晶體定向與

結(jié)晶學(xué)符號(hào)第四講

前課復(fù)習(xí)提要一、對(duì)稱要素1）在晶體宏觀外形上可能存在且具獨(dú)立意義的對(duì)稱要素共有9種：C、P、L1

、L2

、L3

、L4

、L6

、Li4

和Li6；它們間的對(duì)稱程度的高低次序?yàn)椋?/p>

L6=Li6

>L4=Li4

>L3

>L2=P>C>L12）Ln

和Lin可統(tǒng)稱為n次軸；3）高次軸:

n＞2的對(duì)稱軸和旋轉(zhuǎn)反伸軸。4）Li4和Li6的獨(dú)立或特殊意義。5）旋轉(zhuǎn)反伸為復(fù)合對(duì)稱操作，無(wú)論先旋轉(zhuǎn)后反伸還是先反伸后旋轉(zhuǎn)，效果都一樣。6）萬(wàn)能公式：L2×P┴=CL2×C=P┴C×P┴=L2二、對(duì)稱要素組合定理1.Ln×L2⊥→LnnL22.Ln×P∥→LnnP3.Ln×P⊥＝Ln×C→LnPC

（n為偶數(shù)）4.Lin×P∥＝Lin×L2⊥

→Lin（n∕2）L2（n∕2）P(n為偶數(shù)）

→

LinnL2nP（n為奇數(shù)）5.Ln×P∥×L2⊥→LnnL2(n+1)PC(n為偶數(shù))

→LnnL2nPC(n為奇數(shù))

三、晶體32種對(duì)稱型對(duì)稱型（點(diǎn)群）對(duì)稱型*：晶體宏觀對(duì)稱要素之組合。

對(duì)稱型（點(diǎn)群）的全面符號(hào)（一般符號(hào)）的書(shū)寫(xiě)方式為：

對(duì)稱軸（先高次，后低次）+對(duì)稱面+對(duì)稱中心

如：立方體的對(duì)稱型（點(diǎn)群）符號(hào)應(yīng)寫(xiě)為

3L44L36L29PC從群論推導(dǎo)證明，晶體中可能出現(xiàn)的對(duì)稱型（點(diǎn)群）總共只有32種。（P40表3-4）A類推導(dǎo)27種，B類推導(dǎo)5種。3、對(duì)稱型的推導(dǎo)：

根據(jù)對(duì)稱要素的組合定理進(jìn)行直觀推導(dǎo)。對(duì)稱要素的組合分類：

A類：高次軸不多于一個(gè)的組合；

B類：高次軸多于一個(gè)的組合。1）A類對(duì)稱型推導(dǎo)：27種

A類對(duì)稱要素可能的組合有7種情況：表3-2P37。2）B類對(duì)稱型的推導(dǎo)：5種對(duì)稱型推導(dǎo)簡(jiǎn)表共同式LnLinLnnL2

LnP(C)

LnnPLn(偶)nL2(n+1)P(C)Ln（奇）nL2nP(C)

Lin（偶）(n/2)L2(n/2)P

A類n=1L1Cn=2L2PL2PC3L2L22P3L23PCn=3L3L3CL33L2L33PL33L23PCn=4L4Li4L44L2L4PCL44PL44L25PCLi42L22Pn=6L6Li6L66L2L6PCL66PL66L27PCLi63L23PB類3L44L33L44L36L23L24L33PC3Li44L36P3L44L36L29PC六、晶體的對(duì)稱分類晶體是根據(jù)其對(duì)稱特點(diǎn)進(jìn)行合理的科學(xué)分類的。

1、屬于同一對(duì)稱型的所有晶體歸為一類，稱為晶類。晶體的32種對(duì)稱型即分為32個(gè)晶類。

晶類的名稱由單形的一般形的名稱確定。見(jiàn)P40表3-4

2、根據(jù)高次軸的有無(wú)及個(gè)數(shù)，將晶體劃分為3個(gè)晶族

1）低級(jí)晶族：無(wú)高次軸

2）中級(jí)晶族：只有一個(gè)高次軸。

3）高級(jí)晶族：有多個(gè)高次軸。3根據(jù)各晶族的對(duì)稱特點(diǎn)（Ln或Lin的軸次高低及其個(gè)數(shù)）共劃分為七個(gè)晶系：①

