立體幾何基礎(chǔ)題題庫（有詳細答案）1、二面角是直二面角，，設(shè)直線與所成的角分別為∠1和∠2，則（A）∠1+∠2=900（B）∠1+∠2≥900（C）∠1+∠2≤900（D）∠1+∠2＜900解析：C如圖所示作輔助線，分別作兩條與二面角的交線垂直的線，則∠1和∠2分別為直線AB與平面所成的角。根據(jù)最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角2.下列各圖是正方體或正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點中不共面的一個圖是（A）（B）（C）（D）D解析：A項：底面對應(yīng)的中線，中線平行QS，PQRS是個梯形B項：如圖C項：是個平行四邊形D項：是異面直線。3.有三個平面，β，γ，下列命題中正確的是（A）若，β，γ兩兩相交，則有三條交線（B）若⊥β，⊥γ，則β∥γ（C）若⊥γ，β∩=a，β∩γ=b，則a⊥b（D）若∥β，β∩γ=，則∩γ=D解析：A項：如正方體的一個角，三個平面相交，只有一條交線。B項：如正方體的一個角，三個平面互相垂直，卻兩兩相交。C項：如圖4.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1的側(cè)面AB1內(nèi)有一動點P到直線AB與直線B1C1的距離相等，則動點C解析：平面AB1，如圖：P點到定點B的距離與到定直線AB的距離相等，建立坐標系畫圖時可以以點B1B的中點為原點建立坐標系。5.在正方體ABCD－A1B1C1D1中與AD1成600（A）4條（B）6條（C）8條（D）10條C解析：如圖這樣的直線有4條，另外，這樣的直線也有4條，共8條。6.設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足，，，則△BCD是（A）鈍角三角形（B）直角三角形（C）銳角三角形（D）不確定C解析：假設(shè)AB為a，AD為b，AC為c，且則，BD=，CD=，BC=如圖則BD為最長邊，根據(jù)余弦定理最大角為銳角。所以△BCD是銳角三角形。7.設(shè)a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列四個命題 （）①若 ②若③ ④其中正確的命題的個數(shù)是 （） A．0個 B．1個 C．2個 D．3個B解析：注意①中b可能在α上；③中a可能在α上；④中b圖所示，已知正四棱錐S—ABCD側(cè)棱長為，底面邊長為，E是SA的中點，則異面直線BE與SC所成角的大小為（）A．90° B．60°C．45° D．30°B解析：平移SC到，運用余弦定理可算得9.對于平面M與平面N,有下列條件:

①M、N都垂直于平面Q;

②M、N都平行于平面Q;③M內(nèi)不共線的三點到N的距離相等;

④

l,M內(nèi)的兩條直線,

且l

2 已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，則A1B與AC所成的角為（A）450（B）600（C）900（D）1200C解析：作CD⊥AB于D，作C1D1⊥A1B1于D1，連B1D、AD1，易知ADB1D1是平行四邊形，由三垂線定理得A1B⊥AC1，選C。11.正四面體棱長為1，其外接球的表面積為A.π B.πC.π π解析：正四面體的中心到底面的距離為高的1/4。（可連成四個小棱錐得證12.設(shè)有如下三個命題：甲：相交直線、m都在平面α內(nèi)，并且都不在平面β內(nèi)；乙：直線、m中至少有一條與平面β相交；丙：平面α與平面β相交．當甲成立時，A．乙是丙的充分而不必要條件B．乙是丙的必要而不充分條件C．乙是丙的充分且必要條件D．乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件解析：當甲成立，即“相交直線、m都在平面α內(nèi)，并且都不在平面β內(nèi)”時，若“、m中至少有一條與平面β相交”，則“平面α與平面β相交．”成立；若“平面α與平面β相交”，則“、m中至少有一條與平面β相交”也成立．選（C）．13.已知直線m、n及平面，其中m∥n，那么在平面內(nèi)到兩條直線m、n距離相等的點的集合可能是：（1）一條直線；（2）一個平面；（3）一個點；（4）空集．其中正確的是．解析：（1）成立，如m、n都在平面內(nèi)，則其對稱軸符合條件；（2）成立，m、n在平面的同一側(cè)，且它們到的距離相等，則平面為所求，（4）成立，當m、n所在的平面與平面垂直時，平面內(nèi)不存在到m、n距離相等的點14.空間三條直線互相平行,由每兩條平行線確定一個平面,則可確定平面的個數(shù)為（） A．3 B．1或2 C．1或3 D解析：C如三棱柱的三個側(cè)面。15．若為異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關(guān)系是 （） A．相交 B．異面 C．平行

