?23p33p45??616《現(xiàn)代控制理參考答》?23p33p45??616第章案U(s)

+

-

KK

+

-

Kp

+

-

J

K

(K1-27系統(tǒng)方塊結(jié)構(gòu)圖+U

-

KK

+

-

KK

+

-

K

K

++

+

-

J

x4

KJ

x2

x1)圖雙系模構(gòu)x12?K2?Kx1x43

KKnxJJ11

6xX51316?KKK1xKKKppp

u

(s)yx

x??x??x000xKxKx??x??x000xKxKKxx??2223?1x2

00000KK

100000

0KJKJ1K0

00KnJ000

001J000

00xKJxKy0

24

u(t)

R

R1L1

C

U

R21

ix,iux1122c

3

x2

2

1113Lxxx2Cx13

?R1x1xuLL?R1xxxLL?1xxyR

1Lx。。xLLxu0131Lx。。xLLxu0131xb31x3x411x21

0R2L1C

11LyR

0

u

u

2

y

2

--a-

-

--

y

圖1-300204

2

1105

000

4

061x03

000b2

uy0

s

0

0

(sI)

as200a

0sa

aaW(ssI)

B

ss2

s

..y，xx。。x1x0u..y，xx。。x1x0u131x31u31x23x4

s

0

W((sIA)B

s

(2)yyux，x1

2

3

110x0012

3y32313

-

-

-

2

+

+

+

5

7

x2

x13

(

s(s

()

s(s2)(s3)

2

(s2

1033ss0024

00x00x410y3

1s(1s(ss3)ss01(ss2)(s(ss2)2A32110u213123

()sIA2s(s2ss(sI)

s01s3)s((s2)((ssI)B

01

1(ss2)(

(s(s(2ss(W(s)(sIAB1s

(sss

(2s(s2)(s

10

的

1

2

3

111121213101223

130p131

p

21

3111

p11

Pp21

p

P21

1

p

p

22

1p,pp1232

p12

Pp22

p12

p232

1

010pp33

p

23

p,1333

p13

Pp23

11x272330

的

1

3

110p110p13Pp2B1x

1

331

p2131

p11

P

102131

p12

22

pp22

32

p12

Pp

3

1033

0,p13

23

33

p

33

23

121

11

1CT

21

20

10

1

x002uy

3

~W

ss1101101ssss1101101ss

1

1

1

1

(s)1

s0

(s)s1s

s0

(s(s(s)21

s

ss

sss

s

2

(

(3)(4)

(

2

(

1

1

1

1

(s)())1

s0

ssss

s0

()1

10

11

(s)

(s)W(1

10

1

11IW)I

0

102

1(s)(s)2

ss

s0

s

ss

ss(ss(s)s())2

ss

s0

sss

ss

ss

s(2)(sss

s

ss(s

s101ss10sssssss101ss10ssssss(s)1

1s2

1s1s

(s)

(ss)1

1s2

10s

11ss12sI(s)W(s1

02s

s1sss2s

s

1

s(s)1

s

)2

sW()W(s))1

sss2s

1

ss

s(ss

s(s2s(s2)s(sss

(s2(3(s2(s3s(s2)(ss2)

ss

22

ssssy(y(k(k)2u(k)u

1()

21zzzzxk

0x(k)uk)(k)

100110011112111212112x(k(k)x(k21y()x()x()1x(x(y()2

B

T

AT

10z(z()u)1y()習(xí)2-4用三種方法計(jì)算以下矩陣指數(shù)函eAt（2）A=

1

I

A

1

2

1

1

Ap111

p1111112121

12221212122224sss12221212122224ssssstt11

2

2

Ap222

1212p1222

1

1

21

414

e

1

e

e3t42e13

1e3te41et2sI

1

s4

1s

111ss

1111eAtL

1et2e3t

1ete41et2

1

2

3ee34eee3

1114111141sse

e3t

33e4

11

1e2e

1ete41et2陣

2e

ee2e

t

I

t

e

t

I

t

13e2t

t

13t413ee3t2

t

1xuy

x

x

A

sI

s

s2s

At

t

tt02tt1

Bx

dt10tt2

t2yt2

u1

u

2

u

u

K/(s+1)

x

X

+

-1/s

x

1

+

X+

y2u

2u

1

K

-

X

∫

x

1

-X

∫

x

2

1

+

X+

y21x2

2yx2

122BT122BTT1xy

H

T

AtdtB

A

00

0

H

dt0

e1

0dt1

00T0

x

e1

k

y

x

kxe0.9

y第三章習(xí)題3-1判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性。系統(tǒng)中取值對(duì)能控性和能觀性是否有關(guān)，若有關(guān)，其取值條件如何（1）系統(tǒng)如圖所示：