三斜晶系（triclinicsystem）：無(wú)L2，也無(wú)P

。②

單斜晶系（monoclinicsystem）：L2或P不多于1個(gè)。③

斜方晶系（正交晶系，orthorhombicsystem）：L2或P多于1個(gè)。④三方晶系（trigonalsystem）：唯一的高次軸為L(zhǎng)3

。⑤四方晶系（正方晶系，tetragonalsystem）：L4或Li4只有1個(gè)。⑥六方晶系（hexagonalsystem）：L6或Li6只有1個(gè)。⑦

等軸晶系（isometricsystem）（立方晶系，cubicsystem）：有4L3

。

表3-4晶體的對(duì)稱分類P40~41表3-4

晶體的對(duì)稱分類應(yīng)熟記！P42表3-532對(duì)稱型按物性分類P43表3-632對(duì)稱型按在自然界礦物中出現(xiàn)的概率分類32對(duì)稱型按物性分類

介電晶體類（32個(gè)對(duì)稱型）壓電晶體類（不具對(duì)稱中心，有多個(gè)極軸，除3L44L36L2外，共有20個(gè)對(duì)稱型）

有對(duì)稱中心C

（共11個(gè)對(duì)稱型）熱電晶體類（極性晶體，具單向極軸，共10個(gè)對(duì)稱型）3L2、L33L2、L44L2、L66L2、Li4、Li6、3L24L3、3L44L36L2、3Li44L36P、Li42L22P、Li63L23PLi1、L2PC、L4PC、L3PC、L6PC、3L24L33PC、3L23PC、L44L25PC、L66L27PC、3L44L36L29PCL33L23PCL1、L2、L3、L4、L6、P、L22P、L44P、L33P、L66P七、五次對(duì)稱軸、二十面體準(zhǔn)晶

1、五次對(duì)稱軸及準(zhǔn)晶的發(fā)現(xiàn)

L5L8L10L12

五方、八方、十方及十二方晶系

2、二十面體配位如：Al12Mn二十面體配位MnAl八、晶體對(duì)稱要素的極射赤平投影1）對(duì)稱面：平移至投影中心與球面交線的赤平投影。

同于晶體上雙晶面、雙晶結(jié)合面的投影。水平的：水平大圓，即基圓。直立的：為直線。傾斜的：以基圓直徑為弦的大圓弧。2）對(duì)稱軸：平移至投影中心與球面相交點(diǎn)的赤平投影。同于晶體上的各種直線（晶面法線、結(jié)晶軸、晶棱、晶帶軸、雙晶軸）的投影。水平的：在基圓上。直立的：在基圓中心。傾斜的：在基圓內(nèi)。對(duì)稱型（3L44L36L29PC）對(duì)稱要素的

極射赤平投影XYL2PCm1m2r1r2r5r6L44L25PC

與為不同共軛類的水平二次軸與為不同共軛類的直立對(duì)稱面返回L22P

為直立的極性二次軸

前章重點(diǎn)總結(jié)：

1)對(duì)稱要素：P,Ln,C,Lin；

2)對(duì)稱要素組合：4個(gè)定理；

3)對(duì)稱型：要學(xué)會(huì)用組合定理判斷正確與否；

4)晶體的對(duì)稱分類：3個(gè)晶族，7個(gè)晶系，

32個(gè)對(duì)稱型（點(diǎn)群）或稱32晶類。

5）對(duì)稱要素的極射赤平投影。晶體定向

與

結(jié)晶符號(hào)第四章第四章晶體定向與結(jié)晶符號(hào)第一節(jié)（一、二、三）一、晶體定向方法二、各對(duì)稱型中對(duì)稱要素的空間分布三、對(duì)稱型的國(guó)際符號(hào)及圣弗利斯符號(hào)第二節(jié)（四、五）四、晶面符號(hào)、整數(shù)定律五、晶棱符號(hào)、晶帶符號(hào)及晶帶定律一、晶體定向方法1、晶體定向：

