考點(diǎn)09函數(shù)與方程

考綱段攵

(1)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).

(2)根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解.

I知識(shí)整合

一、函數(shù)的零點(diǎn)

1.函數(shù)零點(diǎn)的概念

對(duì)于函數(shù)y=/(x),XGD,我們把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)y=/(x),XGD的零點(diǎn).

2.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系

函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

即方程/(x)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)y=/(x)的圖象與A-軸有交點(diǎn)=函數(shù)y=/(%)有零點(diǎn).

【注】并非所有的函數(shù)都有零點(diǎn)，例如，函數(shù)兀v)=f+i,由于方程￥+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根，故該函數(shù)無(wú)零點(diǎn).

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間口，句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有那么，函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間(。加內(nèi)有零點(diǎn),即存在ce(a,b),使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程/(元)=0的根.

【注】上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

5.常用結(jié)論

(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)/(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則/(幻至多有一個(gè)零點(diǎn)；

(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)：

(3)函數(shù)/(x)=/(x)—g(x)有零點(diǎn)o方程尸(x)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的圖象有

交點(diǎn)；

(4)函數(shù)/(x)=)(幻一a有零點(diǎn)o方程E(x)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(x)與y=a的圖象有交點(diǎn)

oae{y|y=/(x)},其中。為常數(shù).

二、二分法

1.二分法的概念

對(duì)于在區(qū)間M，以上連續(xù)不斷且<0的函數(shù)y=f(x),通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的

區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

2.用二分法求函數(shù)/(x)零點(diǎn)近似值的步驟

給定精確度￡,用二分法求函數(shù)/(%)零點(diǎn)近似值的步驟如下：

①確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證/(。)"(。)<0,給定精確度e；

②求區(qū)間(a,力的中點(diǎn)c；

③計(jì)算危)；

a.若y(c)=O,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

b.若-a),式c)<0,則令斤c(此時(shí)零點(diǎn)的G(a,c))；

c.若/c)?膽)<0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)x()e(c,b)).

④判斷是否達(dá)到精確度e：即若|。-旬<￡,則得到零點(diǎn)近似值a(或6);否則重復(fù)②③④.

【速記口訣】

定區(qū)間，找中點(diǎn)；中值計(jì)算兩邊看，

同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間.

重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來(lái)把關(guān)口.

考向一函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)所在區(qū)間的判斷

函數(shù)零點(diǎn)的判定方法

(I)定義法(定理法)：使用零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)y=/(x)必須在區(qū)間也，切上是連續(xù)的，當(dāng)

<0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(“，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

(2)方程法：判斷方程/。)=0是否有實(shí)數(shù)解.

⑶圖象法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如

/(x)=g(x)-/z(x),作出y=g(x)和y=/z(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)兀0的零點(diǎn).

典例引領(lǐng)

典例1函數(shù)/(x)=er-x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為

A.卜,-；)B.卜(0

C陷[1,1)

【答案】D

【解析】易知函數(shù)/(x)=e-x—x的圖象是連續(xù)的，目通過(guò)計(jì)算可得/(T)=ei-(T)=e+l>0,

，(一9=人一卜"=羽+；>°，〃°)=8°=嗎卜”十￡二雙

/(l)=e-1-l=1-1<0,由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(；』)

本題選擇D選項(xiàng).

【規(guī)律總結(jié)】首先確定函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理求解函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間即可.判斷

函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法：一般而言，判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法是將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求出函數(shù)的值,

進(jìn)行符號(hào)判斷即可得出結(jié)論.此類問(wèn)題的難點(diǎn)往往是函數(shù)值符號(hào)的判斷，可運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷.

典例2在用二分法求方程/一2犬-1=0的一個(gè)近似解時(shí)，現(xiàn)在已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則下一步可

以斷定該根所在區(qū)間為.

【答案】(l，2

3、更-3-1=

【解析】令/(力=/一2%-1,〃1）=-2<0,/（2）=8-5=3>0,

2>88

故下一步可以斷定根所在區(qū)間為2),故填(g,2).