D．異面或相交解析：D如正方體的棱長。16．在正方體A1B1C1D1—ABCD中，AC與B1D所成的角的大小為 （）A． B． C． D．解析：DB1D在平面AC上的射影BD與AC垂直，根據(jù)三垂線定理可得。17．如圖，點P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是（）解析：CA，B選項中的圖形是平行四邊形，而D選項中可見圖：18．如圖，是一個無蓋正方體盒子的表面展開圖，A、B、C為其上的三個點，則在正方體盒子中，∠ABC等于 （） A．45°B．60° C．90°D．120°解析：B如圖★右圖是一個正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題： ①AB與CD所在直線垂直； ②CD與EF所在直線平行 ③AB與MN所在直線成60°角； ④MN與EF所在直線異面 其中正確命題的序號是 （） A．①③ B．①④ C．②③ D．③④解析：D19．線段OA，OB，OC不共面，AOB=BOC=COA=60，OA=1，OB=2，OC=3，則△ABC是 （）A．等邊三角形 B非等邊的等腰三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形解析：B．設(shè)AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知：x2=12+32-3=7，y2=12+22-2=3，z2=22+32-6=7?！唷鰽BC是不等邊的等腰三角形，選（B）．20．若a，b，l是兩兩異面的直線，a與b所成的角是，l與a、l與b所成的角都是，則的取值范圍是 （） A．[] B．[] C．[] D．[]解析：D解當l與異面直線a，b所成角的平分線平行或重合時，a取得最小值，當l與a、b的公垂線平行時，a取得最大值，故選（D）．21.小明想利用樹影測樹高，他在某一時刻測得長為1m的竹竿影長0.9m，但當他馬上測樹高時,因樹靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墻如圖所示.他測得留在地面部分的影子長2.7m,留在墻壁部分的影高1.2m,求樹高的高度（太陽光線可看作為平行光線）_______.4．2米解析：樹高為AB，影長為BE，CD為樹留在墻上的影高，CE=米，樹影長BE=米，樹高AB=BE=米。22．如圖,正四面體（空間四邊形的四條邊長及兩對角線的長都相等）中,分別是棱的中點,則和所成的角的大小是________.解析：設(shè)各棱長為2，則EF=，取AB的中點為M，即23．OX，OY，OZ是空間交于同一點O的互相垂直的三條直線，點P到這三條直線的距離分別為3，4，7，則OP長為_______.解析：在長方體OXAY—ZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三條互相垂直的三條直線。又PZOZ，PYOY，PXOX，有OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9，OY2+OZ2=16，得OX2+OY2+OZ2=37，OP=．24．設(shè)直線a上有6個點，直線b上有9個點，則這15個點，能確定_____個不同的平面.解析：當直線a，b共面時，可確定一個平面；當直線a，b異面時，直線a與b上9個點可確定9個不同平面，直線b與a上6個點可確定6個不同平面，所以一點可以確定15個不同的平面．25.在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點．求證：EF和AD為異面直線.解析：假設(shè)EF和AD在同一平面內(nèi)，…（2分），則A，B，E，F(xiàn)；……（4分）又A，EAB，∴AB，∴B，……（6分）同理C……（8分）故A，B，C，D，這與ABCD是空間四邊形矛盾?！郋F和AD為異面直線．26.在空間四邊形ABCD中，E，H分別是AB，AD的中點，F(xiàn)，G分別是CB，CD的中點，若AC+BD=a，ACBD=b，求.解析：四邊形EFGH是平行四邊形，…………（4分）=2=27.如圖，在三角形⊿ABC中，∠ACB=90o，AC=b,BC=a,P是⊿ABC所在平面外一點，PB⊥AB，M是PA的中點，AB⊥MC，求異面直MC與PB間的距離.解析：作MN已知長方體ABCD—A1B1C1D1中,A1A=AB，E、F分別是BD1和AD中點. （1）求異面直線CD1、EF所成的角； （2）證明EF是異面直線AD和BD1的公垂線.（1）解析：∵在平行四邊形中，E也是的中點，∴，（2分）∴兩相交直線D1C與CD1所成的角即異面直線CD1與EF所成的角.A1A=AB，長方體的側(cè)面都是正方形，∴D1CCD1∴異面直線CD1、EF所成的角為90°.（7分）（2）證：設(shè)AB=AA1=a,∵D1F=∴EF⊥BD1（9分）由平行四邊形，知E也是的中點，且點E是長方體ABCD—A1B1C1D1的對稱中心，（12分）∴EA=ED，∴EF⊥AD，又EF⊥BD1，∴EF是異面直線BD1與AD的公垂線.（14分）29.⊿ABC是邊長為2的正三角形，在⊿ABC所在平面外有一點P，PB=PC=，PA=，延長BP至D，使BD=，E是BC的中點，求AE和CD所成角的大小和這兩條直線間的距離.解析：分別連接PE和CD，可證PE在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，M，N分別是正方體的棱AB，BC，的中點，試證：E，F(xiàn)，G，H，M，N六點共面．解析：∵EN個互不重合的平面把空間分成六個部份時，它們的交線有 （） A．1條 B．2條 C．3條 D．1條或2條D解析：分類：1）當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，有兩條交線；2）當三個平面交于一條直線時，有一條交線，故選D32．兩兩相交的四條直線確定平面的個數(shù)最多的是 （） A．4個 B．5個 C．6個 D．8個解析：C如四棱錐的四個側(cè)面，個。33.．在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點如果EF與HG交于點M，則 （） A．M一定在直線AC上 B．M一定在直線BD上 C．M可能在AC上，也可能在BD上 D．M不在AC上，也不在BD上解析：∵平面ABC∩平面ACD=AC，先證M∈平面ABC，M∈平面ACD，從而M∈ACA34.．用一個平面去截正方體。其截面是一個多邊形，則這個多邊形的邊數(shù)最多是.解析：6條35.已知：本題主要考查用平面公理和推論證明共面問題的方法.解析：∵PQ∥a,∴PQ與a確定一個平面36.）本題主要考查用平面公理和推論證明共線問題的方法解析：∵A、B、C是不在同一直線上的三點∴過A、B、C有一個平面又37.已知：平面求證：b、c是異面直線解析：反證法：若b與c不是異面直線，則b∥c或b與c相交38.在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E、F分別是AB、CD的中點，EF=，求AD與BC所成角的大?。ū绢}考查中位線法求異面二直線所成角）解析：取BD中點M，連結(jié)EM、MF，則39.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點，求異面直線CM與D1N所成角的正弦值.(14分)（本題考查平移法，補形法等求異面二直線所成角）解析：取DD1中點G，連結(jié)BG，MG，MB，GC得矩形MBCG，記MC∩BG=0則BG和MC所成的角為異面直線CM與D1N所成的角.而CM與D1N所成角的正弦值為40.如圖，P是正角形ABC所在平面外一點，M、N分別是AB和PC的中點，且PA=PB=PC=AB=a。（1）求證：MN是AB和PC的公垂線（2）求異面二直線AB和PC之間的距離解析：（1）連結(jié)AN，BN，∵△APC與△BPC是全等的正三角形，又N是PC的中點∴AN=BN又∵M是AB的中點，∴MN⊥AB同理可證MN⊥PC又∵MN∩AB=M，MN∩PC=N∴MN是AB和PC的公垂線。（2）在等腰在角形ANB中，即異面二直線AB和PC之間的距離為.41空間有四個點，如果其中任意三個點都不在同一條直線上，那么經(jīng)過其中三個點的平面