以晶體中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系統(tǒng)。

在晶體上按一定的法則選定一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，選擇坐標(biāo)軸（結(jié)晶軸）和確定坐標(biāo)軸上的軸單位。晶軸、軸單位、軸向、軸角、軸率、晶體常數(shù)三軸定向：XYZ四軸定向:XYUZ1)結(jié)晶軸：在晶體上選定的三根（或四根）適當(dāng)?shù)闹本€（如對(duì)稱軸、平行于晶棱的直線等）作坐標(biāo)軸。2)

軸角：結(jié)晶軸正端之間的夾角。分別為

α(Y∧Z）、β(Z∧X）、γ(X∧Y）

3)

軸單位：結(jié)晶軸上的單位長(zhǎng)度。

4)

軸率（軸單位比

）：三個(gè)結(jié)晶軸之軸單位的比率a:b:c。5)

晶體常數(shù)（crystalconstant）：軸角α、β、γ

和軸率a:b:c之合稱。是表征晶胞形狀的一組參數(shù)。6)

晶胞參數(shù)（cellparameter）：α、β、γ和a0、

b0、c0之合稱?？杀碚骶О男螤罴按笮?。晶體常數(shù)與晶胞形狀的關(guān)系：αa0b0c0晶體定向方法：1）三軸定向法:

X軸（前“

＋

”，后“

－

”）、Y軸（右“

＋

”，左“

－

”）和Z軸（上“

＋

”，下“

－

”）。2）四軸定向法:對(duì)三方、六方晶系采取之，即在X、Y軸同一平面內(nèi)于兩者之間增加一根U軸（后“

＋

”，前“

－

”）。

三方、六方晶系也可以用三軸定向法，稱R坐標(biāo)系，即菱面體定向（但較少用！）。-

2、各晶系晶體的定向

三軸定向四軸定向

1）等軸晶系

6）三方晶系

2）四方晶系7）六方晶系

3）斜方晶系

4）單斜晶系

5）三斜晶系

-

怎么選出這些晶軸?ZYX三個(gè)晶軸不一定垂直YZXU120o++++-3、晶軸的選擇原則1）必須符合晶體所固有的對(duì)稱性。

盡量選對(duì)稱要素作晶軸

即：選對(duì)稱軸，或選對(duì)稱面法線。2）應(yīng)盡可能使所選晶軸彼此垂直、軸角相等。

即：盡量使晶軸夾角=90?

各晶系的對(duì)稱特點(diǎn)不同，具體選擇晶軸的方法也不同，見(jiàn)P50表4-1(此表非常重要，要熟記！).

表4-1P50定向舉例:(等軸、四方、六方、斜方)

請(qǐng)注意:

在晶體的宏觀形態(tài)上根據(jù)對(duì)稱特點(diǎn)選出的三根晶軸,與晶體微觀結(jié)構(gòu)的空間格子的三個(gè)不共面的行列方向是一致的.

為什么?

因?yàn)榭臻g格子中三個(gè)不共面的行列是根據(jù)晶體的對(duì)稱性,人為地畫(huà)出來(lái)的.而晶軸也是根據(jù)晶體的對(duì)稱性,人為地選出來(lái)的.

晶體的內(nèi)部對(duì)稱與晶體的宏觀對(duì)稱是一致的,

因此,晶軸與三個(gè)行列就是一致的.

Z

XY返回在三個(gè)行列上有晶胞參數(shù)(a0,b0,c0;α,β,γ),這些參數(shù)就構(gòu)成了三個(gè)晶軸上的軸單位和晶軸之間的夾角.xyzαa0b0c0晶體外形不可能知道軸單位,但根據(jù)對(duì)稱性可以知道軸單位之間的比值關(guān)系,即：a:b:c

例如等軸晶系的a:b:c=?

四方晶系的a:b:c=?

a:b:c

稱為軸率,軸角為α,β,γ,軸率與軸角統(tǒng)稱為晶體常數(shù).

表4－1列出了各晶系的晶體常數(shù)特點(diǎn).

