第11講勾股定理與銳角三角函數(shù)（壓軸題組）1．（2021·廣東佛山·九年級期中）如圖1，有一張矩形紙條，邊、的長分別是方程的兩個(gè)根，為上一點(diǎn)，．（1）連接，，試說明．（2）如圖2，為邊上一個(gè)動點(diǎn)，將四邊形沿折疊，使點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，上，邊與邊交于點(diǎn)．①如圖3，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求到的距離．②在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)的過程中，求點(diǎn)相應(yīng)運(yùn)動的路徑長（路程）．【答案】（1）見解析；（2）①；②【詳解】解：（1）證明：如圖1，解方程得或，，，四邊形是矩形，，，，，，，，是直角三角形，；（2）解：①四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，在中，由勾股定理得：，設(shè)到的距離為，則，，即到的距離為；②當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖3所示：此時(shí)；當(dāng)時(shí)，如圖4所示，此時(shí)；當(dāng)在上，與重合，如圖5所示：此時(shí)；點(diǎn)相應(yīng)運(yùn)動的路徑長為：．2．（2021·上海市奉賢區(qū)育秀實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F分別是AB邊和AC邊上的動點(diǎn)，且∠EDF＝90°．（1）（圖1）求DE：DF的值；（2）（圖2）連結(jié)EF，射線DF與射線BA相交于點(diǎn)G，當(dāng)△EFG是等腰三角形時(shí)，求CF的長度；（3）（圖3）連結(jié)EF，設(shè)點(diǎn)B與點(diǎn)E間的距離為x，△DEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴，∵AD是BC邊上的高，∴，∠ADC=∠ADB=90°，∴，∴，∵∠EDF=∠ADC=90°，∴∠EDF-∠ADF=∠ADC-∠ADF即∠ADE=∠CDF，∵∠B+∠C=180°-∠BAC=90°，∠B+∠EAD=180°-∠ADB=90°，∴∠EAD=∠C，∴△EAD∽△FCD，∴；（2）如圖所示，∵∠EFG=∠FDE+∠FED＞90°，∴當(dāng)△EFG是等腰三角形的時(shí)候，只存在EF=GF這種情況，∵EF=GF，F(xiàn)A⊥EG，∴A為EG的中點(diǎn)，∵在直角三角形EDG中，A為EG的中點(diǎn)，∴，∵△AED∽△CFD，∴，∴；（3）∵，AB=3，∴，∵△AED∽△CFD，∴，∴，，∴，在直角三角形AEF中，，∴在直角三角形DEF中，，∴，∴，∴，∴．∴3．（2021·北京師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)華夏女子中學(xué)九年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，給出如下定義：記線段AB的中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)不在⊙O上時(shí)，平移線段，使點(diǎn)落在⊙O上，得到線段（分別為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)）．線段長度的最小值稱為線段到的“平移距離”．（1）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，0），點(diǎn)在x軸上．①若點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則線段到⊙O的“平移距離”為________；②若線段到⊙O的“平移距離”為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________；（2）若點(diǎn)都在直線上，＝2，記線段到⊙O的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為（－4，－2），AB＝2，記線段到⊙O的“平移距離”為，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）①；②(-5，0)或(7，0)；（2）；（3）【詳解】（1）①當(dāng)B與原點(diǎn)O重合時(shí)，AB中點(diǎn)為，移動最小距離為向左平移到⊙O上．故答案為：．②當(dāng)“平移距離”為2時(shí)，如圖：有兩種情況：①當(dāng)為時(shí)，，AB=4，為．②當(dāng)為時(shí)，，AB=8，B為．故答案為：或．（2）如圖：直線如圖l，當(dāng)l平移到m位置時(shí)，最??；即平移到直線m與⊙O相切時(shí)，最?。^點(diǎn)O作于E，則設(shè)直線OE為y=kx，，∴，即，∴．聯(lián)立方程組，解得：，∴E為，∴，∴．（3）∵，∴AM=1，即M點(diǎn)在以A為圓心，半徑為1的圓上，如圖所示：連接OA交⊙A于E、F，可知：當(dāng)M在點(diǎn)F時(shí)，最??；在點(diǎn)E時(shí)，最大．當(dāng)M在F時(shí)，，當(dāng)M在E時(shí)，，∴．4．（2021·吉林·長春市凈月實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級期中）在△ABC中，AB＝BC＝5，AD⊥BC于D，AD＝4．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BA→AC運(yùn)動（點(diǎn)P不與B、C重合），點(diǎn)P在邊BA上運(yùn)動的速度為2.5個(gè)單位長度，在邊AC上的運(yùn)動速度為個(gè)單位長度，過P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右作矩形PQFE，使PQ＝2PE，點(diǎn)F在線段BC上，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t．