PAGE55第1章矢量分析例1.1求標量場通過點M(1,0,1)的等值面方程。解：點M的坐標是，則該點的標量場值為。其等值面方程為：或例1.3求函數(shù)在點（1，1，2）處沿方向角的方向?qū)?shù)。解：由于,,,所以例1.4求函數(shù)在點處沿著點到點的方向?qū)?shù)。解：點到點的方向矢量為其單位矢量所求方向?qū)?shù)例1.5已知，求在點和點處的梯度。解：由于所以，例1.6運用散度定理計算下列積分：S是和所圍成的半球區(qū)域的外表面。解：設(shè)：則由散度定理可得例1.7試求和:(1)(2)(3)解：例1.8在球坐標中，已知，其中、為常數(shù)，試求此標量場的負梯度構(gòu)成的矢量場，即。解：在球坐標戲中，例1.9在由，和圍成的圓柱形區(qū)域上，對矢量驗證高斯散度定理。解：因為要求驗證高斯散度定理，即需要根據(jù)給出條件分別計算和，得到二者結(jié)果相同的結(jié)論。在柱坐標系下，有在由，和圍成的圓柱形區(qū)域內(nèi)取一個小體積元，可知，其中、、，故而，和圍成的圓柱形區(qū)域的閉合外表面由三部分構(gòu)成：圓柱上表面（面元矢量，、、）、圓柱下表面（面元矢量，、、）和圓柱側(cè)表面（面元矢量，、、），故有：，即證。例1.10現(xiàn)有三個矢量場、、,分別為：，，。哪些矢量可以由一個標量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個矢量的旋度表示？解：本題考查的是矢量場的場源關(guān)系，即：標量函數(shù)的梯度是一個有散無旋的場，并根據(jù)發(fā)散場旋度為零，漩渦場散度為零進行反推。故先分別求出矢量的散度和旋度：故可以由一個標量函數(shù)的梯度表示，可以由一個矢量的旋度表示。第2章靜電場與恒定電場例2.1已知半徑為a的球內(nèi)、外的電場強度為下式所示，求電荷分布。解：由高斯定理的微分形式，得電荷密度為用球坐標中的散度公式可得：例2.2一個半徑為a的均勻極化介質(zhì)球，極化強度是，求極化電荷分布。解：建立球坐標系，讓球心位于坐標原點。極化電荷體密度為極化電荷面密度為例2.3一個半徑為a的導體球，帶電量為Q，在導體球外套有外半徑為b的同心介質(zhì)球殼，殼外是空氣，如圖2.1所示。求空間任一點的以及束縛電荷密度。圖2.1解：由介質(zhì)中的高斯定律可知，在區(qū)域內(nèi)：，故由本構(gòu)方程得：介質(zhì)內(nèi)(a<r<b)：介質(zhì)外(b<r)：介質(zhì)內(nèi)表面束縛電荷面密度分別為：，例2.4若真空中電荷q均勻分布在半徑為a的球體內(nèi)，計算球內(nèi)，外的電場強度以及電場能量。解：由電荷分布可知，電場強度是球?qū)ΨQ的，在距離球心為r的球面上，電場強度大小相等，方向沿半徑方向。在球外，取半徑為r的球面作為高斯面，利用高斯定理計算：故有，對球內(nèi)，也取球面作為高斯面，同樣利用高斯定理計算：故有，例2.6半徑分別為，球心距為的兩球面之間有密度為的均勻體電荷分布，如圖2.3所示，求半徑為的球面內(nèi)任一點的電場強度。圖2.3解：為了使用高斯定理，在半徑為b的空腔內(nèi)分別加上密度為+和的體電荷，這樣，任一點的電場就相當于帶正電的大球體和一個帶負電的小球體共同產(chǎn)生，正負帶電體所產(chǎn)生的場分別由高斯定理計算。正電荷在空腔內(nèi)產(chǎn)生的電場為，負電荷在空腔內(nèi)產(chǎn)生的電場為，其中單位向量，分別以大、小球體的球心為球面坐標的原點。