2023屆廣東省新高考復(fù)習(xí)專題2數(shù)列解答題專項(xiàng)提分計(jì)劃1．（2022·廣東深圳·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，.(1)若，求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2022·廣東珠?！ぶ楹Ｊ械谌袑W(xué)統(tǒng)考二模）已知數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，，．(1)求及數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．3．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，設(shè).(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最小正整數(shù).4．（2022·廣東廣州·華南師大附中?？既＃┮阎炔顢?shù)列中，，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前2n項(xiàng)和；(2)若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.5．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列前項(xiàng)和為，(1)證明：(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．6．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義：對于任意一個(gè)有窮數(shù)列，第一次在其每相鄰的兩項(xiàng)間都插人這兩項(xiàng)的和，得到的新數(shù)列稱之為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項(xiàng)間插入這兩項(xiàng)的和稱之為二階和數(shù)列，以此類推可以得到n階和數(shù)列，如的一階和數(shù)列是，設(shè)它的n階和數(shù)列各項(xiàng)和為．(1)試求的二階和數(shù)列各項(xiàng)和與三階和數(shù)列各項(xiàng)和，并猜想的通項(xiàng)公式（無需證明）；(2)若，求的前n項(xiàng)和，并證明：．7．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且是與的等比中項(xiàng)，數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，對任意總有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．8．（2022·廣東中山·中山紀(jì)念中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：.9．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.10．（2023·廣東東莞·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，對，都有．(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．11．（2022·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和.12．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，且，(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)從條件①，②中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并給出解答．求數(shù)列______的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．13．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前50項(xiàng)的和．14．（2022·廣東佛山·統(tǒng)考三模）設(shè)各項(xiàng)非零的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，記，且滿足．(1)求的值，證明數(shù)列為等差數(shù)列并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．15．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和16．（2022·廣東·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，，，.(1)計(jì)算的值，求{}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.17．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考二模）問題：已知，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在數(shù)列，滿足，__________﹖若存在．求通項(xiàng)公式﹔若不存在，說明理由．在①﹔②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足，，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（2022·廣東韶關(guān)·校考模擬預(yù)測）數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．20．（2022·廣東梅州·統(tǒng)考二模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，___________.①，；②數(shù)列為等差數(shù)列，且的前項(xiàng)和為.從以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并求解：(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（2022·廣東佛山·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足(1)求、的值及數(shù)列{}的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和22．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.23．（2022·廣東·統(tǒng)考一模）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前n項(xiàng)和滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的表達(dá)式；(2)數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)，，，使得，，構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由.24．（2022·廣東肇慶·校考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.25．（2022·廣東揭陽·普寧市華僑中學(xué)?？级＃┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，在①②，，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，解答下列問題：(1)求的通項(xiàng)公式：(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和26．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．27．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，并做出解答.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，__________，數(shù)列是等差數(shù)列，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.28．（2022·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，且對任意，都有．(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求使得不等式成立的最大正整數(shù)m．29．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和.求，并證明：.30．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列，滿足，，且，(1)求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．2023屆廣東省新高考復(fù)習(xí)專題2數(shù)列解答題專項(xiàng)提分計(jì)劃1．（2022·廣東深圳·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，.(1)若，求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義,利用以及,即可得到,即可證明.（2）根據(jù)分組求和和等比數(shù)列求和公式即可求解.（1）因?yàn)樗裕驗(yàn)樗?/p>