變式拓展

1.若函數(shù)/(x)=2czx+l—a在區(qū)間(—1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是

113，

A.Q>—B.a>—或ci<—1

33

1

C.-1?<。<—D.。<—1?

3

2.已知函數(shù)〃無(wú))=；/一尤2+].

(1)證明方程/(x)=0在區(qū)間(0,2)內(nèi)有實(shí)數(shù)解；

(2)請(qǐng)使用二分法，取區(qū)間的中點(diǎn)兩次，指出方程f(x)=0,xW[0,2]的實(shí)數(shù)解沏在哪個(gè)較小的區(qū)間

內(nèi).

考向二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法

(1)解方程法：令段)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a,歷上是連續(xù)不斷的曲線，且犬。)皿匕)<0,還必須結(jié)

合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有

的性質(zhì).

(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

典例引領(lǐng)

典例3函數(shù)yu)=2'+lg(x+1)-2的零點(diǎn)有

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【解析】解法一：因?yàn)?大0)=1+0-2=-1<0,./(2)=4+lg3-2=2+lg3>0,所以由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知，危)在

(0,2)上必定存在零點(diǎn).又/U)=2*+lg(x+l)-2在(T,+oo)上為增函數(shù)，故兀v)=0有且只有一個(gè)實(shí)根，即函

數(shù)貝x)僅有一個(gè)零點(diǎn).

解法二：在同一坐標(biāo)系中作出/?(x)=2-2*和g(x)=lg(x+l)的圖象，如圖所示，

由圖象可知〃(x)=2-2”和g(x)=lg(x+1)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即危)=2'+lg(x+1)-2與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),

即函數(shù)大外僅有一個(gè)零點(diǎn).

變式拓展

3.函數(shù)/.(力=(唾2同2-8的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.1B.2

C.3D.4

考向三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題

高考對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的考查多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在解答題中.常與函數(shù)的圖象

及性質(zhì)相結(jié)合，且主要有以下幾種常見(jiàn)類型及解題策略.

1.已知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程的根求解參數(shù)的關(guān)鍵是結(jié)合條件給出參數(shù)的限制條件，此時(shí)應(yīng)分三步：

①判斷函數(shù)的單調(diào)性；

②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式；

③解不等式，即得參數(shù)的取值范圍.在求解時(shí)，注意函數(shù)圖象的應(yīng)用.

2.已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍

一般情況下，常利用數(shù)形結(jié)合法，把此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

3.借助函數(shù)零點(diǎn)比較大小或直接比較函數(shù)零點(diǎn)的大小關(guān)系

要比較X")與人力的大小，通常先比較大”)、式份與。的大小.若直接比較函數(shù)零點(diǎn)的大小，則可有以下

三種常用方法：

①求出零點(diǎn)，直接比較大小；

②確定零點(diǎn)所在區(qū)間；

③同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)圖象，由零點(diǎn)位置關(guān)系確定大小.

典例引領(lǐng)

典例4對(duì)任意實(shí)數(shù)”，〃定義運(yùn)算“③”：。<8)匕=‘''"一"？1,設(shè)/(6=(%2—1)區(qū))(4+%),若函數(shù)

a,a-b<\

y=/(_X)+恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是

A.(-2,1)B.[0,1]

C.[-2,0)D.[-2,1)

【答案】D

4+xXx2—1)—(4+x)>1

【解析】由新定義可得/(刈=，,即〃x)=.其圖象如圖

x2-l,(xa-l)-(4+x)<l

所示，所以由y=〃x)+上恰有三個(gè)零點(diǎn)可得，TVTS2,所以3故選D.

變式拓展

4.已知函數(shù)/(x)=<5'+Mx,”,則方程/(》)=丘恰有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是

lnx(x>1)

B.

1]_

D.