（1）點(diǎn)P在BA上時(shí)，則PQ＝；（用含t代數(shù)式表示）（2）點(diǎn)P在AC上時(shí)，則PQ＝；（用含t代數(shù)式表示）（3）連結(jié)DE，當(dāng)△DEF與△ADC相似時(shí)，求t的值．（4）設(shè)矩形PQFE的對角線相交于點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)O在△ACD邊上時(shí)，直接寫出t的取值范圍．【答案】（1）2t；（2）6﹣t；（3）或或2或5；（4）t＝或2≤t＜6【詳解】解：（1）點(diǎn)P在BA上時(shí)，點(diǎn)P在邊BA上運(yùn)動的速度為2.5個(gè)單位長度，BP=2.5t,∵四邊形PQFE是矩形，∴PQ⊥QF，∵點(diǎn)F在線段BC上，∴PQ⊥BC，∵AD⊥BC，∴PQ∥AD，∴∠BPQ＝∠BAD，∵∠B＝∠B，∴△BPQ∽△BAD，∴，∵BP＝2.5t，AB＝5，AD＝4，∴，∴PQ＝2t，故答案為：2t；（2）如圖2，點(diǎn)P在AC上時(shí)運(yùn)動速度為個(gè)單位長度，由題意得：AP＝（t﹣2），∵AD⊥BC，AB＝5，AD＝4，∴BD＝，∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2，∴AC＝，∴CP＝AC﹣AP＝，∵PQ∥AD，∴∠QPC=∠DAC，∠PQC=∠ADC，∴△CPQ∽△CAD，∴，即，∴PQ＝6﹣t，故答案為：6﹣t；（3）分兩種情況：①如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在邊BA上運(yùn)動時(shí)，∵四邊形PQFE是矩形，∴QF＝PE＝t，EF＝PQ＝2t，在Rt△BPQ中，BQ＝BP?cos∠B＝BP×，∴DF＝3﹣2.5t，當(dāng)△EFD∽△ADC時(shí)，∴，∴t＝，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，當(dāng)△DFE∽△ADC時(shí)，，∴，∴t＝，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，②如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動時(shí)，∵四邊形PQFE是矩形，∴QF＝PE＝t，EF＝PQ＝6﹣t，∴DF＝DC＝2，當(dāng)△EFD∽△ADC時(shí)，則，即，∴t＝2，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，當(dāng)△DFE∽△ADC時(shí)，，∴，∴t＝5，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，綜上所述，t的值為或或2或5；（4）分三種情況討論：①當(dāng)矩形PQFE的對角線交點(diǎn)O在AD上時(shí)，如圖5，∴QD＝QF＝0.5t，∵BQ＝1.5t，BQ+QD＝BD＝3，∴1.5t+0.5t＝3，∴t＝，②當(dāng)矩形PQFE的對角線交點(diǎn)O在AC上時(shí)，∵點(diǎn)F始終與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C，∴點(diǎn)P在AC上運(yùn)動時(shí)間為2≤t＜6，∴當(dāng)2≤t＜6時(shí)，矩形PQFE的對角線交點(diǎn)O在AC上；③由題意知，矩形PQFE的對角線交點(diǎn)O不可能在CD上；綜上所述，t的取值范圍t＝或2≤t＜6．5．（2021·黑龍江龍沙·九年級期中）綜合與實(shí)踐動手操作：某數(shù)學(xué)課外活動小組利用圖形的旋轉(zhuǎn)探究圖形變換中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)奧秘．如圖1，△ACB是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B，連接A′C，過點(diǎn)A′作A′D⊥CB交CB延長線于點(diǎn)D．思考探索：（1）在圖1中：①CD＝；②△A′BC的面積為；拓展延伸：（2）如圖2，若△ACB為任意直角三角形，∠ACB＝90°．將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B，連接A′C，過點(diǎn)A′作A′D⊥CB交CB延長線于點(diǎn)D．猜想三條線段AC、CD、A′D的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在△ACB中，AB＝AC＝5，BC＝6，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B，連接A′C．①△A′BC的面積為．②若點(diǎn)D是△ACB的邊BC的高線上的一動點(diǎn)，連接A′D、DB，則A′D+DB的最小值是．【答案】（1）①8；②8；（2），證明見解析；（3）①9；②【詳解】解：（1）①∵邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，．∵AC=BC=4，，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴BD=AC=4．∴CD=BC+BD=8．故答案為：8．②∵，∴．∴．故答案為：8．（2），證明如下：∵邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴，BD=AC．∴．（3）如下圖所示，過點(diǎn)作交CB延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作交CB于點(diǎn)E，交線段于點(diǎn)M，再連接DC．