所以所以

所以是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列.（2）由（1）易得：

因?yàn)樗运?．（2022·廣東珠海·珠海市第三中學(xué)統(tǒng)考二模）已知數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，，．(1)求及數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先根據(jù)得到，再結(jié)合，求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）在第一問的基礎(chǔ)上利用分組求和進(jìn)行求解.（1）在中，當(dāng)n＝1時(shí)，b1﹣a1＝0，當(dāng)n?2時(shí)，，顯然b1﹣a1＝0適合上式，所以，，又，所以兩式相減得，兩式相加得且a1＝1，b1＝1；（2）因?yàn)?，結(jié)合（1）中所求，，故3．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，設(shè).(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最小正整數(shù).【答案】(1)證明見解析(2)140【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）利用分組求和的方法得到，然后利用的增減性解不等式即可.【詳解】（1），，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列.（2）由（1）可得，即∴而隨著的增大而增大要使，即，則，∴的最小值為140.4．（2022·廣東廣州·華南師大附中校考三模）已知等差數(shù)列中，，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前2n項(xiàng)和；(2)若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.【答案】(1)，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為(2)【分析】（1）結(jié)合，求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得的通項(xiàng)公式，利用分組求和的方法，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可；（2）由（1）可知，利用錯(cuò)位相減法求解即可.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，所以，從而．.(2)∵，∴，，相減得，，，即.5．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列前項(xiàng)和為，(1)證明：(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)與前項(xiàng)和為的關(guān)系，即可證明結(jié)果；（2）由（1），對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，可得，由此可得，再根據(jù)分組求和即可求出結(jié)果.（1）解：由題可知，當(dāng)時(shí)，解得，所以又因?yàn)椋瑢⑵渑c兩式相減得：，因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，上式也成立，綜上，.（2）解：當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，有，，，…，累加得又滿足上式，所以n為奇數(shù)時(shí)；當(dāng)n為大于2的偶數(shù)時(shí)，有，，，…，累加得，滿足上式，又，綜上可知.6．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義：對于任意一個(gè)有窮數(shù)列，第一次在其每相鄰的兩項(xiàng)間都插人這兩項(xiàng)的和，得到的新數(shù)列稱之為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項(xiàng)間插入這兩項(xiàng)的和稱之為二階和數(shù)列，以此類推可以得到n階和數(shù)列，如的一階和數(shù)列是，設(shè)它的n階和數(shù)列各項(xiàng)和為．(1)試求的二階和數(shù)列各項(xiàng)和與三階和數(shù)列各項(xiàng)和，并猜想的通項(xiàng)公式（無需證明）；(2)若，求的前n項(xiàng)和，并證明：．【答案】(1)，，(2)，證明見解析【分析】(1)根據(jù)定義求出的二階和數(shù)列各項(xiàng)和與三階和數(shù)列各項(xiàng)和，由此歸納出，(2)由(1)化簡，再由裂項(xiàng)相消法求其前項(xiàng)和，并完成證明.【詳解】（1）由題意得，，，，，…，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，，所以的通項(xiàng)公式．（2）由于，所以，則，因?yàn)椋?，所以，又隨n的增大而減小，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故．7．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且是與的等比中項(xiàng)，數(shù)列的前n項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，對任意總有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】(1)或（其中），;(2).【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，然后根據(jù)已知條件列方程可求出，從而可求出，利用可求出；（2）由（1）可得，則，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以．化簡得且，解方程組得或．故的通項(xiàng)公式為或（其中）；因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)?，滿足上式，所以；（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，易見隨n的增大而增大，從而恒成立，所以，故的最小值為.8．（2022·廣東中山·中山紀(jì)念中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）已知求通項(xiàng)公式，先算再計(jì)算，作差公式為：；（2）將的表達(dá)式代入然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和后可證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得.當(dāng)時(shí)，由題意可得，即，所以，又，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)符合，所以，；所以當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)符合，所以，；（2）由（1）可得，所以，命題得證.9．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差，從而求得.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，，則所以，解得，所以.（2），所以，，兩式相減得，所以.10．