本文格式為Word版，下載可任意編輯——淺談“幾何概型”淺談幾何

幾何概型是一種特殊的隨機(jī)事情概率模型，是概率問題圖形化處理的過程。采用數(shù)形結(jié)合的方式將概率與幾何精細(xì)聯(lián)系起來，為概率研究供給了新方法。因此，幾何概型將成為新一輪高考的命題小熱點(diǎn)。

一．對(duì)幾何概型的理解

幾何概型可轉(zhuǎn)化為在某特定區(qū)域D內(nèi)取點(diǎn)的問題：即在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，而點(diǎn)D落在D的子區(qū)域d內(nèi)的概率即為隨機(jī)事情發(fā)生的概率。其中區(qū)域D內(nèi)每個(gè)點(diǎn)被取到的可能性一致。

二．幾何概型的根本特點(diǎn)

幾何概型可轉(zhuǎn)化為取區(qū)域點(diǎn)的問題，而在區(qū)域內(nèi)有無窮多個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)被取到的可能性一致，從而幾何概型得志兩個(gè)特點(diǎn)：無限性和可能性。幾何概型是在古典概型的根基上進(jìn)一步進(jìn)展的，是等可能事情的概念從有限向無限的延遲，即古典概型要得志有限性，這也是兩種概率模型的根本識(shí)別。

三.幾何概型的測(cè)度

幾何概型是借助圖形來解題的，它就涉及到測(cè)度問題。一般的，在集合區(qū)域D中隨即的取一點(diǎn)，記事情“該點(diǎn)落在起內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事情A，那么某事情A發(fā)生的概率p（A）=.

關(guān)于測(cè)度留神一下幾點(diǎn)：

(1)D的測(cè)度不為0。

(2)“測(cè)度”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段，平面圖形和立體圖形時(shí)，相應(yīng)的“測(cè)度”分別是長(zhǎng)度，面積和體積。

(3)區(qū)域?yàn)椤伴_區(qū)域”即不考慮邊界點(diǎn)。

(4)區(qū)域D內(nèi)隨即取點(diǎn)是指該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何片面的可能性大小只與該片面的測(cè)度成正比，與其外形，位置無關(guān)。

四．幾何概型與古典概型的聯(lián)系與識(shí)別

在古典概型及幾何概型中，根本事情的發(fā)生都是等可能性的；在古典概型中根本事情是有限正整數(shù)n，而在幾何概型中根本事情是無限的；在古典概型中，每個(gè)根本事情發(fā)生的概率都是，在幾何概型中，每個(gè)根本事情（對(duì)應(yīng)于幾何區(qū)域中一個(gè)點(diǎn)）發(fā)生的概率都是0，這一點(diǎn)由幾何概型的公式可以看出，在幾何概型中，每個(gè)根本事情即一點(diǎn)發(fā)生的概率為0，由此不難熟悉，不成能事情的概率為0，但是概率為0的事情不確定是不成能事情。

五典型例題分析

（一）測(cè)度為長(zhǎng)度的幾何概型

（1）當(dāng)實(shí)際問題只涉及到一個(gè)變量時(shí)，要用數(shù)軸或一條直線來議論。

例1在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM小于AC的概率。

解析：如圖1，在AB上取AC′=AC，

當(dāng)?shù)頜位于線段AC′內(nèi)時(shí)，AM＜AC，故線段

AC′即為區(qū)域d，所以P（AM＜AC）＝==

變式1：已知等腰直角三角ABC中，∠C=90°，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，求∠CAM＜30°的概率

解析：在CB上取點(diǎn)M0使∠CAM0=30°那么區(qū)域D為線段CB的長(zhǎng)，d為線段CM0的長(zhǎng),設(shè)BC=a那么CM0=AC=a所以p（∠CAM＜30°）==（這里的測(cè)度為長(zhǎng)度）

變式2：已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，在∠CAB內(nèi)作射線AM，求∠CAM＜30°的概率。

解析：在∠CAB內(nèi)作射線AM0，使∠CAM=30°那么區(qū)域D為∠CAB的度數(shù)，d為∠CAM0的度數(shù)。所以P（∠CAM＜30°）===（這里的測(cè)度為角度）

[評(píng)析]上述兩題的識(shí)別在于點(diǎn)M產(chǎn)生的方式不同，前一題中，點(diǎn)M可以認(rèn)為從C運(yùn)動(dòng)到B平勻產(chǎn)生的。其次題中那么是AM從AC平勻轉(zhuǎn)動(dòng)到AB而產(chǎn)生的。這就是說；背景好像的問題，當(dāng)?shù)瓤赡艿囊暯遣煌瑫r(shí)，其概率往往是不同的，應(yīng)留神分析，測(cè)度的差異。