考慮到，最后得到空腔內(nèi)的電場為：例2.7一個半徑為a的均勻帶電圓柱體（無限長）的電荷密度是ρ，求圓柱體內(nèi)、外的電場強度。解：因為電荷分布是柱對稱的，因而選取圓柱坐標系求解。在半徑為r的柱面上，電場強度大小相等，方向沿半徑方向。計算柱內(nèi)電場時，取半徑為r，高度為1的圓柱面為高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有計算柱外電場時，取通過柱外待計算點的半徑為r，高度為1的圓柱面為高斯面。對此柱面使用高斯定理，有例2.8一個半徑為的均勻帶電圓盤，電荷面密度是，如圖2.4所示。求軸線上任一點的電場強度。圖2.4解：由電荷的電荷強度計算公式及其電荷的對稱關(guān)系，可知電場僅有z的分量。代入場點源點電場的z向分量為上述結(jié)果適用于場點位于z>0時。但場點位于z<0時，電場的z向量為例2.9已知半徑為a的球內(nèi),外電場分布為求電荷密度。解：從電場分布計算計算電荷分布,應(yīng)使用高斯定理的微分形式:用球坐標中的散度公式,并注意電場僅僅有半徑方向的分量,得出例2.11真空中有兩個點電荷，一個電荷位于原點，另一個電荷位于處，求電位為零的等位面方程。解：由點電荷產(chǎn)生的電位公式得電位為零的等位面為其中，等位面方程簡化為即此方程可以改寫為這是球心在,半徑為的球面。例2.12如圖2.6所示，一個圓柱形極化介質(zhì)的極化強度沿其軸方向，介質(zhì)柱的高度為L，半徑為a，且均勻極化，求束縛體電荷分布及束縛面電荷分布。圖2.6解：選取圓柱坐標系計算，并假設(shè)極化強度沿其軸向方向，如圖示，由于均勻極化，束縛體電荷為。在圓柱的側(cè)面，注意介質(zhì)的外法向沿半徑方向，極化強度在z方向，故在頂面，外法向為，故在底面，外法向為，故例2.13假設(shè)x<0的區(qū)域為空氣，x>0的區(qū)域為電解質(zhì)，電解質(zhì)的介電常數(shù)為，如果空氣中的電場強度（V/m），求電介質(zhì)中的電場強度。解：在電介質(zhì)與空氣的界面上沒有自由電荷，因而電場強度的切向分量連續(xù)，電位移矢量的法向分量連續(xù)。在空氣中，由電場強度的切向分量，可以得出介質(zhì)中電場強度的切向分量；對于法向分量，用，即，并注意，得出。將所得到的切向分量相疊加，得介質(zhì)中的電場為例2.14一個半徑為a的導體球面套一層厚度為b-a的電解質(zhì)，電解質(zhì)的介電常數(shù)為ε，假設(shè)導體球帶電q，求任意點的電位。解：在導體球的內(nèi)部，電場強度為0。對于電介質(zhì)和空氣中的電場分布，用高斯定理計算。在電介質(zhì)或空氣中的電場取球面為高斯面，由得出電場為：在介質(zhì)中（a<r<b）；在空氣中（r>b）。電位為（a<r<b）(r>b)例2.15真空中有兩個導體球的半徑都為a，兩球心之間距離為d，且d>>a,試計算兩個導體之間的電容。解：因為球心間距遠大于導體的球的半徑，球面的電荷可以看作是均勻分布。由電位系數(shù)的定義，可得，讓第一個導體帶電q,第二個導體帶電-q，則，由化簡得例2.16球形電容器內(nèi)，外極板的半徑分別為a,b，其間媒質(zhì)的電導率為，當外加電壓為時，計算功率損耗并求電阻。