[

]A．可能有3個，也可能有2個B．可能有4個，也可能有3個C．可能有3個，也可能有1個D．可能有4個，也可能有1個解析：分類，第一類，四點共面，則有一個平面，第二類，四點不共面，因為沒有任何三點共線，則任何三點都確定一個平面，共有4個。.42.下列命題中正確的個數(shù)是

[

]①三角形是平面圖形②四邊形是平面圖形③四邊相等的四邊形是平面圖形④矩形一定是平面圖形A．1個B．2個C．3個D．4個解析：命題①是正確的，因為三角形的三個頂點不共線，所以這三點確定平面。命題②是錯誤，因平面四邊形中的一個頂點在平面的上、下方向稍作運動，就形成了空間四邊形。命題③也是錯誤，它是上一個命題中比較特殊的四邊形。命題④是正確的，因為矩形必須是平行四邊形，有一組對邊平行，則確定了一個平面。43.如果一條直線上有一個點不在平面上，則這條直線與這個平面的公共點最多有____1個。解析：如果有兩個，則直線就在平面內(nèi)，那么直線上的所有點都在這個平面內(nèi)，這就與已知有一個點不在平面上矛盾，所以這條直線與這個平面的公共點最多有一個。44.空間一條直線及不在這條直線上的兩個點，如果連結(jié)這兩點的直線與已知直線_______，則它們在同一平面內(nèi)。答案：相交或平行解析：根據(jù)推論2，推論3確定平面的條件。45.三角形、四邊形、正六邊形、圓，其中一定是平面圖形的有________3個。解析：三角形的三個頂點不在一條直線上，故可確定一個平面，三角形在這個平面內(nèi)；圓上任取三點一定不在一條直線上，這三點即確定一個平面，也確定了這個圓所在的平面，所以圓是平面圖形；而正六邊形內(nèi)接于圓，故正六邊形也是平面圖形；而四邊形就不一定是平面圖形了，它的四個頂點可以不在同一平面內(nèi)。46.三條平行直線可以確定平面_________個。答案：1個或3個解析：分類、一類三線共面，即確定一個平面，另一類三線不共面，每兩條確定一個，可確定3個。47.畫出滿足下列條件的圖形。(1)α∩β=1，aα，bβ，a∩b=A(2)α∩β=a，bβ，b∥a解析：如圖1-8-甲，1-8-乙48.經(jīng)過平面外兩點A，B和平面垂直的平面有幾個？解析：一個或無數(shù)多個。當A，B不垂直于平面時，只有一個。當A，B垂直于平面時，有無數(shù)多個。49.設(shè)空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點，若AB＝12，CD＝4，且四邊形EFGH的面積為12，求AB和CD所成的角.解析：由三角形中位線的性質(zhì)知，HG∥AB，HE∥CD，∴∠EHG就是異面直線AB和CD所成的角.∵

