圖形與變換一．知識(shí)要點(diǎn)：幾何變換是將一個(gè)幾何圖形變換成另一個(gè)幾何圖形的方法,如果只改變圖形的位置關(guān)系而不改變圖形的形狀和大小,這種變換叫做合同變換。常見(jiàn)的合同變換有平移變換、對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換.幾何變換的目的主要是把分散的條件集中在一個(gè)易于聯(lián)系的圖形中.在坐標(biāo)平面上圖形變換可以歸結(jié)為圖形上的點(diǎn)的變換1．常見(jiàn)的平移有：平移梯形的腰、對(duì)角線、高、平行四邊形等.2．涉及到“對(duì)稱”均可考慮對(duì)稱變換.如沿等腰三角形的底邊上的高翻折，沿角的平分線翻折等.3．常用到旋轉(zhuǎn)的有繞等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60o，繞正方形的一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90o、繞等腰三角形的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于等腰三角形的頂角等。二．考試說(shuō)明：考試內(nèi)容考試要求ABC圖形與變換軸對(duì)稱了解圖形的軸對(duì)稱，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分的性質(zhì)；能按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)過(guò)一次或兩次軸對(duì)稱后的圖形；掌握簡(jiǎn)單圖形之間的軸對(duì)稱關(guān)系，并能指出對(duì)稱軸；掌握基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對(duì)稱性及其相關(guān)性質(zhì)．能運(yùn)用軸對(duì)稱的知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題平移了解圖形的平移，理解平移中對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行（或在同一條直線上）且相等的性質(zhì)．能按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形平移后的圖形；能依據(jù)平移前、后的圖形，指出平移的方向和距離．能運(yùn)用平移的知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題旋轉(zhuǎn)了解圖形的旋轉(zhuǎn)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；會(huì)識(shí)別中心對(duì)稱圖形．能按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，能依據(jù)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形，指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角．能運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題三、課時(shí)安排：7-9節(jié)四、復(fù)習(xí)建議：1.引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形與變換的角度重新認(rèn)識(shí)常見(jiàn)輔助線的添加方法；2.注重基本圖形的講解和常規(guī)方法的落實(shí)；3.注重解題方法：類比：從特殊到一般基本模型：從簡(jiǎn)單到復(fù)雜（化繁為簡(jiǎn)）；4.近幾年中考試題的反復(fù)練習(xí)，從中體會(huì)知識(shí)要點(diǎn)、考點(diǎn)和解決問(wèn)題的思路；5．用變換的性質(zhì)解決坐標(biāo)系中的圖形變換問(wèn)題，用變換的觀點(diǎn)研究函數(shù)的平移和對(duì)稱．五、基本知識(shí)點(diǎn)（參考總復(fù)習(xí)書(shū)）(一)平移變換1.平移變換的兩個(gè)要素：移動(dòng)的方向和距離．2．平移的性質(zhì)(1)平移前后的圖形全等；(2)對(duì)應(yīng)線段平行(或共線)且相等；(3)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行(或共線)且相等．3．平移變換的作圖如圖，將△ABC平移至△A′B′C′，則有AA′∥BB′，且AA′＝BB′；BB′與CC′共線，且BB′＝CC′．4．用坐標(biāo)表示平移(1)點(diǎn)(x，y)點(diǎn)(x＋a，y)或(x－a，y)；(2)點(diǎn)(x，y)(x，y＋b)或(x，y－b)．(二)軸對(duì)稱變換1．軸對(duì)稱的性質(zhì)(1)關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；(2)對(duì)稱點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分；(3)對(duì)應(yīng)線段所在直線若相交，則交點(diǎn)在對(duì)稱軸上．2．軸對(duì)稱變換的作圖如圖，若△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱，則有△ABC≌△A′B′C′；AA′，BB′，CC′都被直線l垂直平分．3．用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為(x，－y)；點(diǎn)(x，y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為(－x，y)；點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)為(y，x)；點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱的點(diǎn)(－y，－x)；*點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x＝m對(duì)稱的點(diǎn)為(2m－x，y)；*點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y＝n對(duì)稱的點(diǎn)為(x，2n－y)．(三)旋轉(zhuǎn)變換1．旋轉(zhuǎn)變換的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角．2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)(1)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等(意味著：即旋轉(zhuǎn)中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線上)；(3)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；*(4)對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．3.