晶軸具體選擇：①優(yōu)先選Ln或Lin為晶軸；②若Ln的數(shù)量不足時(shí)，則選P的法線方向來(lái)補(bǔ)充作晶軸；③若無(wú)足夠的Ln和P，則選平行于晶棱的方向；④在以上前提下，選擇晶軸盡量使得

α=β=γ=90°,a=b=c。

特例:Li42L22PLi63L23PP50四方四面體的定向圖解Z二、各對(duì)稱型中對(duì)稱要素的空間分布32對(duì)稱型（點(diǎn)群）中各對(duì)稱要素在空間的分布，以及各對(duì)稱型的一般形和極射赤平投影圖表說(shuō)明（表4-2，P52-62）注意對(duì)稱要素的符號(hào)意義。對(duì)稱型（3L44L36L29PC）對(duì)稱要素的

極射赤平投影XYYX4個(gè)L2⊥為兩套定向系統(tǒng)XYY6個(gè)L2⊥為兩套定向系統(tǒng)YUXL33L23個(gè)L2⊥為水平極性二次軸返回L22PXYL2PCXY正長(zhǎng)石三、對(duì)稱型的國(guó)際符號(hào)及圣弗利斯符號(hào)

對(duì)稱型的符號(hào)有3種：

全面符號(hào)、國(guó)際符號(hào)、圣佛利斯符號(hào)如金剛石對(duì)稱型的三種符號(hào)：

全面符號(hào)為3L44L36L29PC，

國(guó)際符號(hào)為m3m，

圣佛利斯符號(hào)為Oh?，F(xiàn)代文獻(xiàn)中，一般都采用對(duì)稱型的國(guó)際符號(hào)。1、對(duì)稱型的國(guó)際符號(hào)國(guó)際符號(hào)一般只寫(xiě)出對(duì)稱型中作為基礎(chǔ)的那些對(duì)稱要素。對(duì)稱型的國(guó)際符號(hào)的完整形式，以一定的順序列出了一定方向上的對(duì)稱要素，而省略了等同的和派生的對(duì)稱要素。1）.基本含義

n：→Ln12346

：→Linm：→P若對(duì)稱面與對(duì)稱軸垂直，則兩者之間以斜線或橫線隔開(kāi)，如L2PC以2/m表示，L4PC以4/m表示2）書(shū)寫(xiě)順序2）書(shū)寫(xiě)順序?qū)ΨQ型的國(guó)際符號(hào)是由1~3個(gè)（一般不超過(guò)3個(gè)）的結(jié)晶學(xué)方位上的對(duì)稱要素符號(hào)，嚴(yán)格地按一定順序排列而構(gòu)成的。即在某個(gè)位置代表的方向上出現(xiàn)的對(duì)稱要素。不同晶系的書(shū)寫(xiě)序位有所不同具體見(jiàn)P63表4-3

請(qǐng)一定熟記！各晶系對(duì)稱型國(guó)際符號(hào)中各序位所代表的方向(P63)對(duì)稱型的國(guó)際符號(hào)特點(diǎn)

1）可以表示出對(duì)稱要素的方向性；2）簡(jiǎn)明，它不將所有的對(duì)稱要素都寫(xiě)出來(lái)，凡是可以派生出來(lái)的對(duì)稱要素都省略了；3）但不易看懂.

如：L2PC以2/m表示，L4PC以4/m表示，對(duì)稱中心C就不必再表示出來(lái)了，因?yàn)榕即屋S垂直對(duì)稱面定會(huì)產(chǎn)生一個(gè)C。3第四章晶體定向與結(jié)晶學(xué)符號(hào)第二節(jié)四、晶面符號(hào)、整數(shù)定律五、晶棱符號(hào)、晶帶符號(hào)及晶帶定律四、晶面符號(hào)、整數(shù)定律

（一）、晶面符號(hào)1.晶面符號(hào)（面號(hào)）：表示晶面在晶體上的空間取向的一種結(jié)晶學(xué)符號(hào)。常用的是米氏符號(hào)2米氏符號(hào)（Millerindices）：

以晶面在各晶軸上的截距系數(shù)的倒數(shù)比，并

用小括號(hào)括起來(lái)表示。如（100）（111）（321）舉例說(shuō)明:

某晶面在X,Y,Z軸上的截距為2a,3b,6c,那么截距系數(shù)為2,3,6,倒數(shù)為1/2,1/3,1/6,化簡(jiǎn)以后的倒數(shù)比為3:2:1,寫(xiě)做（321）,這就是該晶面的晶面符號(hào)，或稱米氏符號(hào).一般式寫(xiě)作（hkl）

注意：三個(gè)晶軸上的軸單位不一定相等，所以，截距系數(shù)與截距不一定成正比。

例如：

hkl稱為晶面指數(shù).但對(duì)于三方,六方晶系來(lái)說(shuō),可以用四軸定向,要用四個(gè)晶面指數(shù)h,k,i,l,

晶面符號(hào)為（hkil）,前三個(gè)指數(shù)的代數(shù)和等于0.例如:（1120）（1011）uX四軸定向Y3、特別提示：①

晶面指數(shù)是一組無(wú)公約數(shù)的整數(shù)。②

晶面符號(hào)是由晶面指數(shù)按X、Y、Z軸順序連寫(xiě)，并置于“（）”內(nèi)而構(gòu)成。一般式寫(xiě)作（hkl）。③對(duì)于三方、六方晶系晶體，晶面指數(shù)是按X

、Y

、

ū、Z軸順序排列，其一般式寫(xiě)作（hkl），其中h＋k＋

＝

0。（二）、整數(shù)定律整數(shù)定律（lawofwholenumbers）亦稱有理指數(shù)定律（lawofrationalindices）或

阿羽依定律（lawofHaüy）：若以平行于三根不共面晶棱的直線作為晶軸，則晶體上任意二晶面在3根晶軸上所截的截距的比值之比為一簡(jiǎn)單整數(shù)比。圖1圖2五、晶棱符號(hào)晶帶定律（一）晶棱符號(hào)

表征晶棱在晶體中取向的一種結(jié)晶學(xué)符號(hào)。表征晶棱（直線）方向的符號(hào)，不涉及晶棱的具體位置，即所有平行棱具有同一個(gè)晶棱符號(hào)。晶棱符號(hào)的表示方法：將晶棱平移至過(guò)晶軸的原點(diǎn)（O

），在其上任取一點(diǎn)M,求出此點(diǎn)在3個(gè)晶軸上的坐標(biāo)（x，y，z），并以軸單位來(lái)度量，

(x∕a)∶(y∕b)∶(z∕c)＝r∶s∶t即該點(diǎn)在三根晶軸上的坐標(biāo)系數(shù)比值用方括號(hào)表示，晶棱符號(hào)為[rst]晶棱符號(hào)的一般式:[rst]

例如OP的符號(hào)為[123]再如[100]⊥(100)

[010]⊥(010)

[001]⊥(001)

舉例:

立方體、八面體垂直晶面的直線符號(hào)分別為:[100][111]ABC注意：1）對(duì)應(yīng)指數(shù)彼此為相反符號(hào)，但絕對(duì)值相同的晶棱符號(hào)，表示為同一晶棱；2）指數(shù)為零并不表示晶棱與相應(yīng)的晶軸平行，在等軸、四方、斜方晶系中，指數(shù)為零恰好表示晶棱垂直于相應(yīng)的晶軸.

如晶棱[100]，垂直于Y軸、垂直于Z軸，恰好垂直晶面（100）。（二）、晶帶符號(hào)1、晶帶的概念晶帶：交棱相互平行的一組晶面之組合。晶帶軸：該晶帶中各晶面交棱方向直線，并移至過(guò)晶體中心。

晶帶軸的符號(hào)就是以晶棱符號(hào)表示的。

“交棱”包括：①晶體上二晶面實(shí)際相交出的晶棱；②晶面實(shí)際并未相交，但設(shè)想晶面延展后即可交出的可能晶棱。2、晶帶符號(hào)：

通常以晶帶軸符號(hào)來(lái)表示晶帶符號(hào)。以晶帶中平行于晶帶軸的晶棱

的符號(hào)表示。即：以晶帶軸的取向

來(lái)表示

晶帶的空間方位

的一種結(jié)晶符號(hào)。

如：晶帶[001]，表示以[001]直線為晶帶軸的那一組交棱相互平行的晶帶。特別提示：①相互平行的晶棱具有相同的晶棱符號(hào)，即

晶帶軸的符號(hào)（晶帶符號(hào)）。②

晶帶軸分別∥

X、Y、Z軸的晶帶符號(hào)分別為

[100]、[010]、[001]