????x??x30?4????x??x30?41xu3???x1??x3300u+

x

x

+

+

+

xbcd3系統(tǒng)解：由圖可得：12

2cx33212

343

4狀態(tài)空間表達(dá)式為：102y01

000101x40由xx無關(guān)，因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。由y只x有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全34能觀的，為不能觀系統(tǒng)。（3）系統(tǒng)如下式：11xa02y

0

x解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，約旦標(biāo)準(zhǔn)形。要使系統(tǒng)能控，控制矩陣b中相對(duì)于約旦塊的最后一行元素不能為0，故a0要使系統(tǒng)能觀，則C中對(duì)應(yīng)于約旦塊的第一列元素不全為，故c0,d。3-2時(shí)不變系統(tǒng)

?1BC?1BC41-122112111-30-211100-11-10

111試用兩種方法判別其能控性和能觀性。解：方法一：

1X11

11MAB

11

----

rankM系統(tǒng)不能控。

1

C系統(tǒng)能觀。方法二：將系統(tǒng)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。A

2則狀態(tài)矢量：A1APP21

-1

12T-1

12TBCT

110B中有全為零的行，系統(tǒng)不可控CT中沒有全為0的列，系統(tǒng)可觀。3-3確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常和i

i

1212CA1212CA112?(1)

1b,C1解：構(gòu)造能控陣：M

Ab

要使系統(tǒng)完全能控，，012構(gòu)造能觀陣：要使系統(tǒng)完全能觀，則1021123-4設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是(s)u()3s2s（1）當(dāng)a取何值時(shí)，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的（2）當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達(dá)式。（3）當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：(1)方法1W()

(s)su(s)(ss3)(s系統(tǒng)能控且能觀的條件為W(s)沒有零極點(diǎn)對(duì)消。因此當(dāng)或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。方法2：a-1-6(ss10615u(s(ss3)(s12

X0

0

X系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣C不存在全為的列。因此當(dāng)a=1,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。（2）當(dāng)a=1,a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)可化為能控標(biāo)準(zhǔn)型

027x1027x1.00xu

01

0

01y10

x0（3）根據(jù)對(duì)偶原理，當(dāng)a=1,a=2或a=4時(shí)，系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型為

00

a

1y013-6已知系統(tǒng)的微分方程為：yy試寫出其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及其傳遞函數(shù)。解，a，b602系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

0

1

0

y傳遞函數(shù)為(s)-A)-1B00s

s

s

s其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

000u1y01傳遞函數(shù)(s)

6ss3-9已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為W(s)

22

試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。解W)

22s22系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為1xu-3-41y

1-20u1-20u0-3xy13-10給定下列狀態(tài)空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。

0

1

0

1y1解A001Mb

1AbA2b111rankM系統(tǒng)為不能控系統(tǒng)，不能變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型。

系統(tǒng)為能觀系統(tǒng)，可以變換為能觀標(biāo)準(zhǔn)型。3-11試將下列系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解2（1A1013解：Mb

AbA20

rankM=2<3，系統(tǒng)不是完全能控的。構(gòu)造奇異變換R，Ab0，1，其是任意的，只要滿滿秩。c

0

0130

1

%%%Rx32u2AAR4c1

ccR3-12試將下列系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解2（1）A10132解：由已知A10131則N2rankN=2<3，該系統(tǒng)不能觀構(gòu)造非奇異變換矩R

0

，0

12001

0&

0y03-13試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解（1A

02201

解：由已知

A

Ab

2

rankM=3，則系統(tǒng)能控

211rankN=3，則系統(tǒng)能觀所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系統(tǒng)

2，c20c2，c20cccc1000011??BB0c??0????111c04

2

A1Bc2c2143-14求下列傳遞函數(shù)陣的最小實(shí)現(xiàn)。（1）w

1解：

0

B00BC系統(tǒng)能控不能觀1R，R所AAR00

01Cc

0所以最小實(shí)現(xiàn)A10驗(yàn)證

B

1

3-15是兩個(gè)能控且能觀的系統(tǒng)12A1

，，1：AC222（1）試分析所組成的串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數(shù)；12（2）試分析所組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫出其傳遞函數(shù)。12解：（1）

1

和

2

串聯(lián)

