Ch參數(shù)估計演示文稿當前1頁，總共142頁。根據(jù)樣本提供的信息,對總體分布的某些未知值作在本章中所討論的總體分布為離散型或連續(xù)型的.統(tǒng)計推斷是數(shù)理統(tǒng)計的基本內(nèi)容之一.統(tǒng)計推斷的形式包括兩大類——參數(shù)估計與假設(shè)檢驗.本章介紹兩種主要的參數(shù)估計方法——點估計和區(qū)間估計.當前2頁，總共142頁。一、參數(shù)估計問題在數(shù)理統(tǒng)計中,總體的分布一般是未知的,因而的當總體時,在未知的情況下,與故的二階原點矩中包含未知參數(shù).數(shù)字特征往往是未知的,這些未知值通常稱為參數(shù).例如都是參數(shù).如果已知而未知,則是參數(shù)而不是參數(shù).當前3頁，總共142頁。總體參數(shù)設(shè)總體為總體的分布為其中的稱為待總體參數(shù)的取值范圍稱為參數(shù)空間,記作估參數(shù).這類未知參數(shù)稱為總體參數(shù).例如當未知時,正態(tài)總體中有兩個總體參數(shù).例如,總體則相應(yīng)的參數(shù)空間為當前4頁，總共142頁。點估計的意義:根據(jù)樣本,構(gòu)造估計量由樣本對總體中的未知參數(shù)進行估計稱為參數(shù)估計.參數(shù)估計分為點估計和區(qū)間估計.通過樣本觀測值所對應(yīng)的估計值作為總體參數(shù)的估計值.記作當前5頁，總共142頁。區(qū)間估計的含義是:依據(jù)樣本來估計未知參數(shù)的某一點估計的意義:在數(shù)軸上表示一個點.區(qū)間估計的具體實現(xiàn):再由觀測值范圍.由樣本構(gòu)造兩個統(tǒng)計量:得到具體的區(qū)間以此區(qū)間作為未知參數(shù)的區(qū)間估計.當前6頁，總共142頁。下面討論兩種常用的點估計方法:矩估計和極大似然估計.

二、兩種常用點估計當前7頁，總共142頁。

1.矩估計矩估計的基本思想是:用樣本原點矩替換同階總體原點矩,而并不需要知道總體的具體分布.當前8頁，總共142頁。矩估計的意義:如果未知參數(shù)定義設(shè)是取自總體的樣本,記則稱為的矩估計量.其中以樣本的原點矩替換總體的原點矩.當前9頁，總共142頁。定理設(shè)是取自總體的一個樣本,其中未知,⑴是未知參數(shù)的矩估計;⑵是未知參數(shù)的矩估計,是未知參數(shù)的矩估計.即當前10頁，總共142頁。例1設(shè)總體求總體參數(shù)的矩估計.解總體的分布為設(shè)為來自總體的樣本,則由上面的說明,未知參數(shù)的矩估計為:若為觀察值,則相應(yīng)的估計值為當前11頁，總共142頁。例2設(shè)有一批同型號燈管,其壽命（單位:小時）服從試用矩估計方法估計的值.解設(shè)總體因由前面討論知:設(shè)為來自總體的樣本,參數(shù)為的指數(shù)分布,今隨機抽取其中的11只,測得其壽命數(shù)據(jù)如下:當前12頁，總共142頁。則指數(shù)分布中的參數(shù)的矩估計為對觀察值相應(yīng)的估計值為對已知數(shù)據(jù),因當前13頁，總共142頁。所以,未知參數(shù)的矩估計為:當前14頁，總共142頁。例3設(shè)總體服從參數(shù)為的幾何分布,求參數(shù)的矩解因總體服從幾何分布,故有概率函數(shù):從而有:估計.當前15頁，總共142頁。設(shè)為來自總體的樣本,則相應(yīng)的矩估計為對觀察值相應(yīng)的矩估計量為當前16頁，總共142頁。例4設(shè)總體有均值及方差,現(xiàn)有6個隨機樣本的求未知參數(shù)的矩估計.解設(shè)是來自總體的樣本,由于故可取相應(yīng)的均值的矩估計為:觀察數(shù)據(jù)為:當前17頁，總共142頁。及方差的估計為由已知數(shù)據(jù),得相應(yīng)的估計值分別為:當前18頁，總共142頁。例5設(shè)是取自于總體的一個樣本,其中因因此的矩估計為當前19頁，總共142頁。密度函數(shù)為例6設(shè)是取自于總體的一個樣本,的其它.求的矩估計.這里解因從而有當前20頁，總共142頁。由此得到所求參數(shù)的矩估計:當前21頁，總共142頁。例7設(shè)一升自來水中含有的大腸桿菌個數(shù)果,從消毒過的水中隨機地抽取了次,每次一升,化大腸桿菌個數(shù)/V

