第53講立體幾何的綜合應(yīng)用1．(2016·新課標卷Ⅰ)如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA＝6，極點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E，連結(jié)PE并延伸交AB于點G.證明：G是AB的中點；在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及原因)，并求四周體PDEF的體積．證明：因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以AB⊥PD.因為D在平面PAB內(nèi)的正投影為E，所以AB⊥DE.因為PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，PA＝PB，所以G是AB的中點．在平面PAB內(nèi)，過點E作PB的平行線交PA于點F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影．原因以下：由已知可得

PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以

EF⊥PA，EF⊥PC.又PA∩PC＝P，所以

EF⊥平面

PAC，即點

F為

E在平面

PAC內(nèi)的正投影．連結(jié)CG，因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中點，所以D在CG上，故CD＝2CG.3由題設(shè)可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，21所以DE∥PC，所以PE＝3PG，DE＝3PC.由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝22.在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四周體的體積114＝××2×2×2＝.PDEFV3232．(2017·新課標卷Ⅱ)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面1ABCD，AB＝BC＝2AD,∠BAD＝∠ABC＝90°.證明：直線BC∥平面PAD；若△PCD的面積為27，求四棱錐P-ABCD的體積．在平面ABCD內(nèi)，因為∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD.如圖，取AD的中點M，連結(jié)PM，CM.1由AB＝BC＝2AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因為CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝2x，PM＝3x，PC＝PD＝2x.如圖，取CD的中點N，連結(jié)PN，則PN⊥CD，14所以PN＝2x.114因為△PCD的面積為27，所以2×2x×2x＝27，解得x＝－2(舍去)或x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝23.所以四棱錐-的體積122＋4×23＝43.＝×2PABCDV33．(2014·新課標卷Ⅰ)如圖，三棱柱-111中，側(cè)面11為菱形，1的中點為ABCABCBBCCBC11O，且AO⊥平面BBCC.證明：B1C⊥AB；若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．證明：連結(jié)BC1，則O為B1C與BC1的交點．因為側(cè)面BB1C1C為菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.因為AB?平面ABO，故B1C⊥AB.作OD⊥BC，垂足為D，連結(jié)AD.作OH⊥AD，垂足為H.因為BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD,0.n所以O(shè)H⊥BC.又OH⊥AD，所以O(shè)H⊥平面ABC.因為∠CBB1＝60°，所以△CBB1為等邊三角形，3又BC＝1，可得OD＝4.1因為AC⊥AB1，所以O(shè)A＝2B1C＝2.227由OH·AD＝OD·OA，且AD＝OD＋OA＝4，21得OH＝.14又O為B1C的中點，所以點B到平面ABC的距離為21.111121故三棱柱ABC-ABC的高為7.4．(2017·新課標卷Ⅲ)如圖，四周體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.證明：AC⊥BD；已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四周體ABCE與四周體ACDE的體積比．如圖，取AC的中點O，連結(jié)DO，BO.因為AD＝CD，所以AC⊥DO.又因為△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.BO∩DO＝O，進而AC⊥平面DOB，BD?平面DOB，故AC⊥BD.連結(jié)EO.由(1)及題設(shè)知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.222在Rt△AOB中，BO＋AO＝AB.222222又AB＝BD，所以BO＋DO＝BO＋AO＝AB＝BD，故∠DOB＝90°.1由題設(shè)知△AEC為直角三角形，所以EO＝2AC.又△ABC是正三角形，所以AC＝AB，1又AB＝B