12僅供個人參考12高中數(shù)學(xué)知識要點重（）不等式的解法及綜合應(yīng)用．分式不等式不能輕意去分母，通常采用：移項（化一邊為零→通分→轉(zhuǎn)化為式不等式等式兩邊同除，若它的符號不能確定即需要討論序軸標(biāo)根（注意比較個根的大小能比較時即需要討論[別關(guān)注

[舉例1]于的不等式ax-b的集是1,+于x的等式

axx

0

的解集）A．∞,-1)∪,+∞)B．(-1,2)CD．(-∞,1)(2,+解析：不等式ax-b>0的集是(1,+∞)

且，則不等式

axx

0

等價于：xx

或選A。[舉例2]解于x的等式：

ax

解析：

a(a0[(axx以下不等式兩邊同除以，需討論其正負(fù)若，等價于：

(

aa

0aa此時需知不等式相應(yīng)的方程的兩根x與的小，比差：aaa可見a>1時<,∴不等式的解為(-，∪（2，∞)a

，②若a<1，不等式等于：

(x

aa

0

）

xx

不式的解為：a（a<0，x不等式的解為,2ⅲ)若a=0,不式等價于：a(x2)

，不等式的解為綜上所述：時等式的解(-，

aa

)∪（∞)；a當(dāng)0<a<1時不等式的解為a=0時不等式的解為aa（a

；當(dāng)時等式的解為：[鞏固1]不等式

x

2

1a)的解為ax，則a的值范圍是a[鞏固2]關(guān)于的不等式：

xx

[遷移已

an

1011

)

n

（

*

數(shù)列

{}

最大項為第項不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考．絕對值不等式的關(guān)鍵值”，通常有①利用絕對值不式的性質(zhì)：若M>0|f(x)|>Mf(x)>M或；②平（不等式兩邊同正討論（絕對值內(nèi)的式子為0[舉例設(shè)p：x

－x：

1x

<0,pq)（A充分不必要條件（B）必要不充分條件（）充要條件（）既不充分也不必要條件解析：p：∞∪，；以下對命題中不等式去絕對值）x≥0時原不等式等價于：

2x

<0

(x2)(x0-1<

<1或

>2注意到

≥0，∴x<1或）<0時原不等式等價于：

<0

(xx0-1<

<1或

；注意到

∴

<0或

；∴q:(-，-2)∪(-1，∪(2，∞)可見：pq,選A[鞏固不等式

xx|

的解集是

[遷移已知函數(shù)

fx)

在

(

上是增函數(shù)A-2),B(4,2)是圖象上的兩個點，那么不等式f(2

的解集是．分段函數(shù)形成的不等式一般分段解，再取并集；對較為復(fù)雜的分段函數(shù)問題可以助于圖象解決。[舉例1]函數(shù)

(x0)f(x)x(

，若

f)

則x取范圍是（）0A

，）∪（，

）

B

，）∪（0，

）C，0∪（，）

D-1）（0，解析：若<0，則f(x)=lg|x|>0|xx<-1；若x≥0，f(x)=000

x0故選[舉例2]知：函數(shù)

f(x)

,,x

()（a不等式：．不得用于商業(yè)用途

22僅供個人參考22解析）時，即解

a

ax2x

，此時不等式恒成立，即；（ⅱ）當(dāng)x時即解

x

xax

0

，∵∴

0x2或xa

．綜上：不等式的解為：

([鞏固1]函數(shù)

f()xx

，則使

f()

。則x的值范圍（）0A（

][0B（

][0,1]

C（

D[-20][1[鞏固2]知

f(x)

1,0,

則不等式

xx2)(

≤5解集是．抽象函數(shù)的不等式離不開函數(shù)的單調(diào)性。抽象函數(shù)的不等式反映出的函數(shù)值的小，需借助于函數(shù)的單調(diào)性化歸為自變量的大小別意定義域抽象函數(shù)的概圖是化抽象為形象的有效途徑；對某些有具體函數(shù)背景的抽象函數(shù)，可以從該具體函數(shù)中尋找解題線索。[舉例1]知奇函數(shù)在。

(

為減函數(shù)，則等(的集為：y解析：作函數(shù)f(x)的“念圖如右：先求不等式的：當(dāng)x>0時（y軸右側(cè)），f(x)<0(x軸下方，

-2

x∴x>2當(dāng)時y軸側(cè)），f(x)>0(x軸方)，∴；可見不等式xf(x)<0解為：或x>2（也可以根據(jù)滿足不等式xf(x)<0的數(shù)圖象上的點橫、縱坐標(biāo)異號，看圖象在第二、四象限的部分得出）。再將x換得：或x-1>2即或x>3。[舉例2]知函數(shù)fx）對任意實數(shù)、y均f（x＋y）＋＝f（x）＋f（y），且當(dāng)，f(x)>2，＝5求不等式fa

－2a－）<3的解析：正比例函數(shù)滿足：f（＋y＝f（x）＋fy，本題中函數(shù)可為次函數(shù)。解抽象函數(shù)的不等式，需知函數(shù)的單調(diào)性；用定義：任取<x，-x>0,則f(x-x)>21121

f(xf(x；f(x+y)+2＝f(x)+f(y)取得f(0)=2,再取y=-x221得即f(-x)=4-f(x),∴有f(x)>42

f(x)>f(x)2

f(x)在R遞增又f(3)=f(2)+f(1)-2=f(1)+f(1)-2+f(1)-2=3f(1)-4=5；于是：不等式f(a-2a-2)<3不得用于商業(yè)用途