EFGH是平行四邊形，HG＝AB＝6，HE＝，CD＝2，∴

SEFGH＝HG·HE·sin∠EHG＝12sin∠EHG,∴12sin∠EHG＝12.∴

sin∠EHG＝,故∠EHG＝45°.∴

AB和CD所成的角為45°注：本例兩異面直線所成角在圖中已給，只需指出即可。50.點A是BCD所在平面外一點，AD=BC，E、F分別是AB、CD的中點，且EF=AD，求異面直線AD和BC所成的角。（如圖）解析：設(shè)G是AC中點，連接DG、FG。因D、F分別是AB、CD中點，故EG∥BC且EG=BC，F(xiàn)G∥AD，且FG=AD，由異面直線所成角定義可知EG與FG所成銳角或直角為異面直線AD、BC所成角，即∠EGF為所求。由BC=AD知EG=GF=AD，又EF=AD，由余弦定理可得cos∠EGF=0，即∠EGF=90°。注：本題的平移點是AC中點G，按定義過G分別作出了兩條異面直線的平行線，然后在△EFG中求角。通常在出現(xiàn)線段中點時，常取另一線段中點，以構(gòu)成中位線，既可用平行關(guān)系，又可用線段的倍半關(guān)系。51.已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分別為BC、AD的中點。

求：AM與CN所成的角的余弦值；

解析：(1)連接DM,過N作NE∥AM交DM于E，則∠CNE

為AM與CN所成的角。

∵N為AD的中點,NE∥AM省∴NE=AM且E為MD的中點。

設(shè)正四面體的棱長為1，則NC=·=且ME=MD=

在Rt△MEC中，CE2=ME2+CM2=+=∴cos∠CNE=,

又∵∠CNE∈(0,)

∴異面直線AM與CN所成角的余弦值為.注：1、本題的平移點是N，按定義作出了異面直線中一條的平行線，然后先在△CEN外計算CE、CN、EN長，再回到△CEN中求角。2、作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補角，在直觀圖中無法判定，只有通過解三角形后，根據(jù)這個角的余弦的正、負值來判定這個角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角（異面直線所成的角的鄰補角）。最后作答時，這個角的余弦值必須為正。52..如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E、F分別是BC、AD上的點，已知AB=4，CD=20，EF=7，。求異面直線AB與CD所成的角。解析：在BD上取一點G，使得，連結(jié)EG、FG在ΔBCD中，，故EG在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1與BD所成的角的余弦．解一：連AC，設(shè)AC∩BD=0，則O為AC中點，取C1C的中點F，連OF，則OF∥AC1且OF=AC1，所以∠FOB即為AC1與DB所成的角。在△FOB中，OB=，OF=，BE=，由余弦定理得cos∠OB==解二：取AC1中點O1，B1B中點G．在△C1O1G中，∠C1O1解三：．延長CD到E，使ED=DC．則ABDE為平行四邊形．AE∥BD，所以∠EAC1即為AC1與BD所成的角．連EC1，在△AEC1中，AE=，AC1=，C1E=由余弦定理，得cos∠EAC1==＜0所以∠EAC1為鈍角．根據(jù)異面直線所成角的定義，AC1與BD所成的角的余弦為54.已知AO是平面的斜線，A是斜足，OB垂直，B為垂足，則直線AB是斜線在平面內(nèi)的射影，設(shè)AC是內(nèi)的任一條直線，解析：設(shè)AO與AB所成角為，AB與AC所成角為，AO與AC所成角為，則有。在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=，，求異面直線SC與AB所成角的大小。（略去了該題的1,2問）由SA⊥平面ABC知，AC為SC在平面ABC內(nèi)的射影，設(shè)異面直線SC與AB所成角為，則，由得∴，，∴，即異面直線SC與AB所成角為。55.已知平行六面體的底面ABCD是菱形，且，證明。（略去了該題的2，3問）解析：設(shè)在平面ABCD內(nèi)射影為H，則CH為在平面ABCD內(nèi)的射影，∴，∴，由題意，∴。又∵∴，從而CH為的平分線，又四邊形ABCD是菱形，∴∴與BD所成角為，即56..在正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，求異面直線AE與CF所成角的大小。解析：連接BF、EF，易證AD⊥平面BFC，∴EF為AE在平面BFC內(nèi)的射影，設(shè)AE與CF所成角為，∴，設(shè)正四面體的棱長為，則，顯然EF⊥BC，∴，∴，，∴，即AE∴與CF所成角為。57.三棱柱，平面⊥平面OAB，，且，求異面直線與所成角的大小，（略去了該題的1問）解析：在平面內(nèi)作于C，連，由平面平面AOB，知，AO⊥平面，∴，又，∴BC⊥平面，∴為在平面內(nèi)的射影。設(shè)與所成角為，與所成角為，則，由題意易求得，∴，在矩形中易求得與所成角的余弦值：，∴，即與所成角為。58.已知異面直線與所成的角為，P為空間一定點，則過點P且與，所成的角均是的直線有且只有（）A、1條B、2條C、3條D、4條解析：過空間一點P作∥，∥，則由異面直線所成角的定義知：與的交角為，過P與，成等角的直線與，亦成等角，設(shè)，確定平面，，交角的平分線為，則過且與垂直的平面（設(shè)為）內(nèi)的任一直線與，成等角（證明從略），由上述結(jié)論知：與，所成角大于或等于與，所成角，這樣在內(nèi)的兩側(cè)與，成角的直線各有一條，共兩條。在，相交的另一個角內(nèi)，同樣可以作過角平分線且與垂直的平面，由上述結(jié)論知，內(nèi)任一直線與，所成角大于或等于，所以內(nèi)沒有符合要求的直線，因此過P與，成的直線有且只有2條，故選（B）59.垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.異面D.以上都有可能解析：D60.l1、l2是兩條異面直線，直線m1、m2與l1、l2都相交，則m1、m2的位置關(guān)系是（）A.異面或平行B.相交C.異面D.相交或異面解析：D61.在正方體ABCD-A’B’C’D’中,與棱AA’異面的直線共有幾條（）解析：A62.在正方體ABCD-A’B’C’D’中12條棱中能組成異面直線的總對數(shù)是（）對對對對解析：B 棱AA’有4條與之異面,所以,所有棱能組成4×12=48對,但每一對都重復(fù)計算一次,共有24對.63..正方體ABCD-A’B’C’D’中,異面直線CD’和BC’所成的角的度數(shù)是（）°°°°解析：B ∠AD’C=60°即為異面直線CD’和BC’所成的角的度數(shù)為60°64.異面直線a、b，a⊥b，c與a成30°角，則c與b成角的范圍是（）A.B.C.D.解A 直線c在位置c2時,它與b成角的最大值為90°,直線c在c1位置時,它與b成角的最小值是60°65..如圖，空間四邊形ABCD的各邊及對角線長都是1，點M在邊AB上運動、點Q在邊CD上運動，則P、Q的最短距離為（）解析：B當M,N分別為中點時。因為AB,CD為異面直線，所以M,N的最短距離就是異面直線AB,CD的距離為最短。連接BN,AN則CD⊥BN,CD⊥AN且AN=BN,所以NM⊥AB。同理，連接CM,MD可得MN⊥CD。所以MN為AB,CD的公垂線。因為AN=BN＝所以在RT△BMN中，MN＝求異面直線的距離通常利用定義來求，它包括兩個步驟:先證一條線段同時與兩異面直線相交垂直；再利用數(shù)量關(guān)系求解。在做綜合題時往往大家只重視第二步，而忽略第一步。66.空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點，EF＝√3，則AD,BC所成的角為（）°°°°解B注：考察異面直線所成角的概念，范圍及求法，需注意的是，異面直線所成的角不能是鈍角，而利用平行關(guān)系構(gòu)造可求解的三角形，可能是鈍角三角形，望大家注意。同時求角的大小是先證明再求解這一基本過程。67.直線a是平面α的斜線，b在平α內(nèi)，已知a與b成60°的角，且b與a在平α內(nèi)的射影成45°角時，a與α所成的角是（）°°°°解A68.m和n是分別在兩個互相垂直的面α、β內(nèi)的兩條直線，α與β交于l，m和n與l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置關(guān)系是