01234出現(xiàn)的次

17201021其中為未知參數(shù).為了檢查自來水消毒設(shè)備的效驗得到每升水中大腸桿菌個數(shù)如下:當前22頁，總共142頁。試估計平均每升自來水中大腸桿菌個數(shù).解因又故相應(yīng)的矩估計為又:即平均每升自來水中約有一個大腸桿菌.當前23頁，總共142頁。

2.極大似然估計⑴極大似然估計的意義極大似然估計是求總體未知參數(shù)點估計的另一重要方一個口袋里裝有黑白兩種棋子，且兩種棋子的比例

法.我們以下面的例子來說明極大似然估計的具體意義.為1：4，但不知道是黑：白是1：4還是白：黑是1：4?，F(xiàn)有放回地取2次，每次1個，發(fā)現(xiàn)取出的2個棋子都是黑子，問是黑：白是1：4還是白：黑是1：4？當前24頁，總共142頁。極大似然估計的意義設(shè)是來自總體的樣本,總體的分布記為若有使上式取極大值,即⑴⑵為其中為待估參數(shù),構(gòu)造似然函數(shù):當前25頁，總共142頁。稱為參數(shù)的極大似然估計量.而觀察值對應(yīng)的值為參數(shù)的極大似然估計值.當前26頁，總共142頁。求極大似然估計量的方法:⑴由總體的分布構(gòu)造似然函數(shù):⑵關(guān)系式兩邊取對數(shù):⑶上式兩邊對求導(dǎo),并令其為零,即有:⑶當前27頁，總共142頁。從中解出一般為的函數(shù),即:⑷由此得到未知參數(shù)的極大似然估計量:⑷當前28頁，總共142頁。例10設(shè)總體求參數(shù)的極大似然估計.解因總體總體的分布為故對樣本可得似然函數(shù)為:取對數(shù)后得:當前29頁，總共142頁。解之,得即:對求導(dǎo)當前30頁，總共142頁。由此得極大似然估計量為:和相應(yīng)的估計值注意到這和矩估計的結(jié)果是一致的.當前31頁，總共142頁。例11總體服從參數(shù)為的泊松分布,求的極大似然估解因總體總體的分布為故對樣本可得似然函數(shù)為:計.當前32頁，總共142頁。取對數(shù)后得對求導(dǎo)并令其為零,則有即當前33頁，總共142頁。由此得參數(shù)的估計量:和對應(yīng)的估計值:當前34頁，總共142頁。例12設(shè)總體服從參數(shù)為的幾何分布,求參數(shù)的極解因總體服從幾何分布,故有總體分布:故對樣本可得似然函數(shù)為:取對數(shù)后得:大似然估計.當前35頁，總共142頁。對求導(dǎo)并令其為零,則有即有解之得:當前36頁，總共142頁。由此得參數(shù)的估計量和估計值為當前37頁，總共142頁。例13設(shè)總體求的極大似然估解因總體的分布為:對樣本,得相應(yīng)的似然函數(shù):計.當前38頁，總共142頁。注意到似然函數(shù)中有兩個未知參數(shù),取對數(shù)后有:分別對參數(shù)求偏導(dǎo),并聯(lián)立方程組:當前39頁，總共142頁。由此得方程之解為:及:當前40頁，總共142頁。所以,參數(shù)的極大似然估計為:相應(yīng)的估計值為:當前41頁，總共142頁。例14設(shè)總體為連續(xù)型隨機變量,密度函數(shù)為其它求參數(shù)的極大似然估計.解設(shè)為來自總體的樣本,則似然函數(shù)為取對數(shù)后有:當前42頁，總共142頁。上式對求導(dǎo),并令其為零,則有解之得由此得估計量和估計值為當前43頁，總共142頁。對總體未知參數(shù)的估計,存在多種方法,不同方法下三、估計量的評選標準所得到的估計量可能各不相同,由此自然產(chǎn)生問題:對同一個未知參數(shù)的不同估計量,究竟哪個更好點.為此建立下面的幾個評選標準.當前44頁，總共142頁。⑴無偏性設(shè)總體,總體的分布中包含未知參數(shù)若則我們自然考慮估計量與真值的偏差如何,由此需要考的分布情況.注意到是隨機變量,自然會考察有估計量:察量當前45頁，總共142頁。定義若未知參數(shù)的估計量則稱該估計量是的無偏估計.若滿足則稱該估計量為參數(shù)的漸近（無偏）估計.⑸⑹滿足且當前46頁，總共142頁。例15設(shè)總體是來自總體的樣本,則⑴當未知而已知時,的矩估計和極大似然估計都是且是的無偏估計;⑵當已知但未知時,的極大似然估計為無偏估計;當前47頁，總共142頁。⑶當與均未知時,的極大似然估計分別為前者是無偏估計,而后者是漸近無偏估計.當前48頁，總共142頁。例16設(shè)是來自總體的樣本,其中未知,證明的矩估計為無偏估計.證因是參數(shù)的矩估計.又即是參數(shù)的無偏估計.當前49頁，總共142頁。例17設(shè)總體已知,則的極大似然估計為的無偏估計.證因所以是的無偏估計.當前50頁，總共142頁。前面討論的關(guān)于估計量的無偏性,它反應(yīng)的是估計量與待估參數(shù)的偏離程度.但某種情況下,同一個參數(shù)的兩個不同的估計量與真值的偏離值是相同的,考察下面的例子.當前51頁，總共142頁。例18設(shè)是來自總體的容量的樣本,則即均為均值的無偏估計.構(gòu)造估計量當前52頁，總共142頁。