（二）測(cè)度為面積的幾何概型

（1）當(dāng)實(shí)際問題涉及兩個(gè)變量時(shí)要利用平面直角坐標(biāo)系來議論，通過解二元方程或不等式來解決。這就要采用面積為測(cè)度。

例2．假設(shè)小明家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30至7：30之間把報(bào)紙送到小明家，小明的爸爸離開家去工作的時(shí)間在早上7：00至8：00之間，問小明的爸爸在離開家之前能得到報(bào)紙的概率是多少？

[解析]此題涉及兩個(gè)變量，要利用平面直角坐標(biāo)系研究，當(dāng)小明的爸爸在離開家去工作的時(shí)刻大于送報(bào)人把報(bào)紙送到小明家的時(shí)刻時(shí)，小明爸爸能得到報(bào)紙。

為了便當(dāng)作圖，記6：30為0時(shí)，設(shè)送報(bào)人把報(bào)紙送到小明家的時(shí)刻為x,小明的爸爸離開家的時(shí)刻為y,那么0?燮x?燮60,30?燮y?燮90（單位：分鐘）。

圖4

小明的爸爸離家前能得到報(bào)紙只要y?叟x。在平面直角坐標(biāo)系中作上述區(qū)域（如圖4）由圖知區(qū)域D=SABCD=602

區(qū)域d=SABCD=602-×302

所求概率P==1-×（）2=

小明爸爸離家前能得到報(bào)紙的概率是

(2)我們知道在確定條件下，不成能發(fā)生的事情的概率為0；那么反過來，概率為0的事情是不成能事情嗎？我們先看下面的例題。

例3．有一個(gè)底面是圓形的容器，底面圓的半徑是一枚幣半徑的10倍，現(xiàn)在把這枚硬幣隨機(jī)地扔進(jìn)容器，求硬幣與底面圓恰好相切的概率。

[解析]硬幣的位置可由硬幣的中心確定，當(dāng)硬幣與底面圓相切時(shí)，硬幣的中心形成一個(gè)圓周，不是封閉圖形，故面積可認(rèn)為是0。

記“硬幣與底面圓相切”為事情A，由題意P（A）=0。

[留神]硬幣與底面圓相切是可能發(fā)生的事情，是隨機(jī)事情，但其概率是0，一般地，區(qū)域D的測(cè)度為面積且不為0，而事情A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是D內(nèi)的一條線段或曲線段，那么這個(gè)事情A的概率為0，因此概率為0的事情不確定是不成能事情。

（三）測(cè)度為體積的幾何概型

有些概率問題需用體積、質(zhì)量、重量等作為測(cè)度。

例4有一杯1L的水，其中含有一個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出L水，求小杯中含有這個(gè)細(xì)菌的概率。

[解析]細(xì)菌在1L水中的分布可以看作是隨機(jī)的，1L水應(yīng)視為D所取L水應(yīng)視作區(qū)域d.

[解]記“取0.1L水，含有這個(gè)細(xì)菌”為事情A，那么P（A）===。

答：這杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率為。

[留神]細(xì)菌在1L水里的分布是隨機(jī)的，與容器的外形無關(guān)，只于體積有關(guān)。

分析：我們解決概率題目時(shí)，要找準(zhǔn)概率模型（1）是古典概型（2）是幾何概型。古典概型與幾何概型的最大區(qū)別在于有限和無限。

五?規(guī)律總結(jié)

幾何概型是新教材新增的學(xué)識(shí)點(diǎn)，它與實(shí)際生產(chǎn)生活緊密相關(guān)，大量隨機(jī)事情的概率抽象為集合概型后，又直接與幾何計(jì)算聯(lián)系在一起，與平面幾何，坐標(biāo)幾何，立體幾何都有聯(lián)系。因此，幾何概型將成為新一輪高考的命題小熱點(diǎn)。

(1)建立正確合理的幾何概型

正確分析題目中隨機(jī)事情中的根本事情，以及全體根本事情的集合，事情A發(fā)生的條件，并將上述事情轉(zhuǎn)化為幾何圖形。根本事情的發(fā)生對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，事情A發(fā)生對(duì)應(yīng)區(qū)域ｄ，全體事情的集合對(duì)應(yīng)D，D與ｄ的測(cè)度可能為長(zhǎng)度，面積，體積。

(2)正確解答幾何概型

在建立正確的幾何概形之后，還務(wù)必正確的求出D與ｄ的測(cè)度。這就是要用到求線段長(zhǎng)度，封閉曲線面積，幾何體的體積，因此，應(yīng)純熟掌管有關(guān)長(zhǎng)度，面積，體積的計(jì)算公式，常用計(jì)算方法如割補(bǔ)法。

(3)