中心對(duì)稱的性質(zhì)(1)對(duì)稱點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分，即對(duì)稱中心是兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)；(2)對(duì)應(yīng)線段平行或共線．4.中心對(duì)稱的作圖如圖，若△ABC與△A′B′C′關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，則對(duì)稱中心O是線段AA′、BB′、CC′共同的中點(diǎn)，且AB∥A′B′，AB＝A′B′，BC∥B′C′，BC＝B′C′，CA∥C′A′，CA＝C′A′．5.關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)(x，y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－x，－y)．點(diǎn)（x，y）關(guān)于點(diǎn)（x0，y0）對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（2x0-x,2y0-y）二、例題分析關(guān)于平移1.（2023舟山）如圖，①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30°內(nèi)角的菱形EFGH（不重疊無(wú)縫隙）．若①②③④四個(gè)平行四邊形面積的和為14cm2，四邊形ABCD面積是11cm2，則①②③④四個(gè)平行四邊形周長(zhǎng)的總和為（A）（A）48cm（B）36cm（C）24cm（2.兩個(gè)全等的梯形紙片如圖(1)擺放，將梯形紙片ABCD沿上底AD方向向右平移得到圖(2)．已知AD＝4，BC＝8，若陰影部分的面積是四邊形A′B′CD的面積的eq\f(1,3)，則圖(2)中平移距離A′A＝________.33.（2023?紹興）如圖，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移將矩形ABCD沿AB的方向向右平移5個(gè)單位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移將矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5個(gè)單位，得到矩形A2B2C2D2…，第n次平移將矩形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向平移5個(gè)單位，得到矩形AnBnCnDn（n＞2）．（1）求AB1和AB2的長(zhǎng)．(11,16)（2）若ABn的長(zhǎng)為56，求n．(10)4.（2023廣東）如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長(zhǎng)分別為，對(duì)角線BD、FH都在直線L上，分別是正方形的中心，線段的長(zhǎng)叫做兩個(gè)正方形的中心距。當(dāng)中心在直線L上平移時(shí)，正方形EFGH也隨平移，在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒(méi)有改變。（1）計(jì)算：___2，____1（2）當(dāng)中心在直線L上平移到兩個(gè)正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，中心距=_____3.（3）隨著中心在直線L上的平移，兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有哪些變化？并求出相對(duì)應(yīng)的中心距的值或取值范圍（不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）。答案:當(dāng)0≤<1時(shí)，兩個(gè)正方形無(wú)公共點(diǎn)；當(dāng)＝1時(shí)，兩個(gè)正方形有無(wú)數(shù)公共點(diǎn)；當(dāng)1<<3時(shí)，兩個(gè)正方形有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)＝3時(shí)，兩個(gè)正方形有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)>3時(shí)，兩個(gè)正方形無(wú)公共點(diǎn)。6.如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2cm，．將△ABC沿AB邊所在直線向右平移，記平移后它的對(duì)應(yīng)三角形為△DEF．（1）若將△ABC沿直線AB向右平移3cm，求此時(shí)梯形CAEF的面積；（2）若使平移后得到的△CDF是直角三角形，則△ABC平移的距離應(yīng)為_(kāi)_____cm．(1;4)7．如圖，“風(fēng)車(chē)三角形”中，AA，=BB，=CC，=2，∠AOB，=∠BOC，=∠COA，=60°，求證：8.（2023河北）如圖，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向上移動(dòng)，且過(guò)點(diǎn)P的直線l：y＝－x+b也隨之移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.（1）當(dāng)t＝3時(shí)，求l的解析式；（2）若點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)，確定t的取值范圍；4<t<7（3）直接寫(xiě)出t為何值時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上.t=1,29.如圖，□ABCD的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（-1，0），B（0，-2），頂點(diǎn)C，D在雙曲線y=上，邊AD交y軸于點(diǎn)E，且四邊形BCDE的面積是△ABE面積的5倍，則k=_____.1210.(2023北京)已知二次函數(shù)在與的函數(shù)值相等．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，），求m與k的值；（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象B，C間的部分（含點(diǎn)B和點(diǎn)C）向左平移n（）個(gè)單位后得到的圖象記為G，同時(shí)將（2）中得到的直線向上平移n個(gè)單位．請(qǐng)結(jié)合圖象回答：平移后的直線與圖象G有公共點(diǎn)時(shí)，n的取值范圍．關(guān)于對(duì)稱1.（2023湖南郴州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一點(diǎn)．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點(diǎn)落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°2.如圖，△ABC中，AB=AC．∠BAC=54°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線相交于點(diǎn)O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合，則∠OEC為_(kāi)_______度.【答案】1083.