因N1因N111231201u11

1

M

A

2

1則rankM=2<3，所以系統(tǒng)不完全能控。W(A

B

1(ssss得輸出的輸時(shí)22111uy0因?yàn)?/p>

Ab

A

2

01rankM=3

則系統(tǒng)能控c1

24rankN=2<3

則系統(tǒng)不能觀W((sIA)

s

2

1（2并聯(lián)1210u10

M

AAb

Ab

2

1因?yàn)閞ankM=3，所以系統(tǒng)完全能控

11

254因?yàn)閞ankN=3，所以系統(tǒng)完全能觀

w

2

22s2現(xiàn)代控理論第四章題答案4-1判斷下列二次型函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)：（1Q()1

x

22

3

x13（2()21

x

22

3

xx13解已知得Q()3

xx

x232

x

x2

21

1

因Qx)負(fù)定的（2）由已知得Q()23

xx2

2

411

1因Qx)是正定的4-2已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

11P211P2

1112a21

試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。解：方法（1統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定，則要求滿足的特征值均具有負(fù)實(shí)部。即：A

1121

1222

)1122

aa112221有解，且解具有負(fù)實(shí)部。即a且aa112212方法（2原點(diǎn)平衡狀為大范圍漸近穩(wěn)定，等價(jià)e

P。QIP

P11P12

P12P22

，則帶A

P，得到若

1112

a211112

22

112121121122aa1222224()(aaa)，則此方程組有唯一解。即212212a22P其Aaa21要正定，則要求

1Aa2122122221112(a)AaA211221112P1

A22122)1122

P2

(a)2a)1122)1122

2

因a0A114-3試用lyapunov第二法確定下列系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。（1

x（2

x

?122???2(1)x221??解統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。選取Lyapunov函?122???2(1)x221??e1

22

0，則V(x)12(x)x(2)1122xx212x)22V()負(fù)定的。xx)即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。（2）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。選取Lyapunov函數(shù)(2e1V)xx1x()x()1222

22

0，則V()負(fù)定的。xx)即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。4-6設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為：1)222試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：若采用克拉索夫斯基法，則依題意有：f()

x(x)

(x)

1ax22

Px)J(x)x)

01axax2

01axax2

00axax

很明顯Q()符號(hào)無法確定，故改用李雅普諾夫第二法。選取函數(shù)(x)1

22

0則(x)xx122x()2)121(12

)x2

V()負(fù)定的。xx)即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。4-9設(shè)非線性方程：

12??12??11122112222122試用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。解用克拉索夫斯基法，依題意有：f(

21

(x)

(x)

1

V(f

T

(x)f()

2

31

231

23)21

2x(x)Px)JT()()

x22

Qx)

1

21

，根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有：，1

1

x21

1

)符號(hào)無法判斷。（2）李雅普諾夫方法：選取Lyapunov數(shù)V()(x312

3x42，則4x3x(1212

)2V()負(fù)定的。xx)即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。4-12試用變量梯度法構(gòu)造下列系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)xx112x2解：假V(x)的梯度為：

計(jì)V(x導(dǎo)數(shù)為：

&1x2??2?V(x)&1x2??212122x2x23x11221222121211選擇參數(shù)，試aaaa0，于是得：112221

，顯然滿足旋度方程

1即，表明上述選擇的參數(shù)是允許的。則有：212(x)21如果

1xx11

12

1，()是負(fù)定的，因此是12

x

的約束條件。計(jì)算得V(x)為：V(x

x(x

x1

x(x)

x2(

)

V(x)是正定的，因此在

1x122

12

范圍內(nèi)，

xe

是漸進(jìn)穩(wěn)定的?，F(xiàn)代控制論第五章習(xí)答案5-1已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

01x試設(shè)計(jì)一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為1，-2，-3。解：依題意有：

1

A1,b0

M

A012

系統(tǒng)能控。系統(tǒng)AC特征多項(xiàng)式為：A

則將系統(tǒng)寫成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則01x0。引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：A)bu，其中K為陣，設(shè)KAC)特征多項(xiàng)式為：

k

kf

AbK)]

)2

)1

)0根據(jù)給定的極點(diǎn)值，得到期望特征多項(xiàng)式為：f*(

比較

f

*

對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解得k-9015-3有系統(tǒng)：

1

（1）畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。（2）若動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可否任意配置極點(diǎn)（3）若指定極點(diǎn)為-3，-3，求狀態(tài)反饋陣。解（1）系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如下：u+

-

+

-

y1題5系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖（2）系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充要條件是系A(chǔ)C完全能控。對(duì)于系統(tǒng)

AC有：M

，系統(tǒng)能控，故若系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可任意配置極點(diǎn)。（3）系C特征多項(xiàng)式為：A則將系統(tǒng)寫成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則x。引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：AbK)xK

kbKC)特征多

f(

d