3.估計量的有效性定義設(shè)為待估參數(shù)的無偏估計,若則稱估計量比更有效.⑺當前53頁，總共142頁。例19設(shè)是來自總體的容量的樣本,則即均為均值的無偏估計.此時,構(gòu)造估計量當前54頁，總共142頁。即是比有效的估計.進一步地,我們有下面的結(jié)論.當前55頁，總共142頁。例20設(shè)是來自總體的樣本,期望為均值的無偏估計且當為無偏估計時,取所得到的估計是最有效的估計.證因存在,為非負常數(shù),當前56頁，總共142頁。若為無偏估計,則有反之顯然.又,若為無偏估計,因當前57頁，總共142頁。則為最小且當前58頁，總共142頁。四、區(qū)間估計上節(jié)討論了未知總體參數(shù)的點估計.注意到點估計僅是未知參數(shù)的一個近似估計.而真值往往又是不知道的.無論估計量如何選取,我們很難估計真值與近似值之間的誤差.在實際問題中,我們不僅需要知道近似值,而且還需要知道該近似值的精確性與可靠程度.當前59頁，總共142頁。

1.區(qū)間估計的一般意義設(shè)總體分布為其中為待估參數(shù),是估計量,對一個較小的值和使得為通過對的控制,我們可使得相應(yīng)的概率在事先控制的范圍中.通過下面的例子來進一步地說明該問上式的意義是真值落在隨機區(qū)間的概率當前60頁，總共142頁。題.當前61頁，總共142頁。例21為了考察某廠生產(chǎn)的水泥構(gòu)件的抗壓強度（單位:到25個數(shù)據(jù)并由此算得（該值為水泥構(gòu)件平均抗壓強度平均值的點估計）.從是參數(shù)的一個較優(yōu)的點估計,因此一個較為千克力/平方厘米）,隨機抽取了25個樣品進行測試,得歷史數(shù)據(jù)中知,抗壓強度其中為未知,現(xiàn)希望根據(jù)已知的數(shù)據(jù)得到的一個區(qū)間估計.由于當前62頁，總共142頁。合理的區(qū)間是對應(yīng)的概率為設(shè)來自總體的樣本為則區(qū)間是一個隨機區(qū)間.反映區(qū)間估計可靠程度的量是這個隨機區(qū)間覆蓋未知參數(shù)的概率:當前63頁，總共142頁。由于其中因此上述概率其中:為:當前64頁，總共142頁。我們希望這個概率至少為其中是近于的正數(shù),解得這里為標準正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù).例如當取則查表得:由于當前65頁，總共142頁。于是所以隨機區(qū)間為一般把這個區(qū)間估計用分位數(shù)表達為因為它清楚地表示了這個區(qū)間估計的可靠程度（即它覆蓋未知參數(shù)的概率）為當前66頁，總共142頁。在上面問題中,由樣本觀察值計算得代入上式得的區(qū)間估計為當前67頁，總共142頁。從樣本觀察值提供的信息,推斷出以的可靠程度,把上面問題一般化,即得到區(qū)間估計的定義.保證該廠生產(chǎn)的水泥構(gòu)件的抗壓強度在（千克力/平方厘米）之間.當前68頁，總共142頁。定義設(shè)是取自總體的樣本,總體和使得則稱區(qū)間為參數(shù)的雙側(cè)置信區(qū)間,稱分布為其中為待估參數(shù).對此未知參數(shù),給定若存在兩個統(tǒng)計量為置信水平,分別稱為置信下限和上限.稱為置信度.當前69頁，總共142頁。注在一般情況下,置信上下限為隨機變量,其具體意義是:對同一個參數(shù)反復(fù)使用同一個置信區(qū)間,盡管不能保證每一次都能使落在該區(qū)間內(nèi),但至少有次使得“”成立.一般取為接近于0的正數(shù).當前70頁，總共142頁。區(qū)間估計的基本方法設(shè)總體總體的分布為其中為待估參數(shù),⑴尋找一個較優(yōu)的點估計量（一⑵以為基礎(chǔ),構(gòu)造隨機變量:在該隨機變量中包含所需要的待估參數(shù),并使得相應(yīng)的置信水平般取相應(yīng)的極大似然估計）當前71頁，總共142頁。分位數(shù)容易求得;⑶設(shè)的分位數(shù)為的分位數(shù)為則有⑷變換不等式“”使其具有表達式則即為所求的估計區(qū)間.⑻在區(qū)間估計中,也有單側(cè)的情形.當前72頁，總共142頁。定義設(shè)是取自總體的樣本,對于未使得則稱區(qū)間為參數(shù)的單側(cè)置信區(qū)間,稱為置信水平,稱為單側(cè)置信下限.給定若存在統(tǒng)計量知參數(shù)類似可以定義單側(cè)置信上限.當前73頁，總共142頁。五、正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間當前74頁，總共142頁。