（2023上海）如圖5，在△中，，，tanC=EQ\F(3,2)，如果將△沿直線l翻折后，點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，直線l與邊交于點(diǎn)，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_________．15/44.（2023?蘇州）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部．將AF延長(zhǎng)交邊BC于點(diǎn)G．若=，則=______(用含k的代數(shù)式表示）．5.(2023河南省)如圖，矩形中，,點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，把沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)△為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)__.【答案】6.（13安徽）已知矩形紙片ABCD中，AB=1，BC=2，將該紙片疊成一個(gè)平面圖形，折痕EF不經(jīng)過(guò)A點(diǎn)（E、F是該矩形邊界上的點(diǎn)），折疊后點(diǎn)A落在A，處，給出以下判斷：（1）當(dāng)四邊形A，CDF為正方形時(shí)，EF=（2）當(dāng)EF=時(shí)，四邊形A，CDF為正方形（3）當(dāng)EF=時(shí)，四邊形BA，CD為等腰梯形；（4）當(dāng)四邊形BA，CD為等腰梯形時(shí)，EF=。其中正確的是_____（把所有正確結(jié)論序號(hào)都填在橫線上）。(1)(3)(4)7．如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連結(jié)OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點(diǎn)A落在的位置，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？8.（2023德州）長(zhǎng)為1，寬為a的矩形紙片（），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當(dāng)n=3時(shí)，a的值為_________．（2023?寧波）鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個(gè)菱形，余下一個(gè)四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片中再剪去一個(gè)菱形，又剩下一個(gè)四邊形，稱為第二次操作；…依此類推，若第n次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準(zhǔn)菱形．如圖1，?ABCD中，若AB=1，BC=2，則?ABCD為1階準(zhǔn)菱形．（1）判斷與推理：①鄰邊長(zhǎng)分別為2和3的平行四邊形是________階準(zhǔn)菱形；②小明為了剪去一個(gè)菱形，進(jìn)行了如下操作：如圖2，把?ABCD沿BE折疊（點(diǎn)E在AD上），使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F，得到四邊形ABFE．請(qǐng)證明四邊形ABFE是菱形．（2）操作、探究與計(jì)算：①已知?ABCD的鄰邊長(zhǎng)分別為1，a（a＞1），且是3階準(zhǔn)菱形，請(qǐng)畫(huà)出?ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖形下方寫(xiě)出a的值；②已知?ABCD的鄰邊長(zhǎng)分別為a，b（a＞b），滿足a=6b+r，b=5r，請(qǐng)寫(xiě)出?ABCD是幾階準(zhǔn)菱形．解：（1）鄰邊長(zhǎng)分別為2和3的平行四邊形是2階準(zhǔn)菱形；（2）①如圖所示：②∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r；如圖所示：故?ABCD是10階準(zhǔn)菱形．9.如圖，將正方形紙片對(duì)折，折痕為.展開(kāi)后繼續(xù)折疊，使點(diǎn)落在上，折痕為，則的正切值是.10.如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．411.（2023江蘇南京）如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=600，將紙片折疊，點(diǎn)A、D分別落在A’、D’處，且A’D’經(jīng)過(guò)B，EF為折痕，當(dāng)D’FCD時(shí)，的值為()A. B. C. D.12.(2023河北）如圖11，四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠B=°．答案：9513．（2023浙江臺(tái)州）如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊DC，AB上，DE=BF，把平行四邊形沿直線EF折疊，使得點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)B′，C′處，線段EC′與線段AF交于點(diǎn)G，連接DG，B′G．求證：（1）∠1=∠2；（2）DG=B′G．14.（昌平）如圖，在半徑為4的⊙O中，AB為直徑，以弦（非直徑）為對(duì)稱軸將折疊后與相交于點(diǎn)，如果，那么的長(zhǎng)為（）A．B．C．D．15.【問(wèn)題解決】如圖－1，將正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上一點(diǎn)E(不與點(diǎn)C，D重合)，壓平后得到折痕MN．當(dāng)時(shí)，求的值．方法指導(dǎo)：為了求得的值，可先求BN、AM的長(zhǎng)，不妨設(shè)AB＝2．【類比歸納】在圖－1中，若，則的值等于______；若，則的值等于______；若(n為整數(shù))，則的值等于(用含n的式子表示)．【聯(lián)系拓廣】如圖－2，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上一點(diǎn)E(不與點(diǎn)C，D重合)，壓平后得到折痕MN．設(shè)，則的值等于______(用含m，n的式子表示)．【類比歸納】【聯(lián)系拓廣】17.（2023）在平面直角坐標(biāo)系O中，拋物線（）與軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)B。（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線與直線AB關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，求直線的解析式；（3）若該拋物線在這一段位于直線的上方，并且在這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式。18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有四個(gè)點(diǎn)A(－6，3)，B(－2，5)，C(0，m)，D(n，0)，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短時(shí)，求m，n的值．19.