單輝祖材力第四章扭轉(zhuǎn)第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日§4-1扭轉(zhuǎn)的概念第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對轉(zhuǎn)動受力特點：圓截面直桿受到一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿的軸線的外力偶作用變形特點：Me

Me

工程中注意承受扭轉(zhuǎn)的構(gòu)件稱為“軸”，實際構(gòu)件工作時除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，還常伴隨有彎曲、拉壓等其他變形形式。第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日§4-2扭力偶矩計算·扭矩及扭矩圖Ⅰ、傳動軸的外力偶矩傳動軸的轉(zhuǎn)速n；某一輪上所傳遞的功率P(kW)作用在該輪上的外力偶矩Me。已知：求：一分鐘內(nèi)該輪所傳遞的功率等于其上外力偶矩所作的功：Me1

Me2

Me3

n從動輪主動輪從動輪第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日傳動輪的轉(zhuǎn)速n、功率P及其上的外力偶矩Me之間的關(guān)系：(P—馬力)(P—kW)或第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日Ⅱ、扭矩及扭矩圖圓軸受扭時其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用符號T表示。扭矩大小可利用截面法來確定。11TTMe

Me

AB11BMe

AMe

11x第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日扭矩的符號規(guī)定按右手螺旋法則確定:扭矩矢量離開截面為正，指向截面為負。仿照軸力圖的做法，可作扭矩圖，表明沿桿軸線各橫截面上扭矩的變化情況。TTTTT(+)T(-)第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日11TTMe

Me

AB11BMe

AMe

11xMeT圖+第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日例一傳動軸如圖，轉(zhuǎn)速n=300r/min；主動輪輸入的功率P1=500kW，三個從動輪輸出的功率分別為：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。試作軸的扭矩圖。第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日首先必須計算作用在各輪上的外力偶矩解：221133M1

M2

M3

M4

ABCD第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日分別計算各段的扭矩221133M1

M2

M3

M4

ABCDT111xM2AT2AM2

BM3

22xT333DM4

x第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日扭矩圖Tmax=9.56kN·m在CA段內(nèi)M1

M2

M3

M4

ABCD4.789.566.37T圖(kN·m)第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日表面變形特點及分析：gjABDC一、圓軸扭轉(zhuǎn)試驗與假設(shè)§4-3圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日（1）、相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動，但圓周的大小、形狀、間距都未變；（2）、縱向線傾斜了同一個角度g，表面上所有矩形均變成平行四邊形。平面假設(shè)：變形后橫截面仍保持平面，其形狀、大小與橫截面間的距離均不改變，而且，半徑仍為直線。概言之，圓軸受扭轉(zhuǎn)時其橫截面如同剛性平面一樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動。第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日表面正方格子傾斜的角度—直角的改變量切應(yīng)變gjABDCgABCDB1A1D1

C1

D'D1'C1'C'橫截面上沒有正應(yīng)力產(chǎn)生，只有切應(yīng)力，方向與圓周相切，即與半徑垂直。第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日gMe

Me

djgD'G'GETTO1O2ababdxDAgrrdjgD'G'GEO1O2DAgrrdxd二、橫截面上的應(yīng)力公式1、幾何關(guān)系第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日即相對扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率，對于給定的橫截面為常量djgD'G'GETTO1O2ababdxDAgrrdjgD'G'GEO1O2DAgrrdxd第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日剪切胡克定律：（在彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。2、物理方面Od？橫截面上各點的剪應(yīng)力與點到截面中心的間距成正比，即剪應(yīng)力沿截面的半徑呈線性分布。第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日3、靜力學(xué)方面稱為橫截面的極慣性矩trdA

trdA

rrrO令得T第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日Od圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上切應(yīng)力計算公式：rtmaxtrtmaxT1、T為橫截面上的扭矩2、Ip為截面參數(shù)，取決于截面形狀與尺寸3、ρ為所求點距圓心距離。第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日發(fā)生在橫截面周邊上各點處。稱為抗扭截面系數(shù)最大切應(yīng)力tmaxtmax令即OdrtrT三、最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日同樣適用于空心圓截面桿受扭的情形tmaxtmaxODdTrtr第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日圓截面的極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wp實心圓截面：—幾何性質(zhì)Odrrd第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日空心圓截面：DdrrOd第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日注意：對于空心圓截面DdrrOd第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日四、薄壁圓截面軸的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力式中：代表圓管的平均半徑，代表壁厚。第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日等直圓軸材料的許用切應(yīng)力§4-4圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件與合理設(shè)計第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日例1實心等截面直軸，d=110mm，(1)試求截面Ⅱ上距軸線40mm處的點的剪應(yīng)力。(2)若已知[τ]=40MPa，試校核軸的強度。解：①內(nèi)力分析由扭矩圖得知T2危險橫截面在AC段，Tmax②應(yīng)力計算第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日③強度計算＜[τ]第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日例圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩MA=22kN?m，MB=36kN?m，MC=14kN?m。材料的許用切應(yīng)力[t]=80MPa，試校核該軸的強度。解：1、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖2214T圖（kN·m）MA