。③晶棱符號(hào)也可用以表達(dá)對(duì)稱軸、雙晶軸、

結(jié)晶軸等直線在晶體中的具體取向。（三）晶帶定律晶帶定律：晶體上的

任一晶面至少屬于兩個(gè)晶帶

。任意二晶棱（晶帶）相交必可決定一可能的晶面

，而任意二晶面

相交必可決定

一可能的晶棱（晶帶）。（魏斯定律，Wisslaw

）根據(jù)此定律，可由若干已知晶面或晶帶推導(dǎo)出晶體上一切可能的晶面的位置。

晶帶定律和整數(shù)定律分別以不同的形式闡述了晶面（面網(wǎng)）與晶棱（行列）相互依存的幾何關(guān)系。晶帶符號(hào)（晶棱符號(hào)）與晶面符號(hào)存在如下的關(guān)系：

設(shè)晶面（hkl）位于晶帶[rst]上，即[rst]直線位于平面（hkl）之中，則根據(jù)平面方程式可導(dǎo)出：

hr+ks+lt=0根據(jù)基本公式hr+ks+lt=0，可做如下的運(yùn)算和推導(dǎo)：1）求晶面（hkl)和（mnp）所決定的晶棱[rst];

因?yàn)閔r+ks+lt=0mr+ns+pt=0

則r:s:t=(kp-nl):(lm-ph):(hn-mk)

等式右邊用行列式表示：

2)求位于晶帶[rst]和[uvw]相交處的晶面（hkl）；3）已知晶面（hkl）和（mnp）在同一晶帶上，求位于此晶帶上介于此二晶面之間的另一晶面的符號(hào)。晶帶符號(hào)（晶棱符號(hào)）與晶面符號(hào)的關(guān)系：晶面（hkl）（mnp）所決定的晶帶：

hklhkl如:100100mnpmnp010010rst001晶帶[rst][uvw]所決定的晶面：

rstrst如:010010uvwuvw001001hkl100（100）（010）（001）[001](100)應(yīng)用：晶體電子衍射花樣（譜）解釋利用晶帶定理，取任不在同一直線上的兩個(gè)斑點(diǎn)，求出晶帶指數(shù)[uvw]=g1×g2

即單晶電子衍射花樣（譜）是與Ewald反射球相截的二維倒易平面的倒易點(diǎn)陣的投影放大像。云母單晶衍射花樣小結(jié)：一、晶體定向方法二、各對(duì)稱型中對(duì)稱要素的空間分布三、對(duì)稱型的國(guó)際符號(hào)及圣弗利斯符號(hào)四、晶面符號(hào)、晶棱符號(hào)、晶帶符號(hào)五、整數(shù)定律、晶帶定律重點(diǎn)：1）晶體定向：晶軸的選擇，坐標(biāo)系的建立。2）在晶體定向的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出對(duì)稱型的國(guó)際符號(hào)。

3）確定晶面符號(hào)、晶棱符號(hào)、晶帶符號(hào)。4）整數(shù)定律和晶帶定律分別以不同的形式闡述了

晶面（面網(wǎng)）與晶棱（行列）相互依存的幾何關(guān)系。3注意：①

晶面指數(shù)是一組無(wú)公約數(shù)的整數(shù)。②

晶面符號(hào)是由晶面指數(shù)按X、Y、Z軸順序連寫(xiě)，并置于“

（）

”內(nèi)而構(gòu)成。一般式寫(xiě)作（hkl）。③對(duì)于三方、六方晶系晶體，晶面指數(shù)是按X

、Y

、ū、Z軸順序排列，其一般式寫(xiě)作（hkl）。其中h＋k＋

＝

0。關(guān)于晶面符號(hào)的幾種特殊情況：1）若晶面平行于某一晶軸，則晶面在該晶軸上的晶面指數(shù)為0

如：∥Y、Z軸，與X軸相交的晶面，面號(hào)為（100）