5'e

聲點(diǎn)沖關(guān)充

1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是

A.yuf+lB.y=|lgx|

C.y=cosxD.y=e*—1

2

2.已知函數(shù)"x)=[—log3X,在下列區(qū)間中包含〃龍)零點(diǎn)的是

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,3)D.(3,4)

71

3.命題〃：―5<a<l,命題q:函數(shù)/(x)=2'—7+a在(1,2)上有零點(diǎn)，則p是q的

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.已知函數(shù)〃力=<,,若函數(shù)g(x)=/(x)-2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值

[x2+5x+2,x<a

范圍是

A.[-1,1)B.[—1,2)

c.[-2,2)D.[0,2]

5.設(shè)方程10*=恒(-力|兩個(gè)根分別為4馬,則

A.0<XtX2<1B.XjX2=1

C.西工2>1D.x{x2<0

6.已知函數(shù)/(x)滿足/(x+l)=/(x-l),且〃x)是偶函數(shù)，當(dāng)xe[—1,0]時(shí)，若在區(qū)

間［-1,3］內(nèi),函數(shù)g(x)=/(x)-kjg/x+Z)有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(1,5)B.(1,5]

C.(5,-H?)D.[5,+co)

7.已知函數(shù)/(x)=<；廠-4：+5，*,1,若關(guān)于x的方程“》)=日—；恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)

數(shù)A的取值范圍是

B.惇6

D.化立

Je

8.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)既是奇函數(shù)，又是周期為3的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，/(x)=simu,

則函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,6］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是,

2'—l,x>0_/、/、

9.已知函數(shù)/(x)=<,若函數(shù)g(x)=〃x)+3根有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)根的取值范圍是

-x-2x,x<0

10.已知函數(shù)/(1)=/+皿+加一1(400).

(1)若"—1)=0,判斷函數(shù)“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：

(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)相，函數(shù)/(x)恒有兩個(gè)相異的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍：

⑶已知X，%2€R且X|〈尤2，/(玉)//(工2)，求證：方程/(x)=g［/(xj+〃*2)］在區(qū)間(內(nèi)，工2)

上有實(shí)數(shù)根.

3通高考w;

1.(2017年高考新課標(biāo)川卷文科)已知函數(shù)/(幻=/―2x+a(ei+e-*T)有唯一零點(diǎn)，則用

11

A.---B.—

23

1

C.-D.1

2

2.(2015年高考安徽卷文科)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是

A.y=]nxB.y=x2+1

C.y=sinxD.y=cosx

.2-|x|,x<2/-

11

3.(2015年高考天津卷文科)已知函數(shù)/(%)=<,，函數(shù)g(x)=3—/(2一元)，貝ij函數(shù)

(x-2)\x>2

y=/(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.2B.3

C.4D.5

4.(2015年高考湖北卷文科)函數(shù)/(x)=2sinxsin(x+5)-f的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

"2八

5.(2017年高考江蘇卷文科)設(shè)“幻是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間。1)上，f(x)=''

x,x^D,

其中集合。={x|x=e,〃eN*},則方程f(x)—lgx=0的解的個(gè)數(shù)是.

n

X<Y)1

6.(2016年高考山東卷文科)已知函數(shù)/(x)=<—,其中加〉0.若存在實(shí)數(shù)/>,使得

x-2nvc+4m,x>m

關(guān)于x的方程/(x)=。有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是.

x—4,x>A

7.(2018年高考浙江卷)已知2GR,函數(shù)#x)=《，當(dāng)4=2時(shí)，不等式./?<0的解集是

x-4x+3,x<A

.若函數(shù)兀0恰有2個(gè)零點(diǎn)，則2的取值范圍是.

嶷參考答案,

變式拓展

-------

1.【答案】B

【解析】當(dāng)。=0時(shí),/(x)=l,不滿足題意；

當(dāng)。工。時(shí)，由題意可知：/(-1)/(1)<0,即(一2。+1—(2j+l—akO,求解不等式可得。的取

值范圍是?；?。<一1.

