僅供個人參考利用定分證明數(shù)列型不等湖北省陽新縣高級中學(xué)

鄒生書我們把形如(為數(shù)或

的不等式稱之為數(shù)列和型不等式不式常見于高中數(shù)學(xué)競賽和高考壓軸題中明難度較大往往令人望而生.其中有些不等式若利用定積分的幾何意證明，則可達(dá)到以簡馭繁、以形助數(shù)的解題效果下面舉例說明供參.一(為數(shù)型例(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第二試第二題.

)已正整數(shù)，證分這一邊為常數(shù)另一邊與自然數(shù)有關(guān)的不等式，標(biāo)準(zhǔn)答案是用數(shù)學(xué)歸納法證明比這個不等式更強(qiáng)的不等式，這個不等式是怎么來的令人費(fèi)解若所證式子聯(lián)想到在用定積分求曲邊梯形面積的過程中“分割求和”這一步，則可考慮用定積分的幾何意義求證構(gòu)函數(shù)

并作圖象如圖1所.因函數(shù)

在

上是凹函數(shù)，由函數(shù)圖象可知，在區(qū)間

上的個形的面積之和小于曲梯形的面積，圖1不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考即

，因?yàn)?，以所?/p>

例2求.證而函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)在

，又，上是凹函數(shù)圖知區(qū)

上的

個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖2即，不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考所以

.例3證。證構(gòu)函數(shù)

，因，其函數(shù)凹函數(shù)，由圖3可知，在區(qū)間

上

個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，圖即所以

二、不得用于商業(yè)用途

型

僅供個人參考例4若，證:.證不式鏈的左邊是通項(xiàng)為

的數(shù)列的前

項(xiàng)之和，右邊通項(xiàng)為

的數(shù)列的前

項(xiàng)之和，中間的

可當(dāng)作是某數(shù)列的前

項(xiàng)之和故只要證當(dāng)

時這三個數(shù)列的通項(xiàng)不等式

成立即可.構(gòu)造函數(shù)為

的圖象圖4知區(qū)上曲邊梯形的面積大小在以區(qū)間長度一邊長右端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值為另一邊長的兩個矩形面積之間，即，而，故不等式

成立，從而所證不等式成.圖例（2010年考湖北卷理科第21題已知函數(shù)

的圖象在點(diǎn)處的切線方程為不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考（Ⅰ）用表出（Ⅱ）若

；在

內(nèi)恒成立，求的值范圍；（Ⅲ）證明:

本題第三問不等式的證明是本大題也是本卷的壓軸戲有合性強(qiáng)難大思維含金量高、區(qū)分度大等特點(diǎn)這個不等式的證明既可用第二問的結(jié)論證明也可用定積分來證.證明（Ⅲ不式列的前項(xiàng)和，我們也可把右邊當(dāng)作是通項(xiàng)為

左邊是通項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)

的數(shù)時，，此式適合，故只要證當(dāng)

時，

即，也就是要證.由此構(gòu)造函數(shù)，作其圖如圖所由圖知，直角梯形的面積大于曲邊梯形的面積，即.不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考圖5而

，所以，故原不等式成立點(diǎn)本法另辟蹊徑，挖掘新的待證不等式左右兩邊的幾何意義，通過構(gòu)造函數(shù)利用定積分的幾何意義來解決問題，解法雖然綜合性強(qiáng)，但由于數(shù)形結(jié)合解法直觀便于操作積分法是在新課標(biāo)下證明不等式的一個新方法新亮點(diǎn)，很值得品由例4例5可，要解決這類復(fù)雜問題的關(guān)鍵是要善于聯(lián)想善于分析問題和轉(zhuǎn)化問題才能化繁為簡為，精彩的解法不是空穴來風(fēng)而是理性思維的必然結(jié).作簡：生書，男1962年12出生，湖北陽新縣現(xiàn)任教于陽新縣高級中學(xué)，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，黃石市骨干教近四年來在《數(shù)學(xué)通訊》、《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》中數(shù)學(xué)月刊》中學(xué)數(shù)學(xué)》中教研》中學(xué)數(shù)學(xué)研究》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》、《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《河北理科教學(xué)研究》、《數(shù)理天地》、《數(shù)理化解題研究》等近二十種期刊上發(fā)表教學(xué)教研文章百余篇，在人教網(wǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)欄目發(fā)表文章二十多.不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考僅供個用學(xué)習(xí)、究不得用商業(yè)用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStudForschung,zukommerziellenZweckenwerden.Pourl'étudeetrechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscommerciales.толькдлялюдей,которыеиспольз