①∵AB=AC=5，BC=6，且，∴，．∴．∵邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．故答案為：9．②∵，且BE=CE，∴AE垂直平分CB．∴DC=DB．∴．∵點(diǎn)D在AE上，∴．∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí)，有最小值，此時(shí)最小值為．∵，，∴．∵BC=6，∴CF=BC+BF=10．∴．∴的最小值為．故答案為：．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（7，0）．（1）對于坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，則稱點(diǎn)P為線段AB的“等角點(diǎn)”．顯然，線段AB的“等角點(diǎn)”有無數(shù)個(gè)，且A、B、P三點(diǎn)共圓．①設(shè)A、B、P三點(diǎn)所在圓的圓心為C，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)和⊙C的半徑；②y軸正半軸上是否有線段AB的“等角點(diǎn)”？如果有，求出“等角點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸上運(yùn)動時(shí)，∠APB是否有最大值？如果有，說明此時(shí)∠APB最大的理由，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒有請說明理由．【答案】（1）①(4，3)或(4,?3)，半徑為3；②存在，(0，3+)

或(0，3?)，見解析；（2）有，見解析，(0，)【詳解】（1）①如圖1中，在x軸的上方，作以AB為斜邊的等腰直角三角形△ACB，易知A，B，P三點(diǎn)在⊙C上，圓心C的坐標(biāo)為(4,3)，半徑為3，根據(jù)對稱性可知點(diǎn)C(4,?3)也滿足條件；②y軸的正半軸上存在線段AB的“等角點(diǎn)“。如圖2所示，當(dāng)圓心為C（4，3）時(shí)，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，則D（0，3），CD=4，∵⊙C的半徑，∴⊙C與y軸相交，設(shè)交點(diǎn)為，，此時(shí)，在y軸的正半軸上，連接、、CA，則==CA=r=3，∵CD⊥y軸，CD=4，，∴，∴，；當(dāng)圓心為C（4，-3）時(shí)，點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上，不符合題意；（2）當(dāng)過點(diǎn)A，B的圓與y軸正半軸相切于點(diǎn)P時(shí)，∠APB最大，理由如下：如果點(diǎn)P在y軸的正半軸上，設(shè)此時(shí)圓心為E，則E在第一象限，如圖3所示，在y軸的正半軸上任取一點(diǎn)M(不與點(diǎn)P重合)，連接MA，MB，PA，PB，設(shè)MB交于⊙E于點(diǎn)N，連接NA，∵點(diǎn)P，點(diǎn)N在⊙E上，∴∠APB=∠ANB，∵∠ANB是△MAN的外角，∴∠ANB>∠AMB，即∠APB>∠AMB，此時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于F，連接EA，EP，則AF=AB=3，OF=4，∵⊙E與y軸相切于點(diǎn)P，則EP⊥y軸，∴四邊形OPEF是矩形，OP=EF，PE=OF=4，∴⊙E的半徑為4，即EA=4，∴在Rt△AEF中，，∴，即．7．（2021·四川·成都實(shí)外九年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B在線段AO上，且AB＝2BO，若點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，連接BP，過點(diǎn)P作PQ⊥PB．（1）如圖1，點(diǎn)E是射線PQ上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C．①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求證：△BOP∽△PCE．（2）在（1）的條件下，如圖2，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣4，0）．過點(diǎn)A作DA⊥y軸，且和CE的延長線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)C關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)C′正好落在線段AD上，連接PC′，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）如圖3，若∠BPO＝60°，點(diǎn)E在直線PQ上，EC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，若以點(diǎn)E，P，C為頂點(diǎn)的三角形和△BPE相似，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】（1）①；②見解析；（2）或；（3）或或或【詳解】證明：（1）①②軸軸，軸,，，，，在和△PCE中，，∴∽△PCE；（2）由題意得：四邊形是矩形，，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，由（1）已證：∽△PCE，，即，解得，，由對稱性得：，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