22僅供個人參考22等價于f(a-2a-2)<f(1)2。注：（ⅰ）已知抽象函數(shù)的運算性質(zhì)，?！百x值法。（ⅱ）有具體函數(shù)背景的抽象函數(shù)問題，如果是客觀題，可以用具體函數(shù)求解。如本題：可設(shè)kx+b,據(jù)條件求出k、，解不等式。[鞏固1]已知yfx)是偶函數(shù)yg()

是奇函數(shù)，它們的定義域均為

[

，且它們在

x[0,

]

上的圖象如圖所示，則不等式

fx)gx)

解集是[鞏固2]知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)

f(x

滿足①若

>1,

f(x

<0；②

1f()2

；③對定義域內(nèi)的任意實數(shù)，y，有：

f(xy(x)f()

，則不等式

f(x)f)的解集為。．決含參變量的無理不等式、含參變量的絕對值不等式、含參變量的指（對數(shù)）不等式問題時常用數(shù)形結(jié)合。[舉例1]等式

1

在[-1，上成立，則的值范圍是解析：分別作函數(shù)1

和

yx

的圖象如右，前者是以原點為圓心的單位圓的上半部分，后者是斜率2x的解即半圓在直線為直線。不等式

-

O

1的下方的點的橫坐標(biāo)；不等式恒成立即半圓都在直線的下方，由圖可見，只需直線在與圓相切的位置的上方，即

a

2

。[舉例2]若等式

x

3

的解集[，，則實數(shù)的取值集合是

P解析：分別作函數(shù)

和yax

的圖象如右，12前者是雙曲線x=1的x軸方的部分，后者是過原點的直線。不等式

3ax

的解即雙曲線在直線下方的點的橫坐標(biāo)；如圖所示，不等式的解集[，2]即兩圖象交點的坐標(biāo)為2，分別代入不得用于商業(yè)用途

2xaB22僅供2xaB22兩函數(shù)表達(dá)式，得：

23a，

12

[鞏固1]等式x(0)

的解集是（）A

C

xx或x

D

[鞏固2]于的不等式

x

2

log(a

在（0）上恒成立，則的取值范圍是。遇含參不等式恒成立求參變量的范圍問題，通常采用分離參數(shù)法，化為求某函數(shù)的最大值（或最小值體：g(a)>f(x)在∈A上成立，g(a)<f(x)在x∈上恒成立

(x∈A)。當(dāng)變量難以分離時可以用f(a,x)>0在x∈上成立minf(a,x)(x∈A)及在∈A恒成立(x∈來化；還可以借助minmax于函數(shù)圖象解決問題。特別關(guān)注不式f(a,x)≥0對有xM恒成與不等式f(a,x)≥0對所有∈M恒立是兩個不同的問題，前者是關(guān)于x的不等式，而后者則應(yīng)視為是關(guān)于a的不等式。特別提醒判式只用于二函數(shù)對一切實數(shù)恒成的題，其它場合，概不適用。[舉例1]定義在R上函數(shù)為奇函數(shù)，且在[0，

)

為增函數(shù)，對任意

∈，等式f(cos2-3)+f(2m-sin)>0恒立，則實數(shù)m的值范圍是解析：∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且在[0+)增函數(shù)，易見：函數(shù)為在（0]上增，∴函數(shù)f(x)在

，

)

上遞增；不等式

成立

不等式f(cos2-3)>f(-2m+sin恒成立不式cos2成恒立記g(+2=2(sin

115),=g(1)=54∴

52

[舉例2]奇函數(shù)

f(x)

在[-1，1]是增函數(shù)，且

f(

，若函數(shù)

f)

2

對所有的

x[

及所有的

都成立，則

t

的取值范圍是；解析：先視x為主元，關(guān)于x的不等式

f)

2

對所有的

x[

橫成立

(x)

max

at

，又

f)

在[-1上遞增，∴

f()

max

(1)

，即：t

2

≥1，在視a為主元，關(guān)于a的等式

t

2

at

≥0對有的

都成立，記-2ta+t，此時分離參數(shù)（t或求函數(shù)g(a)最小值均需討論，但如果注意到函數(shù)g(a)是一次函數(shù)，其圖象是一條直線，則1)≥0且g(1)≥0得或≤-2或。[鞏固是偶函數(shù)，且f(x)[+

)

上是增函數(shù)，如果≤f(x-2)[

12

1]上成立，不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考則實數(shù)a的值范圍是。[鞏2]]對足

P

的實數(shù)做

x

4P

恒成立的x的值范圍是：

[

C.

((3,

([遷移已知函數(shù)

f()

1x33

，直線

l

：

x0

，若當(dāng)

x[2,2]

時，函數(shù)

yx)

的圖象恒在直線

l

的下方，則

的取值范圍是、[鞏固（

簡，）∪（0，1鞏2]當(dāng)時等式的解為{x|x<1}；當(dāng)不等式的解為{x|

aa

a；時等的解為{x|x<1或x>}[移]。a、[鞏固]

{|xx

，[遷移]（，、[鞏固1]C，[固2]（

，

32

]、[鞏固1]

(

(3

[鞏固2]

∈

[4,5)

；5[鞏固1]A，[鞏固2]{1，

]．[鞏固1][-2，0][固2]C,[移]（-6）不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考僅供個用學(xué)習(xí)、究不得用商業(yè)用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStudien,Forschung,zuk