本題選擇B選項(xiàng).

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，一次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意

在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸能力和計(jì)算求解能力.求解時(shí)，由題意分類討論。=0和兩種情況即可求得最

終結(jié)果.

2.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)(I,]).

【解析】⑴??,"0)=1>0，/(2)=-1<0,

又???函數(shù)/(%)=；/一/+1是連續(xù)函數(shù)，

/.由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可得方程/(￡)=0在區(qū)間(0,2)內(nèi)有實(shí)數(shù)解.

(2)取為=gx(O+2)=l,得/(l)=g>0,由此可得=則下一個(gè)有解區(qū)間為

(1,2),

131(W1

再取X2=-X(1+2)=2,得/巳=--<0,由此可得巳=———<0,則下一個(gè)有解區(qū)間

2212J8y2y24

為圜,

綜上所述，所求實(shí)數(shù)解罰在較小區(qū)間(1,?)內(nèi).

【思路分析】(1)通過(guò)/(O)與"2)的乘積小于0,利用零點(diǎn)的存在性定理證明即可；(2)利用二分法

求解方程的近似解的方法，轉(zhuǎn)化求解即可.

3.【答案】C

【解析】函數(shù)的零點(diǎn)滿足：(log2X『=x,即Rog?尤|=6,則原問(wèn)題等價(jià)于求解函數(shù)y=|log2x|與

y=?的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中繪制兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，

觀察可得，函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，故函數(shù)/(x)=(log/)2-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

本題選擇C選項(xiàng).

【名師點(diǎn)睛】先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，再繪制函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求得最

終結(jié)果.函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

(1)直接求零點(diǎn)：令yu)=o，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間口，以上是連續(xù)不斷的曲線，且式還必須結(jié)

合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不

同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

4.【答案】C

【解析】???方程/(司=丘恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，；.)可(x)與尸丘的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn).

Vx>l時(shí)，y=f(x)=lnx,?,.;/=!；???&表示直線產(chǎn)丘的斜率，，當(dāng)直線廣質(zhì)與y=/(x)的圖象相切

X

時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(沏，%)，則仁」-,???切線方程為kyo='(x-xo),又切線過(guò)原點(diǎn)，.?.比=1,，xo=e,

k=~,如圖所示，結(jié)合圖象，可得實(shí)數(shù)%的取值范圍是

e

故答案為C.

【名師點(diǎn)睛】(1)本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖象進(jìn)

行解答.即由方程/(X)=丘恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y于■(工)與產(chǎn)人的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn),

數(shù)形結(jié)合求出左的取值范圍.

(2)零點(diǎn)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要問(wèn)題，常用的方法有方程法、圖象法、方程+圖象法.

考點(diǎn)沖關(guān)

-------------

1.【答案】C

【解析】選項(xiàng)A中，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意，故A不正確.

選項(xiàng)B中，函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意，故B不正確.

選項(xiàng)C中，函數(shù)是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)，符合題意，故C正確.

選項(xiàng)D中，函數(shù)不是偶函數(shù)，不合題意，故D不正確.

綜上可知選C.

2.【答案】C

【解析】由題意，函數(shù)/(x)=-—1og/為單調(diào)遞減函數(shù)，目

X

/(2)=^-loga2=l-log32>0,/(3)=|-log33=-l<0,所以〃2>〃3)<0,所以函數(shù)

/J?J

2

〃x)=-—log3X在區(qū)間(Z3)上存在零點(diǎn)，故選C.

X

【名師點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，解答時(shí)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定

理判定是解答的關(guān)鍵，著重考查學(xué)生的推理與運(yùn)算能力.

3.【答案】C

【解析】由題意得函數(shù)/(X)=2*-:+。在(1,2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)“X)在(1,2)上有零點(diǎn),

所以/(1)〃2)=(1+4)](+，<0,解得—g<a<—1.

，P是q的必要不充分條件.

故選C.