A.可能垂直，但不可能平行

B.可能平行，但不可能垂直

C.可能垂直，也可能平行

D.既不可能垂直，也不可能平行解析：這種結(jié)構(gòu)的題目，常常這樣處理，先假設(shè)某位置關(guān)系成立，在此基礎(chǔ)上進行推理，若無矛盾，且推理過程可逆，就肯定這個假設(shè)；若有矛盾，就否定這個假設(shè)。

設(shè)m

設(shè)m⊥n，在β內(nèi)作直線α⊥l,

∵α⊥β,

∴a⊥α,

∴m⊥a.

又由于n和a共面且相交（若a

綜上所述，應(yīng)選（D）.69.如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，E、F分別是AD、DD1的中點，則面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于

解析：為了作出二面角E-BC1從圖形特點看，應(yīng)當過E（或F）作面BCC1的垂線.

解析：過E作EH⊥BC，垂足為H.過H作HG⊥BC1，垂足為G.連EG.

∵面ABCD⊥面BCC1，而EH⊥BC

∵EH⊥面BEC1，

EG是面BCC1的斜線，HG是斜線EG在面BCC1內(nèi)的射影.

∵HG⊥BC1，

∴EG⊥BC1，

∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角。

在Rt△BCC1中：sin∠C1BC==

在Rt△BHG中：sin∠C1BC=

∴HG=（設(shè)底面邊長為1）.

而EH=1，

在Rt△EHG中：tg∠EGH=

∴∠EGH=arctg

故二面角E-BC1-C等于arctg. 70.將邊長為1的正方形ABCD，沿對角線AC折起，使BD=.則三棱錐D-ABC的體積為

解析：設(shè)AC、BD交于O點，則BO⊥AC

且DO⊥AC，在折起后，這個垂直關(guān)系不變，因此∠BOD是二面角B-AC-D的平面角.

由于△DOB中三邊長已知，所以可求出∠BOD：

這是問題的一方面，另一方面為了求體積，應(yīng)求出高，這個高實際上是△DOB中，OB邊上的高DE，理由是：

∵DE⊥OB

∴DE⊥面ABC.

由cos∠DOB=，知sin∠DOE=

∴DE=

∴

應(yīng)選（B）71.球面上有三個點A、B、C.A和B，A和C間的球面距離等于大圓周長的.B和C間的球面距離等于大圓周長的.如果球的半徑是R，那么球心到截面ABC的距離等于

解析：本題考查球面距離的概念及空間想像能力.

如圖所示，圓O是球的大圓，且大圓所在平面與面ABC垂直，其中弦EF是過A、B、C的小圓的直徑，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距離，OE是球的半徑，因此，欲求OD，需先求出截面圓ABC的半徑.