解：設(shè)內(nèi),外極板之間的總電流為，由對稱性，可以得到極板間的電流密度為==從而=，單位體積內(nèi)功率損耗為==總功率耗損為P===由P=，得R=例2.21電場中一半徑為a的介質(zhì)球，已知球內(nèi)、外的電位函數(shù)分布為：驗證球表面的邊界條件，并計算球表面的束縛電荷密度。解：題目給出的邊界面，是介于介質(zhì)和空氣之間的球面，其法向為球的徑向，切向則為和方向。要驗證分界面上的邊界條件，可以從電場矢量方面入手，根據(jù)題目給出電位分布，求出電場強度的分布，得到在邊界面上；也可以直接根據(jù)電位的邊界條件，在的分界面上，得到的結(jié)論。而要計算球面的束縛電荷密度，可根據(jù)來計算。1）驗證邊界條件：方法一：直接利用電位的邊界條件，有：時，，邊界條件成立。方法二：分界面上，，邊界條件成立。2）計算球表面的束縛電荷密度：由上面可得例2.22有一半徑為a，帶電荷量為q的導體球，其球心位于兩種介質(zhì)的分界面上，此兩種介質(zhì)的介電常數(shù)分別為和，分界面可視為無限大的平面，求：(1)球的電容量；(2)儲存的總靜電能。解：此導體球為單導體系統(tǒng)，選無窮遠點為零電位點，球的電容量可由求出，其中為導體球所帶電荷量，即；為導體球表面電位與零電位點的電位差。故求球的電容量，就需求導體球外電場強度的分布。同樣，靜電場的能量也可由電場強度求出，故本題的核心在于求電場強度的空間分布。圖2.8由圖2.8所示，以導體球的球心為坐標原點建立球坐標系，電荷和電場分布具有球?qū)ΨQ特性。在處做同心的高斯閉合球面，有在和的介質(zhì)分界面上，有，即，故有，，(1)(2)（注：也可計算為：）第4章恒定磁場例4.2內(nèi)、外半徑分別為a、b的無限長空心圓柱中均勻分布著軸向電流，求柱內(nèi)、外的磁感應(yīng)強度。解：使用圓柱坐標系。電流密度沿軸線方向為由電流的對稱性，可以知道磁場只有圓周分量。用安培環(huán)路定律計算不同區(qū)域的磁場。當r<a時，磁場為0。當a<r<b時，選取安培回路為半徑等于r且與導電圓柱的軸線同心的圓。該回路包圍的電流為==由，得=當r<b時，回路內(nèi)包圍的總電流為I，于是=。例4.3半徑為a的長圓柱面上有密度為的面電流，電流方向分別為沿圓周方向和沿軸線方向，分別求兩種情況下柱內(nèi)、外的。解：(1)當面電流沿圓周方向時，由問題的對稱性可以知道，磁感應(yīng)強度僅僅是半徑r的函數(shù)，而且只有軸向方向的分量，即由于電流僅僅分布在圓柱面上，所以在柱內(nèi)或柱外。將代入，即磁場是與r無關(guān)的常量。在離面無窮遠處的觀察點，由于電流可以看成是一系列流向相反而強度相同的電流元之和，所以磁場為零。由于與r無關(guān)，所以，在柱外的任一點處，磁場恒為0。為了計算柱內(nèi)的磁場，選取安培回路為圖4.2所示的矩形回路。圖4.2有因而柱內(nèi)任一點處，。(2)當面電流沿軸線方向時候，由對稱性可知，空間的磁場僅僅有圓分量，且只是半徑的函數(shù)。在柱內(nèi)，選取安培回路為圓心在軸線并且為于圓周方向的圓?？梢缘贸觯鶅?nèi)任一點的磁場為零。在柱外，選取圓形回路，，與該回路交鏈的電流為，，所以。例4.5已知內(nèi)，外半徑分別為的無限長鐵質(zhì)圓柱殼（磁道率為）沿軸向有恒定的傳導電流，求磁感應(yīng)強度和磁化電流。解：考慮到問題的對稱性，用安培環(huán)路定律可以得出各個區(qū)域的磁感應(yīng)強度。當時，當時，當時，當時，當時，