4.【答案】B

【解析】由題意得g(x)=<2「C，若g(x)=O,則應(yīng)有x=2或x=-l或x=-2,若函數(shù)

x+3X4-2,X<?3

g(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則應(yīng)滿足故選擇B.

【名師點(diǎn)睛】函數(shù)y=的零點(diǎn)等價(jià)于方程/(x)=0的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)y=的圖象與x軸交

點(diǎn)的橫坐標(biāo).本題先畫出函數(shù)g(x)的圖象，再確定分點(diǎn)。的取值范圍，這里要特別注意端點(diǎn)值能否取得

等號(hào).

5.【答案】A

【解析】作出函數(shù)"10,/=旭(-力|的圖象,

由圖象可知，兩個(gè)根一個(gè)小于—1,一個(gè)區(qū)間(一1,0)內(nèi)，不妨設(shè)王<一1,—1<%<0,則

V|X2

10=|lg(-x1)|=lg(-x,),10=|lg(-x2)|=-lg(-x2),

兩式相減得：愴(_玉)_(—愴(_9))=電(_玉)+炫(_9)=吆(中2)=1°”_10*<0,即0<不￡<1，

故選A.

6.【答案】D

【解析】由題意可知函數(shù)/(x)是周期為2的偶函數(shù)，結(jié)合當(dāng)1,0］時(shí)，/(x)=f,繪制函數(shù)

的圖象如下圖所示，

函數(shù)g(x)有4個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)“X)與函數(shù)y=log〃(x+2)的圖象在區(qū)間［一1,3］內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)，

結(jié)合函數(shù)圖象可得：當(dāng)x=3時(shí)，log“(3+2)Wl,求解對(duì)數(shù)不等式可得：a>5,即實(shí)數(shù)a的取值范圍

是［5,+8).本題選擇D選項(xiàng).

【名師點(diǎn)睛】由題意確定函數(shù)/(x)的性質(zhì)，然后將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題求

解實(shí)數(shù)?的取值范圍即可.函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

(1)直接求零點(diǎn)：令兀v)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間他，口上是連續(xù)不斷的曲線，且貝。)皿〃)<0,還必須結(jié)

合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不

同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

7.【答案】C

【解析】方程=履-g恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為y=/(x)的圖象與y=丘-;的圖象有四

個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖所示,

y

直線y=—g過(guò)定點(diǎn)(0,一口，且過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí)，函數(shù)y=/(x)的圖象與)；=依-;的圖象有三個(gè)不

----0<

同的交點(diǎn)，此時(shí)％=?—=-；

0-12

設(shè)直線y="一，與y=lnx(x>1)切于點(diǎn)(天，叫))，則過(guò)該切點(diǎn)的切線方程為y-1叫=—(x-x0),

2%

把點(diǎn)(0,—；)代入切線方程，可得一g-ln/=-l,解得』=血，所以切點(diǎn)為(五,；)，則切線的斜

率為。=逅，

Vee

所以方程/(%)=履-；恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是生)，故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了根的存在性與根的個(gè)數(shù)的判定問(wèn)題，其中把方程/(》)=履-g恰有四個(gè)

不相等的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為y=/(x)的圖象與y="-g的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象求解是

解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

8.【答案】7

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，f(x)=simix,所以

/(())=0,./(-1)=-/(1)=C,又周期為3,如圖所示，畫出函數(shù)“X)的函數(shù)圖象,

由圖象可知，在區(qū)間［0,6］上的零點(diǎn)為0,1,2,3,4,5,6,所以共有7個(gè)零點(diǎn).

【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象、周期函數(shù)、奇函數(shù)和零點(diǎn)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象,

利用圖象來(lái)判定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于難題.根據(jù)定義域?yàn)镽和奇函數(shù)的定義可得/(0)=0,利用周期為3和

xe(0,|-時(shí)，/(x)=sin7Lr可畫出函數(shù)圖象

,根據(jù)圖象判定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

9.【答案】M,0

【解析】作出函數(shù)y=/(力的圖象，如圖所示,

m＜Q,即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

【名師點(diǎn)睛】作出函數(shù)y=/(x)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象,即可求解.本題主要考查/函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

的判定，其中解答中把函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象求解是

解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想方法，以及數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用.