下一個圖是過A、B、C的小圓.AB、AC、CB是每兩點之間的直線段.它們的長度要分別在△AOB、△AOC、△COB中求得（O是球心）.由于A、B間球面距離是大圓周長的，所以∠AOB=×2π=，同理∠AOC=，∠BOC=. ∴|AB|=R，|AC|=R，|BC|=.

在△ABC中，由于AB2+AC2=BC2.

∴∠BAC=90°,BC是小圓ABC的直徑.

∴|ED|=

從而|OD|=.

故應(yīng)選B.

72.如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，該圖中，互相垂直的面有

對

對

對

對

答案（D）

解析：要找到一個好的工作方法，使得計數(shù)時不至于產(chǎn)生遺漏

73.ABCD是各條棱長都相等的三棱錐.M是△ABC的垂心，那么AB和DM所成的角等于______

解析：90°連CM交AB于N，連DN，易知N是AB中點，AB⊥CN，AB⊥DN.74.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.（1）求證：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求證MN⊥面PCD.(12分)解析：75.設(shè)P、Q是單位正方體AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1 如圖：（1）證明：PQ∥平面AA1B1B； （2）求線段PQ的長。（12分）評注：本題提供了兩種解法，方法一，通過平行四邊形的對邊平行得到“線線平行”，從而證得“線面平行”；方法二，通過三角形的中位線與底邊平行得到“線線平行”，從而證得“線面平行”。本題證法較多。76.如圖，已知 求證a∥l解析：77.．如圖，ABCD為正方形，過A作線段SA⊥面ABCD，又過A作與SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求證：E、H分別是點A在直線SB和SD上的射影。（12分）解析：78.在正方體ABCD—A1B1C1D1，G為CC1 求證：A1O⊥平面GBD（14分）解析：79.如圖，已知a、b是兩條相互垂直的異面直線，其公垂線段AB的長為定值m，定長為n（n>m）的線段PQ的兩個端點分別在a、b上移動，M、N分別是AB、PQ的中點。 （1）求證：AB⊥MN； （2）求證：MN的長是定值（14分）解析：80.