在處，磁化強度，所以在處，磁化強度，所以例4.6已知在半徑為a的無限長圓柱導體內(nèi)有恒定電流沿軸方向。設(shè)導體的磁導率為，其外充滿磁導率為的均勻磁介質(zhì)，求導體內(nèi)外的磁場強度、磁感應(yīng)強度、磁化電流分布。解：考慮到問題的對稱性，在導體內(nèi)外分別選取與導體圓柱同軸的圓環(huán)作為安培回路，并注意電流在導體內(nèi)是均勻分布的?？梢郧蟪龃艌鰪姸热缦拢簳r，；>時，磁感應(yīng)強度如下：時，；>時，為了計算磁化電流，要求磁化強度：時，，>時，，在的界面上計算磁化面電流時，可以理解為在兩個磁介質(zhì)之間有一個很薄的真空層。這樣，其磁化面電流就是兩個磁介質(zhì)的磁化面電流之和，即這里的和分別是從磁介質(zhì)到真空中的單位法向。如果設(shè)從介質(zhì)1到介質(zhì)2的單位法向是，則有代入界面兩側(cè)的磁化強度，并注意，得例4.7空氣絕緣的同軸線，內(nèi)導體的半徑為a，外導體的半徑為b，通過的電流為I。設(shè)外導體殼的厚度很薄，因而其儲蓄的能量可以忽略不計。計算同軸線單位長度的儲能，并有此求單位長度的自感。解：設(shè)內(nèi)導體的電流均勻分布，用安培環(huán)路定律可求出磁場。時，；時，單位長度的磁場能量為=+=+故得單位長度的自感為=+，其中的第一項是內(nèi)導體的內(nèi)自感。例4.8一個長直導線和一個圓環(huán)（半徑為）在同一平面內(nèi)，圓心與導線的距離是，證明它們之間互感為。證明：設(shè)直導線位于z軸上，由其產(chǎn)生的磁場其中各量的含義如圖4.4所示。磁通量為上式先對積分，并用公式得所以互感為圖4.4例4.9一根通有電流I的長直導線埋在不導電的均勻磁性介質(zhì)中。(1)求出，，及磁化電流分布；(2)若將導線埋在介質(zhì)分界面間，電流I沿z方向流動，在的半無窮空間中充滿導磁率為的均勻介質(zhì)，在的半無窮空間為真空，求出，，及磁化電流分布；(3)若將導線埋在介質(zhì)分界面間，電流I沿z方向流動，在的半無窮空間中充滿導磁率為的均勻介質(zhì)，在的半無窮空間為真空，求出，，及磁化電流分布。解：(1)由安培環(huán)路定律，以導線為中心做閉合積分曲線，有：，即故：，，。(2)如圖4.5(a)所示，以導線為中心做閉合積分曲線C，由安培環(huán)路定律有：，即，則有：，，，；，，，。(3)如圖4.5(b)所示，以導線為中心做閉合積分曲線C，由安培環(huán)路定律有：對于分界面，處為法向，根據(jù)邊界條件，有，即：，代入安培環(huán)路定律，有，解得，，：，，；：，，。圖4.5(a)圖4.5(b)例4.10半徑為a的無限長直圓柱形導線沿軸向通過電流I。如圖4.6所示，取圖中處為參考點，用拉普拉斯方程求導線外部的標量磁位。圖4.6解：對磁標位來講，它是和磁力線垂直的，而通電長直導線的磁力線是以電流為圓心的同心圓，因此磁標位就應(yīng)該是r方向的射線，所以應(yīng)該與r和z無關(guān)，拉普拉斯方程應(yīng)該是：解出來代入已知條件為參考點，有再以導線為軸心在導線外做一個近似閉合的回路，起點A和終點B在的兩側(cè)，由于，比照靜電場中電場強度和電位之間的關(guān)系，有，，，則這樣始終有兩個未知量不能確定。于是又考慮和是同一點，那么參考點也可以看作是，代入中，時，故，這就只有一個未知量了。再做參考積分回路，則解得，故例4.11一橫截面為正方形的環(huán)形鐵心上開有一空氣隙，長度，鐵心內(nèi)半徑，橫截面邊長，相對磁導率。鐵心上均有緊密繞有線圈1000匝，如圖4.6所示。