10.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)0＜。＜1；(3)見(jiàn)解析.

【解析】⑴/（-1）=0,

。一〃2+加一1=0,

..Q=1,

/./（x）=x2+mx+m-\,

A=m2—4（m-1）=（m-2）2,

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，A=0,函數(shù)/（x）有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)加。2時(shí)，△＞（）,函數(shù)/（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

（2）已知。w0,則A=/??—4〃（加一1）＞。對(duì)于機(jī)￡R恒成立，即m2-4am+4a＞0恒成立，

/.△'=16/-16a＜0,從而解得0＜。＜1.

故實(shí)數(shù)Q的取值范圍是（0』）.

⑶設(shè)g（x）=〃x）再）+/（巧）］，

則/（%）=〃％）-J［/（再）+/（丐）］=;［/（%）-〃為）］,

g（巧）=〃巧）-;［〃再）+/（巧）］=1［/（巧）-

不）工/（巧），

二g（%）名色）=［/（%）-〃引了＜0,

二g（x）=0在區(qū)間（冷巧）上有實(shí)數(shù)根，即方程〃X）=；［〃再）+/（吃）］在區(qū)間（冷巧）上有實(shí)數(shù)根.

【思路點(diǎn)撥】（1）利用判別式判定二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用判別式處理即可；

（3）利用零點(diǎn)的定義，將方程/（x）=g［/（xj+/（w）］在區(qū)間（玉,工2）上有實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)

g（x）=〃x）_；［/（%）+/（%）］在區(qū)間（不々）上有零點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可以證明.

【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：

（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

直通高考

-----------

1.【答案】C

【解析】函數(shù)/(x)的零點(diǎn)滿足f—2x=—a(ei+e-Ai),

設(shè)g(x)=el+,則g'(x)=e*T—e-+i=xl，

ee

當(dāng)g'(x)=O時(shí)，x=l；當(dāng)x<l時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值，為g(l)=2.

設(shè)〃(力=￡-2%,當(dāng)尤=1時(shí)，函數(shù)〃(x)取得最小值，為-1,

若-。>0,函數(shù)/?(x)與函數(shù)-ag(x)沒(méi)有交點(diǎn)；

若一a<0,當(dāng)-ag(l)=〃⑴時(shí)，函數(shù)力(力和一ag(x)有一個(gè)交點(diǎn)，

即—ax2=—1,解得a=L故選C.

2

【名師點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：

(1)利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.

(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.

(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.

2.【答案】D

【解析】選項(xiàng)A：丁=111彳的定義域?yàn)?(),+8),故y=lnx不具備奇偶性，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：y=/+1是偶函數(shù)，但y=/+1=0無(wú)解，即不存在零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤;

選項(xiàng)C：y=sinx是奇函數(shù)，故C錯(cuò);

兀

選項(xiàng)D：y=cosx是偶函數(shù)，且丁=“)$》=0=>》=一+4兀，k&Z,故D項(xiàng)正確.

3.【答案】A

【解析】方法一：分別畫出函數(shù)/(x),g(x)的草圖，觀察發(fā)現(xiàn)有2個(gè)交點(diǎn).

方法二：當(dāng)x<0時(shí)，2-%>2,所以/(%)=2-國(guó)=2+%,/(2-力=/,此時(shí)函數(shù)〃%)一武力=

〃田+/(2-力-3=/+工一1的小于零的零點(diǎn)為工=—1±且；

2

當(dāng)0c2時(shí)，〃x)=2_|R=2-xJ(2-x)=2-12T=%，函數(shù)〃x)_g(x)=2_x+x_3=

-1無(wú)零點(diǎn)；

2