/幾種特殊積分的計算方法1前言積分發(fā)展的動力來自于實際應用中的需求。實際操作中，有時候可以粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發(fā)展，很多時候需要知道精確的數(shù)值．要求簡單幾何形體或者體積，可以套用已知的公式．比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長乘寬乘高求出。但如果游泳池是卵形、拋物型或者更加不規(guī)則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個(比如力)的累積效果，這時候也需要積分.在古希臘數(shù)學的早期，數(shù)學分析的結果是隱含給出的.比如,芝諾的兩分法悖論就隱含了無限幾何和。再后來，古希臘數(shù)學家如歐多克索斯和阿基米德使數(shù)學分析變得更加明確，但還不是很正式。他們在使用窮竭法去計算區(qū)域和固體的面積和體積時,使用了極限和收斂的概念。在古印度數(shù)學（英語：Inｄiaｎｍaｔhemaｔics）的早期，12世紀的數(shù)學家婆什迦羅第二給出了導數(shù)的例子，還使用過現(xiàn)在所知的羅爾定理.數(shù)學分析的創(chuàng)立始于17世紀以牛頓（Neｗtｏn，I.）和萊布尼茨（Leibniz,G.W。）為代表的開創(chuàng)性工作，而完成于１9世紀以柯西（Caucｈy，A．—L．)和魏爾斯特拉斯（Wｅieｒｓｔraｓs,Ｋ.（T.W.）)為代表的奠基性工作。從牛頓開始就將微積分學及其有關內容稱為分析.其后,微積分學領域不斷擴大,但許多數(shù)學家還是沿用這一名稱。時至今日，許多內容雖已從微積分學中分離出去,成了獨立的學科，而人們仍以分析統(tǒng)稱之.數(shù)學分析亦簡稱分析（參見“分析學”)。數(shù)學分析的研究對象是函數(shù),它從局部和整體這兩個方面研究函數(shù)的基本性態(tài),從而形成微分學和積分學的基本內容。微分學研究變化率等函數(shù)的局部特征，導數(shù)和微分是它的主要概念,求導數(shù)的過程就是微分法.圍繞著導數(shù)與微分的性質、計算和直接應用,形成微分學的主要內容。積分學則從總體上研究微小變化（尤其是非均勻變化）積累的總效果，其基本概念是原函數(shù)（反導數(shù)）和定積分，求積分的過程就是積分法。積分的性質、計算、推廣與直接應用構成積分學的全部內容．牛頓和萊布尼茨對數(shù)學的杰出貢獻就在于，他們在１６70年左右，總結了求導數(shù)與求積分的一系列基本法則,發(fā)現(xiàn)了求導數(shù)與求積分是兩種互逆的運算，并通過后來以他們的名字命名的著名公式反映了這種互逆關系，從而使本來各自獨立發(fā)展的微分學和積分學結合而成一門新的學科—-微積分學.又由于他們及一些后繼學者(特別是歐拉（Eｕleｒ，Ｌ.））的貢獻，使得本來僅為少數(shù)數(shù)學家所了解，只能相當艱難地處理一些個別具體問題的微分與積分方法，成為一種常人稍加訓練即可掌握的近于機械的方法，打開了把它廣泛應用于科學技術領域的大門，其影響所及，難以估量.因此,微積分的出現(xiàn)與發(fā)展被認為是人類文明史上劃時代的事件之一．與積分相比,無窮級數(shù)也是微小量的疊加與積累,只不過取離散的形式(積分是連續(xù)的形式）。因此，在數(shù)學分析中，無窮級數(shù)與微積分從來都是密不可分和相輔相成的。在歷史上,無窮級數(shù)的使用由來已久,但只在成為數(shù)學分析的一部分后，才得到真正的發(fā)展和廣泛應用.數(shù)學分析的基本方法是極限的方法，或者說是無窮小分析．洛比達(Ｌ'Hosｐital,G?！狥．—A。de）于1６９6年在巴黎出版的世界上第一本微積分教科書,歐拉于1748年出版的兩卷本溝通微積分與初等分析的書，書名中都出現(xiàn)過無窮小分析這個詞。在微積分學發(fā)展的初期，這種新的方法顯示出巨大的力量，因而得到大批重要的成果.許多與微積分有關的新的數(shù)學分支，如變分法、微分方程以至于微分幾何和復變函數(shù)論，都在18-19世紀初發(fā)展起來．然而，初期的分析還是比較粗糙的，被新方法的力量鼓舞的數(shù)學家們經常不顧演繹的邏輯根據(jù)，使用著直觀的猜測和自相矛盾的推理，以致在整個18世紀,對這種方法的合理性普遍存在著懷疑．