忽略氣隙附近的漏磁通，求此線圈的自感。圖4.6解：由于，忽略氣隙附近的漏磁通，根據(jù)磁通連續(xù)性方程，可視將磁感應(yīng)線只在磁環(huán)內(nèi)流動，且垂直磁環(huán)截面，磁感應(yīng)線穿過空氣隙時仍均勻分布在截面上。設(shè)磁環(huán)上磁感應(yīng)強度為，磁場強度為；氣隙中磁感應(yīng)強度為，磁場強度為，由安培環(huán)路定律有：，其中對于空氣與鐵心的分界面，為法向，根據(jù)邊界條件，有，可得，故有，解得通過鐵心截面的磁通量線圈的自感代入數(shù)據(jù)，，，，得第5章時變電磁場例5.1證明均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部，不會有永久的自由電荷分布。解：將代入電流連續(xù)性方程，考慮到媒質(zhì)均勻，有由于：所以：，例5.2設(shè)z=0的平面為空氣與理想導體的分界面，z<0一側(cè)為理想導體，分界面處的磁場強度為，試求理想導體表面上的電流分布、電荷分布以及分界面處的電場強度。解：假設(shè)t=0時，，由邊界條件以及的方向可得例5.3試求一段半徑為b，電導率為，載有直流電流I的長直導線表面的坡印廷矢量，并驗證坡印廷定理。圖5.1解：如圖5.1，一段長度為的長直導線，其軸線與圓柱坐標系的z軸重合，直流電流將均勻分布在導線的橫截面上，于是有：在導線表面因此，導線表面的坡印廷矢量它的方向處處指向?qū)Ь€的表面。將坡印廷矢量沿導線段表面積分，有例5.4在兩導體平板（和）之間的空氣中傳播的電磁波，其電場強度矢量，其中為常數(shù)。試求：磁場強度矢量；兩導體表面上的面電流密度。解:由麥克斯韋方程組得，對上式積分得，即。導體表面上得電流存在于兩導體相向的一面，故面上，法線，面電流密度；面上，法線，面電流密度。例5.5一段由理想導體構(gòu)成的同軸線，內(nèi)導體半徑為，外導體半徑為，長度為，同軸線兩端用理想導體板短路。已知在區(qū)域內(nèi)的電磁場為確定之間的關(guān)系。確定。求及面上的。解：由題意可知，電磁場在同軸線內(nèi)形成駐波狀態(tài)。（1）之間的關(guān)系。因為所以（2）因為所以，（3）因為是理想導體構(gòu)成的同軸線，所以邊界條件為，在的導體面上，法線，所以在的導體面上，法線，所以例5.6已知真空中電場強度，式中。試求：磁場強度和坡印廷矢量的瞬時值。對于給定的z值（例如z＝0），試確定隨時間變化的軌跡。磁場能量密度，電場能量密度和坡印廷矢量的時間平均值。解：（1）由麥克斯韋方程可得對上式積分，得磁場強度瞬時值為故坡印廷矢量的瞬時值（2）因為的模和幅角分別為，所以，隨時間變化的軌跡是圓。（3）磁場能量密度，電場能量密度和坡印廷矢量的時間平均值分別為例5.7試將麥克斯韋方程組寫成8個標量方程。解：已知麥克斯韋方程組的積分形式為：微分形式為：又因為直角坐標系中，柱坐標系中，球坐標系中，(1)直角坐標系中，麥克斯韋的積分方程可寫為：，麥克斯韋的微分方程可寫為：，，(2)柱坐標系中，麥克斯韋的積分方程可寫為：，麥克斯韋的微分方程可寫為：，，，(3)球坐標系中，麥克斯韋的積分方程可寫為：，麥克斯韋的微分方程可寫為：，，，例5.8已知在空氣中，求和。解：由于電場強度應(yīng)滿足空氣中的波動方程由于，有且代入中，有解得又由麥克斯韋方程有，例5.9設(shè)電場強度和磁場強度分別為和，證明其坡印廷矢量的平均值為：證明：，，由坡印廷定理有例5.10在和的均勻區(qū)域中，有，如果波長為，求和。