已知：平面與平面相交于直線a，直線b與、都平行，求證：b∥a．證明：在a上取點P，b和P確定平面設(shè)與交于，與交于∵b∥且b∥∴b∥且b∥∴與重合，而，，實際上是、、a三線重合，∴a∥b．81.有三個幾何事實(a，b表示直線，表示平面)，①a∥b，②a∥，③b∥．其中，a，b在面外．用其中兩個事實作為條件，另一個事實作為結(jié)論，可以構(gòu)造幾個命題？請用文字語言敘述這些命題，并判斷真?zhèn)危_的給出證明，錯誤的舉出反例．解析：Ⅰ：a∥ba∥b∥b在外Ⅱ：a∥bb∥a∥a在外Ⅰ、Ⅱ是同一個命題：兩條平行直線都在一個平面外，若其中一條與平面平行，則另一條也與該平面平行．證明：過a作平面與交于∵a∥∵a∥而a∥b∴b∥且b在外，在內(nèi)∴b∥．Ⅲ：a∥a∥bb∥命題：平行于同一個平面的兩條直線平行，這是錯的，如右圖82.兩個平面同時垂直于一條直線，則兩個平面平行．已知：、是兩個平面，直線l⊥，l⊥，垂足分別為A、B．求證：∥思路1：根據(jù)判定定理證．證法1：過l作平面，∩＝AC，∩＝BD，過l作平面，∩＝AE，∩＝BF，l⊥l⊥ACl⊥l⊥BDAC∥BDAC∥，l、AC、BD共面同理AE∥，AC∩AE≠，AC，AE，故∥．思路2：根據(jù)面面平行的定義，用反證法．證法2：設(shè)、有公共點P則l與P確定平面，且∩＝AP，∩＝BP．l⊥l⊥APl⊥l⊥BPl、AP、BP共面，于是在同一平面內(nèi)過一點有兩條直線AP、BP都與l垂直，這是不可能的．故、不能有公共點，∴∥．83.已知：a、b是異面直線，a平面，b平面，a∥，b∥．求證：∥．證法1：在a上任取點P，顯然P∈b．b′于是b和點P確定平面b′且與有公共點P∴∩＝b′且b′和a交于P，∵b∥，∴b∥b′∴b′∥而a∥這樣內(nèi)相交直線a和b′都平行于∴∥．證法2：設(shè)AB是a、b的公垂線段，過AB和b作平面，∩＝b′，過AB和a作平面，∩＝a′．a(chǎn)∥a∥a′b∥b∥b′∴AB⊥aAB⊥a′，AB⊥bAB⊥b′于是AB⊥且AB⊥，∴∥．84.已知a、b、c是三條不重合的直線，α、β、r是三個不重合的平面，下面六個命題：①a∥c，b∥ca∥b；②a∥r，b∥ra∥b；③α∥c，β∥cα∥β；④α∥r，β∥rα∥β；⑤a∥c，α∥ca∥α；⑥a∥r，α∥ra∥α．其中正確的命題是 ()(A)①④ (B)①④⑤(C)①②③ (D)①⑤⑥解析：由公理4“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”可知命題①正確；若兩條不重合的直線同平行于一個平面，它們可能平行，也可能異面還可能相交，因此命題②錯誤；平行于同一條直線的兩個不重合的平面可能平行，也可能相交，命題③錯誤；平行于同一平面的兩個不重合的平面一定平行，命題④正確；若一條直線和一個平面分別平行于同一條直線或同一個平面，那么這條直線與這個平面或平行，或直線在該平面內(nèi)，因此命題⑤、⑥都是錯的，答案選A．P85.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分別是A1B1，AB的中點，P點在線段B1C上，則NP與平面AMC1P(A)垂直(B)平行(C)相交但不垂直(D)要依P點的位置而定解析：由題設(shè)知B1M∥AN且B1M=四邊形ANB1M故B1N∥AM，B1N∥AMC1平面．又C1M∥CN，得CN∥平面AMC1，則平面B1NC∥AMC1，NP平面B1NC，∴NP∥平面AMC1．答案選B．86.已知：正方體ABCD－A1B1C1D1棱長為a(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C(2)求平面A1BD和平面B1D1C證明：(1)在正方體ABCD－A1B1C1D1∵BB1平行且等于DD1，∴四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴BD∥B1D1，∴BD∥平面B1D1C同理A1B∥平面B1D1C又A1B∩BD=B，∴平面A1BD∥平面B1D1解：(2)連AC1交平面A1BD于M，交平面B1D1C于NAC是AC1在平面AC上的射影，又AC⊥BD，∴AC1⊥BD，同理可證，AC1⊥A1B，∴AC1⊥平面A1BD，即MN⊥平面A1BD，同理可證MN⊥平面B1D1C∴MN的長是平面A1BD到平面B1D1C設(shè)AC、BD交于E，則平面A1BD與平面A1C交于直線A1E∵M∈平面A1BD，M∈AC1平面A1C，∴M∈A1E．同理N∈CF．在矩形AA1C1C，∴．評述：當空間圖形較為復(fù)雜時，可以分解圖形，把其中的平面圖形折出分析，利于清楚地觀察出平面上各種線面的位置關(guān)系．證明面面平行，主要是在其中一個平面內(nèi)找出兩條與另一個平面平行的相交直線，或者使用反證法．87.已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面邊長為8，對角線B1C=10，D為(1)求證AB1∥平面C1BD；(2)求直線AB1到平面C1BD的距離．證明：(1)設(shè)B1C∩BC1=O連DO，則O是B1C在△ACB1中，D是AC中點，O是B1C∴DO∥AB1，又DO平面C1BD，AB1平面C1BD，∴AB1∥平面C1BD．解：(2)由于三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC∴BD⊥AC，且BD⊥CC1，∴BD⊥平面AC1，平面C1BD⊥平面AC1，C1D是交線．在平面AC1內(nèi)作AH⊥C1D，垂足是H，∴AH⊥平面C1BD，又AB1∥平面C1BD，故AH的長是直線AB1到平面C1BD的距離．由BC=8，B1C=10，得CC1=6在Rt△C1DC中，DC=4，CC1=6，在Rt△DAH中，∠ADH=∠C1DC∴．即AB1到平面C1BD的距離是．評述：證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找出與已知直線平行的直線，如本題的DO．本題的第(2)問，實質(zhì)上進行了“平移變換”，利用AB1∥平面C1BD，把求直線到平面的距離變換為求點A到平面的距離．88.已知：直線a∥平面．求證：經(jīng)過a和平面平行的平面有且僅有一個．證：過a作平面與交于，在內(nèi)作直線與相交，在a上任取一點P，在和P確定的平面內(nèi)，過P作b∥．b在外，在內(nèi)，∴b∥而a∥∴a，b確定的平面過a且平行于．∵過a，b的平面只有一個，∴過a平行于平面的平面也只有一個89.已知平面、、、．