1.一個正態(tài)總體的情形設(shè)總體服從正態(tài)分布,求參數(shù)和的置信區(qū)間.當前75頁，總共142頁。⑴未知時但已知如例21中的討論,令為的極大似然估計,構(gòu)造則再由標準正態(tài)分布的的分位數(shù)并且當前76頁，總共142頁。因此由此得的雙側(cè)的置信區(qū)間為當前77頁，總共142頁。⑼相應(yīng)的單側(cè)置信區(qū)間分別為和當前78頁，總共142頁。例22設(shè)抽取容量為9的樣本,⑴的的置信區(qū)間;⑵的的置信區(qū)間.解⑴此時查表得代入式⑽,得置信區(qū)間為:且樣本均值為求當前79頁，總共142頁。⑵置信水平為則再由⑽當前80頁，總共142頁。例21求上例中的單側(cè)的置信區(qū)間的上限及下限.解因由式⑾,易得置信區(qū)間的上限為其具體意義是:我們可以有的把握可保證該廠生產(chǎn)的水泥構(gòu)件的平均抗壓強度至多只有（千克力/平方厘米）.當前81頁，總共142頁。再由⑿式得置信下限為:當前82頁，總共142頁。⑵已知未知當未知時,仍取均值的極大似然估計并構(gòu)造:此時與①的建立過程相仿,得到的雙側(cè)的置信區(qū)間⒂當前83頁，總共142頁。及單側(cè)的置信上限和下限:⒃當前84頁，總共142頁。⑶與均未知未知參數(shù)的極大似然估計為注意到且由此得到的雙側(cè)置信區(qū)間為⑼當前85頁，總共142頁。而相應(yīng)的單側(cè)置信區(qū)間的上限及下限分別為:⒁當前86頁，總共142頁。當未知時,的極大似然估計為因仿上面討論有:當前87頁，總共142頁。由此得到的雙側(cè)的置信區(qū)間為:⒄當前88頁，總共142頁。再由及單側(cè)的置信上限和下限:⒅當前89頁，總共142頁。例22為估計一批鋼索所能承受的平均張力,從中隨機又張力服從正態(tài)分布,求平均張力的置信水平為的解注意到,該問題是未知的置信區(qū)間求解問題.此由式⒁,得平均張力的置信區(qū)間為:抽出10個樣品作試驗,由試驗數(shù)據(jù)知置信區(qū)間.時查表得:當前90頁，總共142頁。當前91頁，總共142頁。例23電動機由于連續(xù)工作時間過長而會燒壞.今隨機并假定該種型號的電動機燒壞前連續(xù)工作時間取置信水平為分別求出與的雙側(cè)置地從某種型號的電動機中選取9臺并測試它們在燒壞前的連續(xù)工作時間（單位：小時）,由數(shù)據(jù)得及當前92頁，總共142頁。置信區(qū)間.因而由公式⒀得相應(yīng)的置信區(qū)間為:又解先求均值的置信區(qū)間.由已知條件:當前93頁，總共142頁。再求方差的置信區(qū)間.由得到的區(qū)間置信區(qū)間為:當前94頁，總共142頁?？偨Y(jié)已知未知已知未知當前95頁，總共142頁。

