測繪數(shù)據(jù)處理

2023/3/141一、自由網(wǎng)平差概述在控制網(wǎng)的經(jīng)典間接平差中，必須具有足夠的起算數(shù)據(jù)。例如，在水準網(wǎng)的間接平差中，必須至少已知某一點的高程；在測角網(wǎng)的間接平差中，必須至少已知某一點的坐標、某一條邊的坐標方位角即某一條邊的邊長，等等。下面將討論無起算數(shù)據(jù)的平差方法，即自由網(wǎng)平差。當網(wǎng)中有足夠的起算數(shù)據(jù)時，經(jīng)典間接平差的誤差方程為

(1-7-1）系數(shù)矩陣B最大線性無關的行（列）向量的個數(shù)，及B矩陣的秩R(B)等于未知參數(shù)的個數(shù)t.即

(1-7-2)2023/3/142在最小二乘準則下，得其法方程為

(1-7-3)其中N=PB,W=。此時，系數(shù)陣N為滿秩方陣，即det(N),N為非奇異陣，有唯一解，其解為

(1-7-4)當平差網(wǎng)沒有起算數(shù)據(jù)時，網(wǎng)中所有的點均為待定點。設未知參數(shù)的個數(shù)為u,誤差方程為

(1-7-5)組成的法方程為2023/3/143d就是網(wǎng)中必要的起算數(shù)據(jù)個數(shù)。且有：

二、秩虧自由網(wǎng)平差思路為了求得未知參數(shù)的唯一確定解，除了遵循最小二乘準則外，還必須增加新的約束條件，從而達到求得唯一解的目的。由于約束條件不同，秩虧自由網(wǎng)平差可分為如下幾種情況：（1）、經(jīng)典自由網(wǎng)平差。它是在假設網(wǎng)中有d個必要起算數(shù)據(jù)的條件下，求定未知參數(shù)的最佳估計。這種方法早就已為人們所熟知。不難理解，該法的平差結(jié)果（未知參數(shù)X的解及其協(xié)因數(shù)陣）將隨著假設的d個必要起算數(shù)據(jù)的不同而不同，即隨著已知點位置的改變而改變。2023/3/145（2）、秩虧網(wǎng)平差。它是在最小二乘和最小范數(shù)的條件下求定未知參數(shù)的最佳估值。（3）、加權(quán)秩虧網(wǎng)平差。它是在最小二乘和加權(quán)最小范數(shù)的條件下求定未知參數(shù)的最佳估值。式中，為表示未知參數(shù)穩(wěn)定程度的先驗權(quán)矩陣。（4）、擬穩(wěn)平差。若將平差網(wǎng)中的未知參數(shù)分為兩類，即

(s>d)(1-7-7)

式中，是非擬穩(wěn)點的未知參數(shù)，是擬穩(wěn)點的未知參數(shù)。這樣擬穩(wěn)平差是在和求定未知參數(shù)的最佳估值。2023/3/146由上可知，三種秩虧自由網(wǎng)平差均遵循的原則，對于同一平差問題，它們將有相同的法方程，三種自由網(wǎng)平差的解均能滿足法方程式(1-7-6)，它它們都是這一相同法方程多組解中的一個特解。它們之間的不同只是由于各自對解向量x所加的限制條件不同引起的，即由于各自所加的最小范數(shù)條件不同，因此得到了不同的解向量。由于秩虧網(wǎng)平差與擬穩(wěn)平差都是加權(quán)秩虧網(wǎng)平差的特殊情況，其區(qū)別僅在于各自選擇了不同的先驗權(quán)陣。所以我們將先介紹加權(quán)秩虧網(wǎng)平差，然后再介紹秩虧網(wǎng)平差和擬穩(wěn)平差。自由網(wǎng)平差的方法很多，本節(jié)我們只介紹附加條件法。2023/3/147對三維網(wǎng)，這種約束將要求：.平差前后網(wǎng)點重心不變（即固定重心點坐標）；.平差前后控制網(wǎng)相對其重心不繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)（即固定重心與所有網(wǎng)點連線的平均方位角與天頂距）；.平差前后所有網(wǎng)點相對重心的平均距離不變（即固定與重心的平均距離）。對平面網(wǎng)，這種約束將要求：.平差前后網(wǎng)點重心坐標不變；.平差前后各網(wǎng)點與重心連心的平均方位角不變；.平差前后所有網(wǎng)點相對重心的平均距離不變（即固定與重心的平均距離）。對于一維的高程網(wǎng)，這種約束是使平差前后網(wǎng)店的平均高程保持不變。這些約束條件我們稱之為重心基準條件。2023/3/149（三）加權(quán)秩虧自由網(wǎng)平差基準和秩虧自由網(wǎng)平差基準類似，但應考慮各網(wǎng)點的權(quán)重，采用了帶權(quán)重心基準條件。（四）擬穩(wěn)平差基準也和秩虧自由網(wǎng)平差基準類似，但僅僅是采用所有擬穩(wěn)點的重心基準條件。