這些懷疑在很大程度上是從當時經常使用的無窮小的含義與用法上引起的.隨意使用與解釋無窮小導致了混亂和神秘感.許多人參與了無窮小本質的論爭,其中有些人，如拉格朗日（Lagranｇe，J.—L。）,試圖排除無窮小與極限，把微積分代數(shù)化.論爭使函數(shù)與極限的概念逐漸明朗化.越來越多的的數(shù)學家認識到，必須把數(shù)學分析的概念與其在客觀世界的原型以及人的直覺區(qū)分開來.因而,從19世紀初開始了一個一個把分析算術化(使分析成為一種像算術那樣的演繹系統(tǒng))為特征的新的數(shù)學分析的批判改造時期。柯西于182１年出版的《分析教程》是分析嚴密化的一個標志。在這本書中,柯西建立了接近現(xiàn)代形式的極限，把無窮小定義為趨于零的變量，從而結束了百年的爭論．在極限的基礎上，柯西定義了函數(shù)的連續(xù)性、導數(shù)、連續(xù)函數(shù)的積分和級數(shù)的收斂性（后來知道，波爾查諾（Ｂolzaｎo，Ｂ.)同時也做過類似的工作）.進一步，狄利克雷于(Dｉrichlet,P。G.L。)1837年提出了函數(shù)的嚴格定義，魏爾特拉斯引進了極限的定義?；旧蠈崿F(xiàn)了分析的算術化，使分析從幾何直觀的局限中得到了“解放”,從而驅散了17-１8世紀籠罩在微積分外面的神秘云霧。繼而在此基礎上,黎曼(Ｒieｍann,（G。F。）Ｂ.)于1８５4年和達布(Darｂｏuｘ，（Ｊ.-）G。）于１8７５年對有界函數(shù)建立了嚴密的積分理論,19世紀后半葉,戴德金（Ｄeｄeｋind,Ｊ。W。Ｒ）等人完成了嚴格的實數(shù)理論。至此,數(shù)學分析的理論和方法完全建立在牢固的基礎之上，基本上形成了一個完整的體系，也為2０世紀現(xiàn)代分析的發(fā)展鋪平了道路．2選題背景2.1題目類型及來源題目類型：研究論文題目來源：專題研究2。２研究目的和意義在一般高等數(shù)學教材中對泊松積分的計算很少有涉及，而在實際問題中,例如在處理概率與統(tǒng)計問題及熱傳導等問題時都會用到泊松積分，由于泊松積分的被積函數(shù)不是初等函數(shù)，因此,不能用牛頓-萊布尼茲公式來計算其積分值，但泊松積分在數(shù)學分析、概率統(tǒng)計及其物理等方面有廣泛的應用,我們必須用其它方法計算其積分值.利用留數(shù)定理，我們可以把計算一些積分的問題轉化為計算某些解析函數(shù)在孤立奇點的留數(shù),從而大大化簡計算．廣義積分是解決實際問題中常見的一個計算工具,但其形式多樣,計算復雜。有些廣義積分問題單純應用數(shù)學分析理論求解過程繁瑣,甚至不能解出，但卻可以應用復變函數(shù)理論中的留數(shù)定理來研究兩類特殊形式的廣義積分．2．3國內外現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢與研究的主攻方向幾種特殊積分中的高斯積分是一個著名的積分，在工程技術中有很多應用．在數(shù)學中高斯做出很多貢獻.高斯公式是曲面積分的一個重要公式，而通過高斯公式我們可以提出高斯定理,高斯定理是電磁學中的基本定理:即通過任一閉合曲面(高斯面）的電通量等于該閉合曲面包圍電荷的代數(shù)和除以；穿過高斯面的電通量,只與該電荷系電荷代數(shù)和相關,與高斯面的形狀無關，也與該電荷系的電荷分布無關．高斯定理不僅適用于靜電場,也適用于變化的感生電場，是電磁場基本方程之一．高斯定律在靜電場情況下類比于應用在磁場學的安培定律，而二者都被集中在麥克斯韋方程組中．因為數(shù)學上的相似性,高斯定律也可以應用于其它由反平方定律決定的物理量，例如引力或者輻照度。計算泊松積分的值的七種不同的計算方法以及該反常積分的相關應用，雖然該反常積分的值已被人們所熟知,但其求解方法還是值得我們關注的，其中所用到的方法也是在解決實際問題中比較重要的，另外，該反常積分與復變函數(shù)論中的知識進行結合還可用來求一些比較復雜的反常積分，在概率統(tǒng)計以及物理的一些求解中泊松積分也會起到十分重要的作用，通過對泊松積分值的計算方法及其應用的相關介紹，使人們對泊松積分有一個更深刻的了解，同時了解求解泊松積分過程中所涉及到的相關解法，以便以后在解決相關問題時更好的應用。