MBⅡⅠMC

ACB第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日BC段AB段2、計算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強度即該軸滿足強度條件。2214T圖（kN·m）第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日例實心圓截面軸Ⅰ和空心圓截面軸Ⅱ(a=d2/D2=0.8)的材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩Me和長度l均相同。試求在兩圓軸橫截面上最大切應(yīng)力相等的情況下，D2/d1之比以及兩軸的重量比。(a)

Me

Me

d1lⅠMe

(b)

Me

lⅡD2d2第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日解：已知得第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日兩軸的重量比可見空心圓軸的自重比實心圓軸輕。討論：為什么說空心圓軸比實心圓軸更適合于做受扭構(gòu)件？第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日例圓柱螺旋彈簧如圖(簧桿斜度a<5°)受軸向壓力(拉力)F

作用。已知：簧圈平均直徑為D，簧桿直徑d，彈簧的有效圈數(shù)

n，簧桿材料的切變模量G

，且簧圈平均直徑D>>d。試推導(dǎo)彈簧的應(yīng)力計算公式。第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日解：1、求簧桿橫截面上的內(nèi)力分離體的平衡2、求簧桿橫截面上的應(yīng)力a)與剪力相應(yīng)的切應(yīng)力τ′b)與扭矩相應(yīng)的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力τ″max扭矩第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日最大切應(yīng)力發(fā)生在簧絲截面內(nèi)側(cè)，其值為:

當D>>d

時,略去剪力的影響和簧圈曲率的影響:

當D/d<10時,或計算精度要求較高時,須考慮剪力和簧圈曲率的影響:第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日§4-5等直圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形?剛度條件Ⅰ、扭轉(zhuǎn)時的變形——兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角j扭轉(zhuǎn)角沿桿長的變化率相距dx的微段兩端截面間相對扭轉(zhuǎn)角為gMe

Me

jdjgD'TTO1O2ababdxDA第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日等直圓桿僅兩端截面受外力偶矩Me

作用時稱為等直圓桿的扭轉(zhuǎn)剛度相距l(xiāng)的兩橫截面間相對扭轉(zhuǎn)角為gMe

Me

j(單位：rad)第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日例圖示鋼制實心圓截面軸，已知：M1=1592N?m,M2=955N?m，M3=637N?m，d=70mm，lAB=300mm，lAC=500mm，鋼的切變模量G=80GPa。求橫截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角jCB。解：1、先用截面法求各段軸的扭矩：BA段AC段M1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日2、各段兩端相對扭轉(zhuǎn)角：jCAjABM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日3、橫截面C相對于B的扭轉(zhuǎn)角：jABjCAM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日Ⅱ、剛度條件等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的剛度條件：對于精密機器的軸對于一般的傳動軸常用單位：/m第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日例由45號鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比a

=0.5。已知材料的許用切應(yīng)力[t

]=40MPa，切變模量G=80GPa。軸的橫截面上最大扭矩為Tmax=9.56kN?m，軸的許可單位長度扭轉(zhuǎn)角[]=0.3/m。試選擇軸的直徑。解：1、按強度條件確定外直徑D第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日2、由剛度條件確定所需外直徑D3、確定內(nèi)外直徑第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日

扭轉(zhuǎn)超靜定問題的解法，同樣是綜合考慮靜力、幾何、物理三方面。其主要難點仍是由變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程。例兩端固定的圓截面桿AB，在截面C處受一扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用如圖。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp，試求桿兩端的支反力偶矩。解：一次超靜定

設(shè)想固定端B為多余約束，解除后加上相應(yīng)的多余未知力偶矩MB，得基本靜定系。MeABablCIIIMeMACABIIIxBM§4-6簡單靜不定軸第四十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日

變形協(xié)調(diào)條件：根據(jù)原超靜定桿的約束情況，基本靜定系在B端的扭轉(zhuǎn)角應(yīng)等于零,即補充方程為

平衡方程：設(shè)固定端A的支反力偶為MA,方向同MB

按疊加原理：BB、BM分別為MB、Me引起的在桿端B的扭轉(zhuǎn)角。線彈性時，物理關(guān)系(胡克定理)為代入上式可解得MA可平衡方程求得。第四十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日例圖示一長為l的組合桿，由不同材料的實心圓截面桿和空心圓截面桿套在一起而組成，內(nèi)、外兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作，其扭轉(zhuǎn)剛度分別為GaIpa和GbIpb。當組合桿的兩端面各自固結(jié)于剛性板上，并在剛性板處受一對扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用時，試求分別作用在內(nèi)、外桿上的扭轉(zhuǎn)力偶矩。

解：畫出受力及變形簡圖

寫出獨立平衡方程

一次超靜定問題。ABljaMbMMeABMeeMrbarl第四十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日變形協(xié)調(diào)條件：原桿兩端各自與剛性板固結(jié)在一起，故內(nèi)、外桿的扭轉(zhuǎn)變形相同。即補充方程為

代入物理關(guān)系(胡克定理)，與平衡方程聯(lián)立，即可求得Ma和Mb。并可進一步求得桿中切應(yīng)力如圖（內(nèi)、外兩桿材料不同），可見在兩桿交界處的切應(yīng)力是不同的。dDT1T1ttt2min1max2max21第四十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日§4-7等