△ABC中，∠A=600，∠C=750，AB=10，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、AC上，則△DEF的周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____20.（2023?天津）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)E在OB上，且∠OAE=∠0BA．（Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′．①設(shè)AA′=m，其中0＜m＜2，試用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值時(shí)點(diǎn)E′的坐標(biāo)；②當(dāng)A′B+BE′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E′的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．關(guān)于旋轉(zhuǎn)：1.（2023上海）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝2CD．把△ABC繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m（0<m<180）度后，如果點(diǎn)B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，那么m＝______度．【答案】80和1202.在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（P不與A、B重合），以PC為邊作等邊△PDC，點(diǎn)D與點(diǎn)A在BC同側(cè)，E為AC中點(diǎn)，連接AD、PE、DE，則△PDE面積的最小值為（）A．EQ\F(1,2) B．EQ\F(eq\r(,3),2)C．EQ\F(eq\r(,3),3) D．EQ\F(eq\r(,3),4)3.（海淀）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－eq\r(,3)，1），點(diǎn)B是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等邊三角形ABC．當(dāng)點(diǎn)C（x，y）在第一象限內(nèi)時(shí)，下列可以表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）4.已知：，，以AB為一邊作等邊△ABC.使C、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).（1）如圖，當(dāng)∠ADB=60°時(shí)，求AB及CD的長(zhǎng)；（）AD BC（2）當(dāng)∠ADB變化，且其它條件不變時(shí)，求CDAD BC（6,120）5.如圖，設(shè)△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝62o，則∠AEB的度數(shù)=____122.已知O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，試問(wèn)：(1)以O(shè)A，OB，OC為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形?若能，求出該三角形各角的度數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果∠AOB的大小保持不變，那么當(dāng)∠BOC等于多少度時(shí)，以O(shè)A，OB，OC為邊的三角形是一個(gè)直角三角形?當(dāng)∠BOC＝150°或100°時(shí)，由OA，OB，OC為邊的三角形為直角三角形．7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（6，0）,點(diǎn)B(0,6)，動(dòng)點(diǎn)C在以半徑為3的⊙O上，連接OC,過(guò)O點(diǎn)作OD⊥OC,OD與⊙O相交于點(diǎn)D（其中點(diǎn)C、O、D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，連接AB。當(dāng)OC∥AB時(shí)，∠BOC的度數(shù)為_(kāi)_____;45,135連接AC，BC，當(dāng)點(diǎn)C在⊙O上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值。連接AD，當(dāng)OC∥AD時(shí)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；②直線BC是否為⊙O的切線？請(qǐng)作出判斷，并說(shuō)明理由。8.（14.01順義）如圖，和都是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，連結(jié)BD，BE，CE，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，交BD于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）若是邊長(zhǎng)可變化的等腰直角三角形，并將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使CE的延長(zhǎng)線始終與線段BD（包括端點(diǎn)B、D）相交．當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，求出的值．9.（14.01門(mén)頭溝）如圖，四邊形、是兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為5和1且中心重合的正方形．其中，正方形可以繞中心旋轉(zhuǎn),正方形靜止不動(dòng)．（1）如圖1，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，四邊形的面積為_(kāi)_；（2）如圖2，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出=_________；（3）在正方形繞中心旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，直線與直線的位置關(guān)系是______________,請(qǐng)借助圖3證明你的猜想．圖圖1圖2圖310.(2023.01海淀)如圖1，兩個(gè)等腰直角三角板和有一條邊在同一條直線上，，．將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)．將圖1中的三角板沿直線向右平移，設(shè)、兩點(diǎn)間的距離為．圖1圖2圖3解答問(wèn)題：（1）①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖2所示，可得的值為_(kāi)____；②在平移過(guò)程中，的值為_(kāi)_____（用含的代數(shù)式表示）；（2）將圖2中的三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，原題中的其他條件保持不變.