菲涅爾(Ｆrｅsnel)積分,這是以法國物理學家菲涅爾的名字而命名的．這兩個廣義積分在物理學中有重要的應用，比如要計算菲涅爾繞射強度問題,噪聲水平縮減問題等，就需要用到這兩個積分.３?計算積分的一些定理積分的基本定義：設Fx為函數(shù)fx的一個原函數(shù)，我們把函數(shù)ｆx的所有原函數(shù)Ｆx+Ｃ（C為任意常數(shù))叫做函數(shù)fx的不定積分記做fxdx.其中∫叫做積分號,ｆx叫被積函數(shù)，dx積分的基本原理：微積分基本定理,由艾薩克·牛頓和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨在十七世紀分別獨自確立.微積分基本定理將微分和積分聯(lián)系在一起，這樣,通過找出一個函數(shù)的原函數(shù)，就可以方便地計算它在一個區(qū)間上的積分.積分和導數(shù)已成為高等數(shù)學中最基本的工具,并在自然科學和工程學中得到廣泛運用.積分的一個嚴格的數(shù)學定義由波恩哈德·黎曼給出（參見條目“黎曼積分”）。黎曼的定義運用了極限的概念,把曲邊梯形設想為一系列矩形組合的極限．從十九世紀起，更高級的積分定義逐漸出現(xiàn)，有了對各種積分域上的各種類型的函數(shù)的積分。比如說,路徑積分是多元函數(shù)的積分，積分的區(qū)間不再是一條線段（區(qū)間［a，b］），而是一條平面上或空間中的曲線段;在面積積分中,曲線被三維空間中的一個曲面代替.對微分形式的積分是微分幾何中的基本概念.對積分概念的推廣來自于物理學的需要,并體現(xiàn)在許多重要的物理定律中，尤其是電動力學?，F(xiàn)代的積分概念基于測度論，主要是由昂利·勒貝格建立的勒貝格積分。３．1留數(shù)定理和圍道積分設?Z在以曲線l圍成的區(qū)域σ內除有有限個孤立點bkk=1L?其中,reｓ?bk表示?（z)在孤立奇點bk的某(去心)領域內的羅朗展開的負一次冪1ｒes?（bk）=稱作?（z）在它的孤立奇點bk處的留數(shù)。（3。1．2）被稱為留數(shù)定理３。2傅里葉變換由高等數(shù)學我們知道,一個以２ｌ為周期的函數(shù)?x，若在區(qū)間-ｌ，ｌ上滿足狄理克萊條件(即連續(xù)或有有限個第一類間斷點,并且只有有限個極值點），則在-ｌ，ｌ上可展開為傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)的復數(shù)形式為?x其中ωn=因此,?x也可以表示為?x=由此看到,以2l為周期的函數(shù)，在自變數(shù)增長的過程中，函數(shù)值有規(guī)律的重復，自變數(shù)每增長一個２ｌ,函數(shù)就重復變化一次，其中，參數(shù)ωn?-nπｌ其躍變間隔為△ω對于非周期函數(shù)而言，當然不具備以上這些特點，但我們自然想到，若將其看成周期趨于無窮大(2l→∞）的“周期函數(shù)”,則當然可模照(3．2.1)寫出它的傅氏展開式,只是此時△ωn=πｌ→0.這表明參數(shù)ωn?x=亦即?x=（３。2.2）稱為函數(shù)?x的傅里葉積分公式．應該看出，上述的推導不嚴格的，因為我們交換了極限過程與求和過程的次序。實際上，傅氏積分成立，需要滿足下述傅里葉積分定理：設?x在（-∞，（１）在任一有限區(qū)間上滿足狄利克萊條件；（２)在無限區(qū)間負無窮到正無窮上絕對可積-∞則傅里葉積分公式?x在?x的連續(xù)點x出成立，而在?xd的第一類間斷點x0處，右邊的積分應該以12在傅氏積分公式(3。２.２)中令Ｇω=-∞則?x=可見函數(shù)?x和Gω可以通過相互表達。我們稱(3．2.3）為函數(shù)?x的傅里葉變換，記作F?xGω有稱為?x的像函數(shù);而稱(3．2.4）為函數(shù)Gx的傅里葉逆變換，記作F-1?x有稱為Gx的像原函數(shù).因此，當?x滿足傅氏積分定理的條件時,傅氏積分公式就成為?x=這是傅氏變換和傅氏逆變換之間的一個重要關系。易于看出,傅氏變換的定義式（3.2．5）和(３．2.６），其積分前的系數(shù)雖然各書的寫法并不完全相同，但只要此二系數(shù)的乘積等12π，（3.2。5)和(3。２.６）式均是可以相互滿足的，且兩積分號內指數(shù)因子e-iωx和eiωx也可以同時改為e在量子力學中,通常把?x記作ψx，作為坐標表象的波函數(shù)，將ω看做波數(shù)k，而將（3。