四、加權(quán)秩虧自由網(wǎng)平差（一）平差計算公式加權(quán)秩虧網(wǎng)平差就是求相容法方程：

(1-7-8)的加權(quán)最小范數(shù)解。

附加條件法的基本思想是：由于網(wǎng)中沒有起始數(shù)據(jù)，平差時多選了d個未知參數(shù)?，F(xiàn)在u個未知參數(shù)之間適當給定d個附加條件2023/3/1410式，即在平差問題的函數(shù)模型中加入d個未知參數(shù)的限制條件方程，從而可以按附有限制條件的間接平差法求解。等價于約束條件的限制條件方程為

(1-7-9)式中BG=0(1-7-10)故加權(quán)秩虧網(wǎng)平差函數(shù)模型為

(1-7-11)2023/3/1411

(1-7-15)可以證明（證明略），當G滿足條件BG=0時，連系數(shù)向量K必等于零。故可簡化為

(1-7-16)將代入式(1-7-11)，可求得V，再根據(jù)即可求得個未知參數(shù)的平差值需要說明的是，在實際計算時，附加陣G不僅要滿足BG=0的條件，還要滿足條件

(1-7-17)也即在實際計算前，尚需要把G陣進行標準化，是的滿足式(1-7-17)所述條件。2023/3/1413（二）精度評定公式1、驗后單位權(quán)方差

(1-7-18)式中，可以直接計算，也可用計算得到2、協(xié)因數(shù)陣（1）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為

(1-7-19)當對G陣進行標準化后，由于，故式(1-7-19)可進一步簡化為(1-7-20)

（2）觀測數(shù)據(jù)平差值的協(xié)因數(shù)陣為

(1-7-21)2023/3/1414

（三）常見附加陣G采用附加條件法進行秩虧自由網(wǎng)平差計算非常容易，但必須預先構(gòu)建附加陣G。下面是幾種常見的附加陣G。1、水準網(wǎng)設有u個點，則

(1-7-22)

2、平面測角網(wǎng)按角度平差，設有m個點，則

(1-7-23)2023/3/1415對于平面測邊網(wǎng)、邊角網(wǎng)和導線網(wǎng)，只要將式(1-7-23)或式(1-7-24)中的第四行劃去，剩下的三行u列的陣，即分別為按角度平差時的附加陣。對于三維測邊網(wǎng)，只要將式（1-7-25）的第七行劃去，剩下的6三行u列的陣即為三維測邊網(wǎng)平差時的附加陣。很明顯，上述的附加陣G均未標準化，即只是滿足了BG=0，但尚未滿足的條件。2023/3/1417

陣標準化1、用原始陣和陣，求出相應的陣；2、設中第i行主對角元素為gii，把原始陣相應的第i行數(shù)據(jù)均乘以即可得到標準化陣的相應數(shù)據(jù)；3、原始陣中每一行數(shù)據(jù)均按（2）所述做同樣變換，即可得到標準化陣。例：有測邊網(wǎng)如下圖所示，各點的近似坐標列于下表。若又已知待定點的先驗權(quán)陣為2023/3/1418試求加權(quán)秩虧網(wǎng)平差的標準化陣。表1-7-1解：計算秩虧網(wǎng)平差時的標準化陣，即計算滿足BG=0和計算網(wǎng)的加權(quán)重心點坐標。