2.兩個正態(tài)總體的情形設(shè)是取自總體的樣本,與獨立,求二總體均值差的的置信區(qū)間.是取自正態(tài)總體的樣本,且當前96頁，總共142頁。若已知,怎由于是的點估計,則由于引入:則容易得到相應(yīng)的置信區(qū)間為當前97頁，總共142頁。當前98頁，總共142頁。若而未知,則記引入則可得到置信區(qū)間為:當前99頁，總共142頁。這里,當前100頁，總共142頁。例24甲,乙兩臺機床加工同一種零件,今在機床甲加假定零件長度服從正態(tài)分布,求均值差的的置信區(qū)工的零件隨機抽取9件,在乙加工的零件中隨機抽取6件,分別測得零件的長度（單位:）,由測量的數(shù)據(jù)可算出:間.當前101頁，總共142頁。解在此問題中,由此可得水平為0.95的均值差的置信區(qū)間的觀察知為:當前102頁，總共142頁。六、部分練習解答當前103頁，總共142頁。8.1設(shè)是取自總體的一個樣本,在下列兩種情形下,求總體參數(shù)的矩估計和極大似然估計.⑴其中未知,⑵其中未知,解⑴因所以的矩估計為又似然函數(shù)為當前104頁，總共142頁。取對數(shù)后有求導(dǎo)后并令其為零,則有即有當前105頁，總共142頁。得到由此得到參數(shù)的極大似然估計為⑵因所以參數(shù)的矩估計當前106頁，總共142頁。又總體的密度函數(shù)為因而似然函數(shù)為取對數(shù)后有當前107頁，總共142頁。求導(dǎo)后并令其為零,則有由此得到參數(shù)的極大似然估計為當前108頁，總共142頁。8.2設(shè)某廠生產(chǎn)的晶體管的壽命服從指數(shù)分布今隨機地抽取5只晶體管進行測試,測得它們的壽命（單位:小時）如下:試求該晶體管的平均壽命的極大似然估計值.解由上題知,參數(shù)的極大似然估計為當前109頁，總共142頁。所以平均壽命的極大似然估計值為當前110頁，總共142頁。8.3設(shè)是取自總體的一個樣本,的密度函數(shù)為其它.求參數(shù)的矩估計.解因當前111頁，總共142頁。即從而矩估計為當前112頁，總共142頁。8.4設(shè)是取自總體的一個樣本,試求與的極大似然估計.解因又概率函數(shù)為由此得到樣本的似然函數(shù)為當前113頁，總共142頁。取對數(shù)后有上式對求導(dǎo)并令其為零,則有當前114頁，總共142頁。由此得到參數(shù)的極大似然估計為所以的極大似然估計為當前115頁，總共142頁。而因而相應(yīng)的極大似然估計為當前116頁，總共142頁。8.7設(shè)是取自總體的一個樣本,的分布函數(shù)為試求的矩估計和極大似然估計.解的密度函數(shù)為當前117頁，總共142頁。從而矩估計為⑵似然函數(shù)為當前118頁，總共142頁。取對數(shù)后有求導(dǎo)后有所以極大似然估計為當前119頁，總共142頁。當前120頁，總共142頁。8.10設(shè)是取自總體的一個樣本,⑴是的無偏估計;⑵不是的無偏估計;⑶是的無偏估計.試證:證:⑴所以是的無偏估計.⑵當前121頁，總共142頁。所以不是的無偏估計;⑶因相互獨立,由期望性質(zhì),所以是的無偏估計.當前122頁，總共142頁。8.12在習題8.3中,⑴求的極大似然估計,并證明它不具有無偏性;⑵試求常數(shù)使得為的無偏估計;⑶試求的矩估計的方差;⑷試求的矩估計,并證明當時它不具有無偏性.證⑴似然函數(shù)為當前123頁，總共142頁。欲使上式為最大,則可取所以參數(shù)的極大似然估計量為再求總體的分布函數(shù):當