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的樞軸量。90END91把所研究的問(wèn)題或現(xiàn)象視為隨機(jī)變量，有概率分布，它全面描述了我們要研究的現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。如果知道了要研究的隨機(jī)變量的概率分布，就可以在其基礎(chǔ)上比較清楚地了解要研究的現(xiàn)象。但在現(xiàn)實(shí)中，絕大多數(shù)情況下，并不知道要研究的隨機(jī)現(xiàn)象的分布，有時(shí)即使知道其服從什么類型的分布，但不知道分布中所含的參數(shù)。由于總體包含個(gè)體的大量性，研究者很難得到全部個(gè)體的信息和資料，即使有時(shí)可以得到，但不經(jīng)濟(jì)。

統(tǒng)計(jì)推斷的基本問(wèn)題92統(tǒng)計(jì)推斷的基本問(wèn)題統(tǒng)計(jì)推斷通常是從所要研究的對(duì)象全體中抽取一部分進(jìn)行觀測(cè)或試驗(yàn)以獲取信息，對(duì)總體作出推斷。由于抽取部分個(gè)體觀測(cè)和試驗(yàn)是隨機(jī)進(jìn)行的，依據(jù)有限個(gè)體的數(shù)據(jù)對(duì)總體作出的推斷不可能絕對(duì)準(zhǔn)確，總是包含誤差，總是含有一定程度的不確定性，而不確定性用概率表示比較恰當(dāng)，概率大，所做的推斷就比較可靠，概率小，推斷的準(zhǔn)確性就低。如何根據(jù)觀測(cè)或試驗(yàn)所得到的有限信息對(duì)總體作出推斷，并同時(shí)指出所作的這種推斷有多大的可靠性（用概率表示），是統(tǒng)計(jì)推斷的基本問(wèn)題。93簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣為什么要進(jìn)行隨機(jī)抽樣？由于種種原因，現(xiàn)實(shí)中很多現(xiàn)象不可能進(jìn)行全面調(diào)查。對(duì)具有破壞性或消耗性的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)對(duì)無(wú)限總體或總體容量過(guò)大的現(xiàn)象進(jìn)行研究

某些現(xiàn)象即使理論上可以進(jìn)行全面調(diào)查，但為了節(jié)省大量的人力、物力、財(cái)力和時(shí)間，在不影響精度和可靠度的前提下，采用抽樣推斷可以達(dá)到事半功倍的效果。

94簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取的樣本應(yīng)能很好地代表總體；從總體中抽取樣本有多種不同的方法，最簡(jiǎn)單的、應(yīng)用很普遍的抽樣方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，它滿足以下兩個(gè)條件：（1）總體的每一個(gè)體都有同等機(jī)會(huì)被選入樣本；（2）樣本的分量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，即樣本中任一個(gè)體的取值不影響其它個(gè)體的取值。滿足這兩個(gè)條件的抽樣方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，由此得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。易見，簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本獨(dú)立同分布（有時(shí)用表示）。

95簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中抽樣有多種方法和技術(shù)，除簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣外，分層抽樣、系統(tǒng)抽樣和整群抽樣也是常用的抽樣方法，不同的抽樣方法得到不同的樣本，進(jìn)而所用的統(tǒng)計(jì)推斷方法也不盡相同。以后如無(wú)特別說(shuō)明，所提到的樣本都是指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。

研究對(duì)象可以視為隨機(jī)變量，有自己的分布；總體和隨機(jī)變量聯(lián)系起來(lái)。在一次抽樣以后，觀測(cè)到的一組確定的值或數(shù)據(jù)稱為該樣本的觀測(cè)值或樣本數(shù)據(jù)，也稱作該樣本的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。樣本所有可能觀測(cè)值的全體就構(gòu)成了樣本空間。96由于樣本中每一個(gè)個(gè)體都來(lái)自總體，所以樣本中的任一個(gè)體的分布函數(shù)和總體相同，即的分布函數(shù)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，相互獨(dú)立，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為如果總體的密度函數(shù)為，則樣本的聯(lián)合分布密度函數(shù)為如無(wú)特別說(shuō)明，一般用大寫英文字母或希臘字母表示隨機(jī)變量，而用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的觀測(cè)值或數(shù)據(jù)。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣97不同的樣本容量對(duì)抽樣誤差的影響但是，后面我們可以看到98抽樣誤差99點(diǎn)估計(jì)的一般原理100原點(diǎn)矩k階原點(diǎn)矩一階原點(diǎn)矩二階原點(diǎn)矩k階樣本原點(diǎn)矩一階樣本原點(diǎn)矩二階樣本原點(diǎn)矩矩估計(jì)

以正態(tài)分布為例101矩估計(jì)

說(shuō)明：設(shè)總體的概率函數(shù)已知，其中是2個(gè)未知參數(shù)，