第八章圖像幾何變換的基本理論第一頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D像的幾何變換是在不改變內(nèi)容的前提下對(duì)圖像像素進(jìn)行空間幾何變換的一種處理方式，它主要包括圖像的平移變換、鏡像變換、圖像的轉(zhuǎn)置、縮放和旋轉(zhuǎn)等內(nèi)容。第二頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日8.1圖像幾何變換的基本理論

本節(jié)對(duì)圖像幾何變換的概念及相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單概述，內(nèi)容包括幾何變換的映射關(guān)系及對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表示法。第三頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日8.1.1圖像幾何變換概述

圖像幾何變換用于改變圖像中像素與像素之間的空間關(guān)系，從而重構(gòu)圖像的空間結(jié)構(gòu)，達(dá)到處理圖像的目的。簡(jiǎn)而言之，圖像幾何變換就是建立一種源圖像像素與變換后的圖像像素之間的映射關(guān)系。通過(guò)這種映射關(guān)系能夠知道源圖像任意像素點(diǎn)變換后的坐標(biāo)，或者變換后的圖像像素在源圖像的坐標(biāo)位置等。第四頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)學(xué)公式描述如下：其中

表示輸出圖像像素的坐標(biāo)，表示輸入圖像像素的坐標(biāo)。表示兩種映射關(guān)系，它們通過(guò)輸入的來(lái)確定相應(yīng)的。第五頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日映射關(guān)系可以是線性關(guān)系，如：也可以是多項(xiàng)式關(guān)系，如：第六頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日從上述的映射關(guān)系中，可以看到，只要給出圖像上任意像素的坐標(biāo)，都能通過(guò)對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系獲得幾何變換后的像素坐標(biāo)位置。這種將輸入映射到輸出的過(guò)程稱為“向前映射”。通過(guò)向前映射能夠確定源圖像在經(jīng)過(guò)變換后各像素的坐標(biāo)。由于多個(gè)輸入坐標(biāo)可以對(duì)應(yīng)同一個(gè)輸出坐標(biāo)，所以向前映射是一個(gè)滿射。第七頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日在使用向前映射處理圖像的幾何變換時(shí)需要解決下面的問(wèn)題：１、浮點(diǎn)數(shù)坐標(biāo)對(duì)于數(shù)字圖像而言，像素坐標(biāo)是用離散型的非負(fù)正數(shù)表示的，但是通過(guò)映射函數(shù)變換后可能產(chǎn)生浮點(diǎn)數(shù)的坐標(biāo)。如：源圖像（3,3）點(diǎn)在縮小一倍后將變成（1.5,1.5），這是一個(gè)無(wú)效的坐標(biāo)，可以用插值算法來(lái)處理在幾何變換中出現(xiàn)的浮點(diǎn)坐標(biāo)像素，它可以通過(guò)一系列算法獲得浮點(diǎn)坐標(biāo)像素的近似值。第八頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日2、映射不完全和映射重疊（1）映射不完全：指輸入圖像的像素總數(shù)小于輸出圖像的像素總數(shù)，這會(huì)使得輸出圖像的部分像素與原始圖像沒(méi)有映射關(guān)系，如圖8-1所示。（0,0）（0,1）（1,0）（1,1）放大一倍（0,0）（0,1）（0,2）（0,3）（1,0）（1,1）（1,2）（1,3）（2,0）（2,1）（2,2）（2,3）（3,0）（3,1）（3,2）（3,3）輸入圖像像素坐標(biāo)輸出圖像像素坐標(biāo)圖8-1映射不完全一個(gè)2×2的圖像被放大一倍后大小變?yōu)?×4。輸入圖像的像素總數(shù)為4，經(jīng)過(guò)向前映射建立關(guān)聯(lián)的像素坐標(biāo)只有4個(gè)（圖中陰影部分）。而輸出圖像的像素總數(shù)為16，所以有12個(gè)像素沒(méi)有有效值，這就是不完全映射不完全。第九頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日（2）映射重疊：如果將圖8-1中的輸入圖像和輸出圖像交換，就會(huì)出現(xiàn)新的問(wèn)題——映射重疊，如圖8-2所示。（0,0）（0,1）（0,2）（0,3）（1,0）（1,1）（1,2）（1,3）（2,0）（2,1）（2,2）（2,3）（3,0）（3,1）（3,2）（3,3）輸入圖像像素坐標(biāo)縮小一倍（0,0）（0,1）（1,0）（1,1）輸入圖像像素坐標(biāo)

源圖像像素坐標(biāo)為（0,0）、（0,1）、（1,0）、（1,1）經(jīng)過(guò)縮小一倍后對(duì)應(yīng)的輸出圖像坐標(biāo)分別為（0,0）、（0,0.5）、（0.5,0）、（0.5,0.5），取整后坐標(biāo)都為（0,0）。那么輸出圖像坐標(biāo)為（0,0）的像素值究竟由源圖像的哪個(gè)像素決定呢？同樣，輸出圖像的其他3個(gè)像素值也存在同樣的問(wèn)題。第十頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日向后映射：數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其中

表示輸出圖像像素的坐標(biāo)，表示輸入圖像像素的坐標(biāo)。表示兩種映射關(guān)系。向后映射與向前映射剛好相反，它是由輸出圖像像素坐標(biāo)來(lái)推算該像素在源圖像的坐標(biāo)位置。這樣，輸出圖像的每個(gè)像素都能通過(guò)映射找到對(duì)應(yīng)的位置，而不會(huì)產(chǎn)生映射不完全和映射重疊的現(xiàn)象了。在實(shí)際處理中，基本是運(yùn)用向后映射來(lái)進(jìn)行圖像的幾何變換的。第十一頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日運(yùn)用：向前映射：主要運(yùn)用在一些不改變圖像大小的幾何變換中。向后映射：主要運(yùn)用在圖像的旋轉(zhuǎn)和縮放中，這些幾何變換都會(huì)改變圖像的大小。第十二頁(yè)，共十四頁(yè)，2022年，8月28日8.1.2圖像幾何變換的數(shù)學(xué)描述本章的幾何變換全部采用統(tǒng)一的矩陣表示法。向前映射的基本公式：其中

表示輸出圖像像素的坐標(biāo)，