2．５)和(3．2.6）兩式積分號前的系數(shù)分別寫作12π。由于p=hkh=hψCp其中Cp就是同一量子體系在動量表象中的波函數(shù)．此二式表明了坐標表象和動量表象之間的波函數(shù)的變換關系.有傅氏變換和傅氏逆變換的定義(3。2.5)及(3.２.6）可知，要求一個函數(shù)的傅氏變換，實際上就是求一個含參數(shù)的廣義積分。計算含參數(shù)的廣義積分是一件比較困難的工作．但對于某些函數(shù)來說，還是比較容易計算的．３.3拉普拉斯變換對于任何函數(shù)?t，我們假定在t<０時?t≡0,那么，只要β足夠的大，函數(shù)?tF?其中?te記p=β+iω,Fp=F并注意到dp=ｉ便得到Ｆp=?t=1這是一對新的互逆的積分變換。我們稱(3．２.1)式為函數(shù)?t的拉普拉斯變換，記作Ｌ?t=并稱函數(shù)Fp為?t的像函數(shù)。而稱（3.2。2）式為函數(shù)FpL-1F并稱函數(shù)?t為Ｆp的像原函數(shù).顯然?t=L拉氏變換的存在條件，由下述拉普拉斯變換的存在定理給出.設函數(shù)?t滿足以下條件:當t<0時，?t=當ｔ≥0時,?t及?除去有限個第一類間斷點以外，處處連續(xù);當t→∞時，?t的增長速度不超過某一個指數(shù)函數(shù)，亦即存在常數(shù)M及β0≥0,使得?t≤Meβ0其中,β0稱為?t的增長指數(shù)．則?t的拉氏變換Fp在半平面Rｅp>β0上存在、解析，且當argp≤limp→∞拉氏變換的性質設凡是要求拉氏變換的函數(shù)，均是滿足拉氏變換存在定理的，則有拉氏變換的定義，我們有如下一些重要性質:線性性質Ｌα延遲性質Ｌep0t?其中Fp=L（3)位移性質設τ>0，則L?t-τ（４）相似性質設ａ>0，F(xiàn)pL?at(5）微分性質(6）積分性質L0（７)卷積定理L其中,定義?熟練的掌握以上的這些性質，對于我們用拉氏變換解線性常微分方程和積分方程的初值問題極為方便。4特殊積分的計算4．１泊松積分0無窮限積分0+∞e-x2(１）二重積分法設Ｉ=0I2=0在極坐標下，區(qū)域D可以表示成為Dγθ=I從而：I=含參量反常積分方法設I=0+∞e-x2Ｉ=所以：e-x即：I交換積分次序得：I因此：I=(３)特殊函數(shù)法已知伽馬函數(shù)Γs=0+∞xx–2Γ對無窮限積分0+∞e-I=在余數(shù)公式中令s=12得Γ12I=0+∞4.2Ｄirｉchlet積分的計算著名的Diｒichlet0+∞sinxx=(1）含參變量積分方法我們知道，含參變量積分:Fp==由于e–pxcosxy≤e–px，積分0+∞e–pxdx收斂,由WｅｉeｒｓtraｓsM判別法，含參變量積分0+∞e–pxcosxydx在0，（2）圍道積分方法設，分別是實數(shù)軸上與線段，分別是以原點為圓心，以與為半徑的上半圓周,是如圖1所示的積分路徑。由Cａucｈy—Gｏｕｒsaｔ定理知,,即圖1圍道積分路徑（2）圖1圍道積分路徑經化簡，由小圓弧引理[5],,由Ｊordan引理［5］,.在式(2）兩邊令，并整理得：（３）Fouｒiｅｒ變換方法：設，則它的Fouｒｉer變換為.當時,有，特別取得:.（4）能量積分方法設在Fouriｅr變換下的象函數(shù)為，則有（３）式（3）稱為Parsｅval等式[６］,其中稱為的能量積分。將上文中Fｏuｒiｅr變換方法的和應用在式(3）中，可以得到。又由分部積分法，，故．（5）Laplaｃe變換方法:設,則它的Laplace變換為。又,，由Ｌaplace變換象函數(shù)的積分性質[６］,有，特別取得：。(6)廣義函數(shù)方法:單位脈沖函數(shù)也叫狄拉克（Diｒac）函數(shù)，簡稱函數(shù),它是一個廣義函數(shù),是弱收斂函數(shù)序列的弱極限［６］,即對于任何一個無窮次可微的函數(shù)，有(4）在式(4）中特別取，由函數(shù)的篩選性質知，左邊,右邊積分中作換元變換得：．故.５.1利用留數(shù)定理計算積分（1）狄利克萊積分在上面用幾種方法來計算狄利克萊積分的時候已經介紹了留數(shù)定理計算，現(xiàn)在就不做介紹.（2）菲涅耳積分的計算0由留數(shù)定理有:le在CR上，令z=ＲeC≤而在