點號43212023/3/1419（4）求解

（5）標準化陣確定把原始陣中的第一行、第二行、第三行分別乘以，即可求得標準化陣為

2023/3/1421

五、秩虧自由網(wǎng)平差秩虧網(wǎng)是在最小二乘和最小范數(shù)的條件下求定未知參數(shù)的最佳估值。也可敘述為秩虧網(wǎng)平差是求相容法方程在最小范數(shù)

(1-7-26)條件下的解。它是加權(quán)秩虧網(wǎng)平差時的特例。因此，秩虧網(wǎng)平差的各種計算公式均可由加權(quán)秩虧網(wǎng)平差時的計算公式列出。（一）平差計算公式等價于約束條件的限制條件方程為2023/3/1422（1-7-27）式中

BG=0（1-7-28）故秩虧網(wǎng)平差的函數(shù)模型為

（1-7-29）此處的系數(shù)矩陣B不是列滿矩陣，而是列虧矩陣。將式（1-7-29）組成法方程，得

(1-7-30)式中，2023/3/1423（二）精度評定公式（）1、驗后單位權(quán)方差

(1-7-36)式中，可以直接計算，也可用計算得到2、協(xié)因數(shù)陣（1）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為

(1-7-37)當對G陣進行標準化后，由于，故式(1-7-19)可進一步簡化為(1-7-38)

（2）觀測數(shù)據(jù)平差值的協(xié)因數(shù)陣為

(1-7-39)2023/3/1425

（三）陣標準化1、用原始陣和陣，求出相應的陣；2、設中第i行主對角元素為gii，把原始陣相應的第i行數(shù)據(jù)均乘以即可得到標準化陣的相應數(shù)據(jù)；3、原始陣中每一行數(shù)據(jù)均按（2）所述做同樣變換，即可得到標準化陣。例：測角網(wǎng)如下圖，全網(wǎng)4個待定點的坐標值列于下表.當采用秩虧網(wǎng)測角平差時，求其標準化陣。2023/3/1426(3)原始陣確定。（4）求解

（5）標準化陣確定把原始陣中的第一行、第二行、第三行、第四行分別乘以

2023/3/1429六、擬穩(wěn)平差擬穩(wěn)平差是在最小二乘和最小范數(shù)（局部解向量的范數(shù)最?。┑臈l件下，求定位置參數(shù)的最佳估值。也可敘述為：擬穩(wěn)平差是相容法方程，（1-7-40）

在最小范數(shù)條件下的解。可見，它是加權(quán)秩虧網(wǎng)平差取時的特例。因此，擬穩(wěn)平差的各種計算公式也可由加權(quán)秩虧網(wǎng)平差的計算公式直接引出。2023/3/1430

（一）平差計算公式

在式（1-7-40）第二式中，?。?-7-41）并設（1-7-42）則（1-7-43）若令（1-7-44）則可得擬穩(wěn)平差的函數(shù)模型為（1-7-45）此處的系數(shù)矩陣B不是列滿矩陣，而是列虧矩陣。將式（1-7-45）組成法方程，得

2023/3/1431

（1-7-46）式中，，。因為降秩方陣，無正常逆，所以必須對法方程做適當變動。將（1-7-46）中的第二個方程左乘后再加到第一個方程上去，既得變形后的法方程為（1-7-47）式中，，。解法方程，得（1-7-48）（1-7-49）可以證明,當滿足條件時，聯(lián)系數(shù)向量K必等于零。故式可簡化為（1-7-50）代入式（1-7-45），可求得V，即可求得各未知參數(shù)的平差值。2023/3/1432在實際計算時，還要對附加陣提出進一步的要求（1-7-51）在實際計算前，也需要把陣進行標準化，使得滿足式（1-7-51）所述條件。（二）精度評定公式

1.驗后單位權(quán)方差（1-7-52）式中，可以直接計算，也可以計算得到

2.協(xié)因數(shù)陣（1）未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為（1-7-53）當對陣進行標準化后，由于，可證明,故式（1-7-53）可進一步簡化為（1-7-54）2023/3/1433（2）觀測數(shù)據(jù)平差值的協(xié)因數(shù)陣為