當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，如圖3所示，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，計(jì)算的值；（3）將圖1中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，≤，原題中的其他條件保持不變.計(jì)算的值（用含k的代數(shù)式表示）．ME圖1DCBA圖2BAMCDE11.如圖1，以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角ME圖1DCBA圖2BAMCDE如圖2，若以△ABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角△ABE和△ACD，其它條件不變，試探究線段DE與AM之間的關(guān)系.12．某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：●操作發(fā)現(xiàn)：在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是（填序號(hào)即可）①AF=AG=AB；②MD=ME；③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形；④∠DAB=∠DMB．●數(shù)學(xué)思考：在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；●類比探索：在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．【答案】解：●操作發(fā)現(xiàn)：①②③④●數(shù)學(xué)思考：MD=ME，MD⊥ME，●類比探究：等腰直角三解形13.（2023?濰坊）如圖1所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為2、寬為1的長(zhǎng)方形拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形.現(xiàn)將小長(zhǎng)方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,旋轉(zhuǎn)角為.（1）當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的值；（2）如圖2，為，且0°＜＜90°，求證：；（3）小長(zhǎng)方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，與能否全等？若能，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角的值；若不能，說(shuō)明理由.14.（海淀2023.01）小聰用描點(diǎn)法畫(huà)出了函數(shù)的圖象F，如圖所示.結(jié)合旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，他嘗試著將圖象F繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖象，再將圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖象，如此繼續(xù)下去，得到圖象.在嘗試的過(guò)程中，他發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在圖象______上（寫(xiě)出一個(gè)正確的即可）；若點(diǎn)P（a，b）在圖象上，則=____(用含的代數(shù)式表示).15.（2023義烏）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段DC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合)，連結(jié)BP.將△ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α角（0＜α＜180），得到△A1B1P,連結(jié)AA1，射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點(diǎn)E、F.（1）如圖1，當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，在α角變化過(guò)程中，△BEF與△AEP始終存在關(guān)系（填“相似”或“全等”），并說(shuō)明理由；（2）如圖2，設(shè)∠ABP=β.當(dāng)60°＜α＜180°時(shí)，在α角變化過(guò)程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)α=60°時(shí)，點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合.已知AB=4，設(shè)DP=x，△A1BB1的面圖1圖1圖2圖3PB1FADOECBA1PB1FADOECBA1PB1ADOCBA116.（14.01朝陽(yáng)）將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜180°)得到△DBE，直線DE與直線AC相交于點(diǎn)F，連接BF．（1）如圖1，若α=60°，DF=2AF，請(qǐng)直接寫(xiě)出等于______；（2）若DF=mAF，（m>0，且m≠1）①如圖2，求；（用含α，m的式子表示）②如圖3，依題意補(bǔ)全圖形，請(qǐng)直接寫(xiě)出等于_____．（用含α，m的式子表示）17.在□ABCD中，∠A=∠DBC,過(guò)點(diǎn)D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,連接EF、EC,N、P分別為EC、BC的中點(diǎn)，連接NP．（1）如圖1，若點(diǎn)E在DP上,EF與DC交于點(diǎn)M,試探究線段NP與線段NM的數(shù)量關(guān)系及∠ABD與∠MNP滿足的等量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；（2）如圖2，若點(diǎn)M在線段EF上,當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí)，你在（1）中得到的結(jié)論仍然MBDCFEAMBDCFEANPPNAEFCDB18.（2023?鹽城）閱讀材料如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且點(diǎn)D在AB邊上，AB、EF的中點(diǎn)均為O，連結(jié)BF、CD、CO，顯然點(diǎn)C、F、O在同一條直線上，可以證明△BOF≌△COD，則BF=CD．解決問(wèn)題（1）將圖①中的Rt△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到圖②，猜想此時(shí)線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖③，若△ABC與△DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為O，上述（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如不成立，請(qǐng)求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖④，若△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為0，且頂角∠ACB=∠EDF