，，在△FPC＇和△DC＇E中，，∴△FPC＇∽△DC＇E，，即，解得，，，整理得：，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，和均是所列方程的解，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）在中，，，解得（負(fù)值已舍去），軸，，由題意，分以下兩種情況：①當(dāng)△ECP∽△BPE時(shí)，則，在Rt△BPE中，，（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，在Rt△ECP中，，，則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)△ECP∽△BPE時(shí)，則，在Rt△BPE中，，解得（負(fù)值已舍去），（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，在Rt△ECP中，，，則此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，同理可得：此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．8．（2021·上海交通大學(xué)附屬第二中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝40，cos∠ABC＝，射線CM//AB，D為線段BC上的一動點(diǎn)且和B、C不重合，連接DA，過D作DE⊥DA交射線CM于E，聯(lián)結(jié)AE，作EC＝EF，交BC的延長線于F，設(shè)x＝BD．（1）當(dāng)AD∥EF，求BD；（2）若y＝CE，求y關(guān)于的數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）作∠BDG＝∠AEF，交AE于G，若△DGE與△CDE相似，求BD的長．【答案】（1）18；（2）（9<x<25）；（3）13或20【詳解】（1）∵CM∥AB，AD∥EF∴∠ABD=∠ECF，∠ADB=∠F∵EC=EF∴∠ECF=∠F∴∠ABD=∠ADB∴AB=AD過A作AN⊥BD于N，則BN=DN，如圖在Rt△ABN中，∵AB=15∴∴BD=BN+DN=9+9=18（2）過A作AN⊥BD于N，過E作EH⊥CF于H，如圖∴∠EDH+∠DEH=90°∵DE⊥AD∴∠ADE=90°∴∠ADN+∠EDH=90°∴∠ADN=∠DEH∴Rt△AND∽Rt△DHE∴即∵CM∥AB∴∠ECH=∠ABC∴在Rt△ECH中，，由勾股定理得：∵BD=x，BC=40∴CD=BC－BD=40－x∴又由（1）知：BN=9由勾股定理得：當(dāng)x≤9時(shí)，點(diǎn)E不在射線CM上，與題意不符∴x>9∴DN=BD－BN=x－9∴由得：即整理得：∵∴x<25∴9<x<25即函數(shù)的定義域?yàn)椋?<x<25（3）過E作EH⊥CF于H，如圖所示①若△DEG∽△DEC則由相似三角形的性質(zhì)可得∠GDE=∠CDE，∠GED=∠CED，∴GD=CD∵EC=EF，EH⊥CF∴∠CEH=∠FEH∴∠DEH=∠DEC+∠CEH=∠AEF∵∠DEH+∠EDH=90°，∠GDE+∠ADG=∠ADE=90°，∠GDE=∠CDE∴∠ADG=∠DEH=∠AEF∵∠BDG=∠AEF∴∠ADG=∠BDG∴∠ADB=∠ADG∵∠BDG=∠AEF，∠BDG+∠GDF=180°∴∠AEF+∠GDF=180°由四邊形的內(nèi)角和知，∠DGE+∠DFE=180°∵∠AGD+∠DGE=180°∴∠AGD=∠DFE∵EC=EF∴∠DFE=∠ECH∴∠AGD=∠ECH∵∠ECH=∠ABC∴∠AGD=∠ABC在△ADB和△ADG中∴△ADB≌△ADG∴GD=BD∵CD=GD∴CD=BD則點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴②若△DEG∽△EDC則∠GED=∠CDE，∠GDE=∠CED∴GE∥CD，DE∥CE即四邊形DCEG是平行四邊形∵CM∥AB∴四邊形ABCE是平行四邊形∴CE=AB=15由（2）知y=15，即化簡得：解得：，（舍去）∴x=13經(jīng)檢驗(yàn)x=13是原方程的解即BD的值13．綜上所述，BD的值為20或13．9．（2021·浙江臺州·九年級期中）如圖1，矩形中，，將矩形繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形．（1）當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，則線段的長度等于；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在上吋，則的面積為；（3）如圖3，連接，判斷與的位置關(guān)系并說明理由；（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，求出的最大值．【答案】（1）2；（2）；（3）AE⊥CG，理由見詳解；（4）的最大值為【詳解】解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∵，∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，∴，故答案為2；（2）過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，如圖2，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，∴，∵，∴，在Rt△ABM中，由勾股定理得：，∴，∴；故答案為；（3）AE⊥CG，理由如下：設(shè)AE與CG的交點(diǎn)為Q，AE與BC的交點(diǎn)為P，如圖3：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，∴，∵，，∴，∴；（4）如圖4，延長AB至，使，連接，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，∴，∵，∴，由旋轉(zhuǎn)可知，，∴△BCE≌△BGE＇，∴，∴，要使的值為最大，則GH最大，當(dāng)時(shí)最大，∴的最大值為．10．（2021·江