解：介質(zhì)中相速度由題可知，，由麥克斯韋方程有故有，第6章正弦平面電磁波在無界空間中的傳播例6.1電磁波在真空中傳播，其電場強度矢量的復數(shù)表達式為試求：工作頻率。磁場強度矢量的復數(shù)表達式。坡印廷矢量的瞬時值和時間平均值。解：（1）由題意可得所以工作頻率（2）磁場強度矢量的復數(shù)表達式為其中波阻抗。（3）坡印廷矢量的瞬時值和時間平均值。電磁波的瞬時值為（V/m）（A/m）所以，坡印廷矢量的瞬時值(W/)同理可得坡印廷矢量的時間平均值(W/)例6.2理想介質(zhì)中，有一均勻平面電場波沿z方向傳播，。當時，在處，電場強度的振幅，介質(zhì)的。求當時，在z＝62(m)處的電場強度矢量，磁場強度矢量和坡印廷矢量。解：根據(jù)題意，設(shè)均勻平面電場為式中，所以（）當，z＝62m時，電場強度矢量，磁場強度矢量和坡印廷矢量為()()例6.3已知空氣中一均勻平面電磁波的磁場強度復矢量為試求：（1）波長、轉(zhuǎn)播方向單位矢量及轉(zhuǎn)播方向與z軸的夾角（2）常數(shù)A（3）電場強度復矢量。解：（1）波長、轉(zhuǎn)播方向與z軸的夾角分別為，，（2）解得。（3）電場強度矢量例6.4設(shè)無界理想媒質(zhì)，有電場強度復矢量：(1)是否滿足。（2）由求磁場強度復矢量，并說明是否表示電磁波。解：采用直角坐標系。(1)考慮到同理，可得(2)根據(jù)題意可知，波陣面均為均勻平面，傳播介質(zhì)為理想媒質(zhì)，故有所以，所形成的場在空間均無能量傳播，即均不能表示電磁波。例6.5假設(shè)真空中一均勻平面電磁波的電場強度復矢量為（1）電場強度的振幅、波矢量和波長。（2）電場強度矢量和磁場強度矢量的瞬時表達式。解：（1）依題意知，電場強度的振幅而，故波長所以波矢量（2）電場強度的瞬時表達式為磁場強度矢量的瞬時表達式為其中例6.6為了抑制無線電干擾室內(nèi)電子設(shè)備，通常采用厚度為5個趨膚深度的一層銅皮（）包裹該室。若要求屏蔽的頻率是10kHz~100MHz，銅皮的厚度應(yīng)是多少。解：因為工作頻率越高，趨膚深度越小，故銅皮的最小厚度應(yīng)不低于屏蔽10kHz時所對應(yīng)的厚度。因為趨膚深度所以，銅皮的最小厚度。例6.7如果要求電子儀器的鋁外殼（）至少為5個趨膚深度，為防止20kHz~200MHz的無線電干擾，鋁外殼應(yīng)取多厚。解：因為工作頻率越高，趨膚深度越小，故鋁殼的最小厚度應(yīng)不低于屏蔽20kHz時所對應(yīng)的厚度。因為鋁殼為5個趨膚深度，故鋁殼的厚度應(yīng)為例6.8已知平面波的電場強度試確定其傳播方向和極化狀態(tài)，并判斷它是否為橫電磁波。解：傳播方向上的單位矢量，即E的所有分量均與其傳播方向垂直，所以此波為橫電磁波。顯然均與垂直。又因為上式中兩個分量的振幅并不相等，所以此電磁波為右旋橢圓極化波。例6.9假設(shè)真空中一平面電磁波的波矢量，其電場強度的振幅，極化于z軸方向。試求：電場強度的瞬時表達式。對應(yīng)的磁場強度矢量。解：電場強度的瞬時表達式為其中（2）對應(yīng)的磁場強度矢量為例6.10真空中一平面電磁波的電場強度矢量為此電磁波是何種極化？旋向如何？寫出對應(yīng)的磁場強度矢量。解：此電磁波的x分量的相位滯后于y分量的相位，且兩分量的振幅相等，故此波為左旋圓極化波。其對應(yīng)的磁場強度矢量為例6.11證明任意方向極化的線極化波可以分解為振幅相同的左旋極化波和右旋極化波的迭加。