（2023·廣東東莞·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，對，都有．(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用變形得到，從而證明出結(jié)論；（2）求出，分組進(jìn)行求和.【詳解】（1）因?yàn)?，所以．又，所以，化簡得：．因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1）可得：，所以，所以．11．（2022·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，可得，從而可得數(shù)列是以3為等比的等比數(shù)列，即可得解；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法即可得出答案.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，又因，所以，即，所以?shù)列是以3為等比的等比數(shù)列，所以；（2）解：，則，，兩式相減得，所以.12．（2022·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，且，(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)從條件①，②中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并給出解答．求數(shù)列______的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)證明見解析(2)選①：；選②：【分析】（1）根據(jù)遞推公式使用構(gòu)造法可得的通項(xiàng)公式，然后可得通項(xiàng)，再由等比數(shù)列定義可證；（2）選①：由分組求和法可得；選②：使用錯(cuò)位相減法可得.(1)因?yàn)榍?，所以?dāng)時(shí)，，所以，即所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，因?yàn)?，時(shí)，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．(2)選①：因?yàn)?，所以，則選②：因?yàn)?，所以，則（i）（ii）（i）（ii）得13．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前50項(xiàng)的和．【答案】(1)，(2)11522【分析】（1）利用平方差公式將變形，得出數(shù)列是等差，可求出數(shù)列的通項(xiàng)；利用消去得到與的遞推關(guān)系，得出數(shù)列是等比數(shù)列，可求出通項(xiàng)；（2）分析中前50項(xiàng)中與各有多少項(xiàng)，分別求和即可．(1)由得：∵是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列∴又當(dāng)時(shí)，得當(dāng)，由…①…②由①－②整理得：，∵，∴，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故；(2)依題意知：新數(shù)列中，（含）前面共有：項(xiàng)．由，（）得：，∴新數(shù)列中含有數(shù)列的前9項(xiàng)：，，……，，含有數(shù)列的前41項(xiàng)：，，，……，；∴．14．（2022·廣東佛山·統(tǒng)考三模）設(shè)各項(xiàng)非零的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，記，且滿足．(1)求的值，證明數(shù)列為等差數(shù)列并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；證明見解析；(2)【分析】（1）依據(jù)題意列出關(guān)于的方程即可求得的值，依據(jù)等差數(shù)列的定義去證明數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式；（2）先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分類討論去求數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)由題意可知，，且，解得：或（舍去）又當(dāng)時(shí)，，所以有化簡得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列所以(2)由(1)可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，綜上所述：15．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)將構(gòu)造為，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列.(2)求出的通項(xiàng)公式，方法一：分當(dāng)為奇數(shù)和偶數(shù)，即可求出；方法二：由錯(cuò)位相減法求出.【詳解】（1）證明：對任意的，，則且，故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比也為，故.（2）解法一:當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，解法二:,所以①上式兩邊乘以可得:

②①-②得:，16．（2022·廣東·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，，，.(1)計(jì)算的值，求{}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）賦值即可求出，利用與的關(guān)系可求得的遞推關(guān)系，進(jìn)而求出（2）對分奇偶討論，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，采用并項(xiàng)法求和，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，（1）當(dāng)時(shí)，，解得由題知

①

②由②①得，因?yàn)?，所以所以?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，所以的通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，也滿足上式，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，綜上，數(shù)列的前n項(xiàng)和17．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考二模）問題：已知，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在數(shù)列，滿足，__________﹖若存在．求通項(xiàng)公式﹔若不存在，說明理由．在①﹔②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】選①：；選②：；選③：【分析】選①：利用與的關(guān)系得到關(guān)于的遞推公式，再由遞推公式求，然后可得通項(xiàng)；選②：利用與的關(guān)系得到遞推公式，然后構(gòu)造等比數(shù)列可求通項(xiàng)；選③：根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列可解.【詳解】選①：，即是以2為公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，即當(dāng)時(shí)，顯然，時(shí)，上式不成立，所以.選②：當(dāng)時(shí)，，即所以整理得又，所以從第二項(xiàng)起，是以2為公比，4為首項(xiàng)的等比數(shù)列當(dāng)時(shí)，，即顯然，時(shí)，上式成立，所以選③：又是以2為公比和首項(xiàng)的等比數(shù)列，即18．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足，，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由遞推關(guān)系式可得，由等比數(shù)列定義可得結(jié)論；（2）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和累加法可求得，由此可得，分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，利用裂項(xiàng)相消法和求得結(jié)果，綜合兩種情況可得.【詳解】（1）由得：，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得：，則，，，…，，各式作和得：，又，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上所述：.19．（2022·廣東韶關(guān)·?？寄M預(yù)測）數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系得，再驗(yàn)證滿足條件即可求得答案；（2）由（1）知，，再結(jié)合裂項(xiàng)求和與數(shù)列的單調(diào)性得，再解不等式即可.【詳解】（1）解：當(dāng)，，①，，②①－②得（*）在①中令，得，也滿足（*），所以，，（2）解：由（1）知，，故，于是，因?yàn)殡Sn的增大而增大，所以，解得或所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.20．（2022·廣東梅州·統(tǒng)考二模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，___________.①，；②數(shù)列為等差數(shù)列，且的前項(xiàng)和為.從以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并求解：(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選①，分析可知數(shù)列、均為公差為的等差數(shù)列，求出的值，可求得、的表達(dá)式，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；選②，求得的值，可得出數(shù)列的公差，即可求得，再由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.（1）解：選條件①：，，得，所以，，即數(shù)列、均為公差為的等差數(shù)列，于是，又，，，所以；選條件②：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且的前項(xiàng)和為，得，所以，所以的公差為，得到，則，當(dāng)，.又滿足，所以，對任意的，.（2）解：因?yàn)椋?21．（2022·廣東佛山·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足(1)求、的值及數(shù)列{}的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和【答案】(1)；；(2).【分析】（1）利用給定條件建立方程組求解得、，再變形遞推公式求出即可計(jì)算.（2）由（1）的結(jié)論，對裂項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算作答.【詳解】（1）因，取和得：，即，解得，由得：，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，則，即，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，因此，，所以，數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，因此，，，則，滿足上式，所以.22．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用，整理可得數(shù)列是等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式即可；（2）求出，然后分組求和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，整理得，又，得則數(shù)列是以-2為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列.則，（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則23．（2022·廣東·統(tǒng)考一模）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前n項(xiàng)和滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的表達(dá)式；(2)數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)，，，使得，，構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由.【答案】(1)證明見解析，；(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)給定遞推公式，結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”建立與的關(guān)系即可推理作答.（2）由（1）求出，利用反證法導(dǎo)出矛盾，推理作答.(1)依題意，正項(xiàng)數(shù)列中，，即，當(dāng)時(shí)，，即，整理得，又，因此，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，即，所以.(2)不存在，當(dāng)時(shí)，，又，即，都有，則，假設(shè)存在滿足要求的連續(xù)三項(xiàng)，使得構(gòu)成等差數(shù)列，則，即，兩邊同時(shí)平方，得，即，整理得：，即，顯然不成立，因此假設(shè)是錯(cuò)誤的，所以數(shù)列中不存在滿足要求的連續(xù)三項(xiàng).24．（2022·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（2），利用裂項(xiàng)相消法即可求出數(shù)列的和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，，即，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）知，，所以.25．（2022·廣東揭陽·普寧市華僑中學(xué)?？级＃┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，在①②，，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，解答下列問題：(1)求的通項(xiàng)公式：(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，由已知得，，當(dāng)時(shí)，兩式相減有，再驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否滿足，可得數(shù)列的通項(xiàng)；若選②，由已知得，，當(dāng)時(shí)，兩式相減，得，再驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否滿足，可得數(shù)列的通項(xiàng)；若選③，由已知得，，當(dāng)時(shí)，兩式相減，得，再驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否滿足，可得數(shù)列的通項(xiàng)；（2）由（1）得，由等差數(shù)列的定義得數(shù)列是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可求得.(1)解：若選①，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，符合上式，所以；若選②，，當(dāng)時(shí)，兩式相減，得，即，又，，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為等比數(shù)列，所以；若選③，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，所以，當(dāng)時(shí)，符合上式，所以；(2)解：，，又，所以數(shù)列是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.26．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用可得，轉(zhuǎn)化為可得答案；（2）求得，利用錯(cuò)位相減可得答案.【詳解】（1）由可得，由得，所以，即，所以，，所以數(shù)列是公差為1，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列.（2）由（1），得，所以，，兩式相減得，所以.27．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）在①；②；③這三個(gè)條件中任