證明：設(shè)線極化波的傳播方向為，取電場強度的方向平行于軸，有其中為左旋極化波，為右旋極化波，二者振幅相等。例6.12已知在自由空間中傳播的電磁波電場強度為，試問：(1)該波是不是均勻平面波？(2)試求波的頻率、波長和相速；(3)試求磁場強度的表達式；(4)指出波的傳播方向。解：要判斷電磁波是不是均勻平面波，首先需要確定該電磁波的波陣面，如果垂直于波傳播方向的波陣面為平面，則波為平面波；若平面波的電磁場在波陣面上的分布不隨坐標變化，則波為均勻平面波。(1)由給出的電場強度可知，電磁波的轉(zhuǎn)播空間為直角坐標系，電磁波的等相位面（波陣面）為，隨著時間的增加，等相位面向方向傳播，波陣面為XOY平面，在XOY平面上，且，故此電磁波為均勻平面電磁波。(2)自由空間即指無源的真空區(qū)域，真空中的光速，故此電磁波的相速度；由可知，波的角頻率，波數(shù)，故有：頻率，波長。第8章導行電磁波例8.1什么叫截止波長？為什么只要的波才能在波導中傳輸？解：導行波系統(tǒng)中，對于不同頻率的電磁波有兩種工作狀態(tài)——傳輸與截止。介于傳輸與截止之間的臨界狀態(tài)，即由所確定的狀態(tài)，該狀態(tài)所確定的頻率稱為截止頻率，該頻率所對應(yīng)的波長稱為截止波長。由于只有在時才能存在導行波，則由可知，此時應(yīng)有即所以，只有或的電磁波才能在波導中傳輸。例8.2何謂工作波長，截止波長和波導波長？它們有何區(qū)別和聯(lián)系？解：工作波長就是TEM波的相波長。它由頻率和光速所確定，即式中，C為光速，稱為自由空間的工作波長，且。截止波長是由截止頻率所確定的波長，且波導波長是理想導波系統(tǒng)中的相波長，即導波系統(tǒng)內(nèi)電磁波的相位改變所經(jīng)過的距離。波導波長與的關(guān)系為例8.3何謂相速和群速？為什么空氣填充波導中波的相速大于光速，群速小于光速？解：相速是電磁波等相位點移動的速度。群速是包絡(luò)波上某一恒定相位點移動的速度。根據(jù)平面波斜入射理論，波導內(nèi)的導行波可以被看成平面波向理想金屬表面斜入射得到的，如圖8.1所示。從圖中可以看出，由于理想導體邊界的作用，平面波從等相位面D上的A點到等相位面B上的M點和F點所走過的距離是不同的，。但在相同的時間內(nèi)，相位改變量相同。這必要求沿即Z軸方向的導行波的相速比沿方向的平面波的相速大。對于空氣媒質(zhì)，則有。MCBADEFMCBADEF圖8.1從圖中還可以看出，平面波從A傳到M點，但其能量只是從A傳到E點，顯然，故能量傳播的速度。對于空氣媒質(zhì)，，根據(jù)相對論，任何物質(zhì)的運動速度都不能超過光速，所以，群速這一體現(xiàn)電磁波物質(zhì)特性，表征電磁波能量傳播快慢的物理量的確小于光速。例8.4何謂波導的色散特性？波導為什么存在色散特性？解：波導中波的相速和群速都是頻率（活波長）的函數(shù)。這種相速隨頻率的變化而改變的特性稱為波的色散特性。因此，波導中傳輸?shù)膶胁▽儆谏⑿筒?。波導中電磁波產(chǎn)生色散的原因是由波導系統(tǒng)本身的特性所導致的，即波導傳輸結(jié)構(gòu)特定的邊界條件使得波導內(nèi)只能傳輸這種相速與頻率有關(guān)的導行波。例8.5矩形波導中波型指數(shù)m和n的物理意義如何？矩形波導中波型的場結(jié)構(gòu)的規(guī)律怎樣？解：m，n表征不同的導行波型的電磁場結(jié)構(gòu)模式。m代表沿x方向場