其中∩=l，∩=a，∩=，a∥，∩=b，∩=，b∥上述條件能否保證有∥？若能，給出證明，若不能給出一個反例，并添加適當?shù)臈l件，保證有∥．不足以保證∥．如右圖．如果添加條件a與b是相交直線，那么∥．證明如下：a∥a∥b∥b∥∵a，b是內(nèi)兩條相交直線，∴∥．90.三個平面兩兩相交得三條直線，求證：這三條直線相交于同一點或兩兩平行.已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.求證：a、b、c相交于同一點，或a∥b∥c.證明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b∴a、bβ∴a、b相交或a∥b.(1)a、b相交時，不妨設(shè)a∩b＝P，即P∈a，P∈b而a、bβ，aα∴P∈β，P∈α，故P為α和β的公共點又∵α∩γ＝c由公理2知P∈c∴a、b、c都經(jīng)過點P，即a、b、c三線共點.(2)當a∥b時∵α∩γ＝c且aα，aγ∴a∥c且a∥b∴a∥b∥c故a、b、c兩兩平行.由此可知a、b、c相交于一點或兩兩平行.說明：此結(jié)論常常作為定理使用，在判斷問題中經(jīng)常被使用.91.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F(xiàn)在BD上，且B1E＝BF求證：EF∥平面BB1C證法一：連AF延長交BC于M，連結(jié)B1M.∵AD∥BC∴△AFD∽△MFB∴又∵BD＝B1A，B1E＝∴DF＝AE∴∴EF∥B1M，B1M平面BB∴EF∥平面BB1C證法二：作FH∥AD交AB于H，連結(jié)HE∵AD∥BC∴FH∥BC，BCBB1C∴FH∥平面BB1由FH∥AD可得又BF＝B1E，BD＝AB1∴∴EH∥B1B，B1B平面BB1C∴EH∥平面BB1CEH∩FH＝H∴平面FHE∥平面BB1EF平面FHE∴EF∥平面BB1說明：證法一用了證線面平行，先證線線平行.證法二則是證線面平行，先證面面平行，然后說明直線在其中一個平面內(nèi).92.已知：平面α∥平面β，線段AB分別交α、β于點M、N；線段AD分別交α、β于點C、D；線段BF分別交α、β于點F、E，且AM=m,BN=n,MN=p，△FMC面積=(m+p)(n+p),求：END的面積.解析：如圖，面AND分別交α、β于MC，ND，因為α∥β，故MC∥ND，同理MF∥NE，得∠FMC＝∠END，∴ND∶MC＝（m+p)：m和EN∶FM＝n∶(n+p)S△END∶S△FMC＝得S△END＝×S△FMC＝·(m+p)(n+p)=(m+p)2∴△END的面積為(m+p)2平方單位.93.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，并且CM=DN求證:MN∥平面AA1B1B.解析：本題是把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“線線平行”，即在平面ABB1A1內(nèi)找一條直線與MN平行，除上面的證法外，還可以連CN并延長交直線BA于點P，連B1P，就是所找直線，然后再設(shè)法證明MN∥B1P分析二：要證“線面平行”也可轉(zhuǎn)化為證“面面平行”，因此，本題也可設(shè)法過MN作一個平面，使此平面與平面ABB1A1平行，從而證得MN∥平面ABB1A94.已知E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊AD，AB的中點，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平面．（1）求證：EF⊥平面GMC．（2）若AB＝4，GC＝2，求點B到平面EFG的距離．解析：第1小題，證明直線與平面垂直，常用的方法是判定定理；第2小題，如果用定義來求點到平面的距離，因為體現(xiàn)距離的垂線段無法直觀地畫出，因此，常常將這樣的問題轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離問題．解：（1）連結(jié)BD交AC于O，∵E，F(xiàn)是正方形ABCD邊AD，AB的中點，AC⊥BD，∴EF⊥AC．∵AC∩GC＝C，∴EF⊥平面GMC．（2）可證BD∥平面EFG，由例題2，正方形中心O到平面EFG95.已知：ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，E是SC上一點．求證：BE不可能垂直于平面SCD．解析：用到反證法，假設(shè)BE⊥平面SCD，∵AB∥CD；∴AB⊥BE．∴AB⊥SB，這與Rt△SAB中∠SBA為銳角矛盾．∴BE不可能垂直于平面SCD．96.已知PA，PB，PC與平面α所成的角分別為60°，45°，30°，PO⊥平面α，O為垂足，又斜足A，B，C三點在同一直線上，且AB＝BC＝10cm，求PO的長．解析：97.已知：如圖，AS⊥平面SBC，SO⊥平面ABC于O，求證：AO⊥BC．解析：連結(jié)AO，證明BC⊥平面ASO．98.已知ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，M、N分別是SC、AB的中點．求證：MN⊥AB．解析：連結(jié)MB、MA，證明MB＝MA．99.已知：如圖，平面∩平面＝直線l，A∈，AB⊥，B∈，BC⊥，C∈，求證：AC⊥l．證明：∵AB⊥，l∴l(xiāng)⊥AB∵BC⊥，l∴l(xiāng)⊥BC∵AB∩BC＝B∴l(xiāng)⊥平面ABC∵AC平面ABC∴l(xiāng)⊥AC100.已知：如圖，P是∠BAC所在平面外一點，PD⊥AB，D為垂足，PE⊥AC，E為垂足，在平面BAC內(nèi)過D作DF⊥AB，過E作EF⊥AC，使得EF∩DF＝F．連結(jié)PF，求證：PF⊥平面BAC．證明：∵PD⊥AB，DF⊥AB，PDDF＝D∴AB⊥平面PDF∵PF平面PDF∴AB⊥PF同理，AC⊥PF∵PF⊥AB，PF⊥AC，BAAC＝A∴PF⊥平面BAC101.是△ABC在平面α上的射影，那么和∠ABC的大小關(guān)系是 () (A)<∠ABC (B)>∠ABC (C)≥∠ABC (D)不能確定解析：D一個直角，當有一條直角邊平行于平面時，則射影角可以等于原角大小，但一般情況不等．102.已知:如圖,△ABC中,ACB=90,CD平面,AD,BD和平面所成的角分別為30和45,CD=h,求:D點到直線AB的距離。解析：1、先找出點D到直線AB的距離,即過D點作DEAB,從圖形以及條件可知,若把DE放在△ABD中不易求解。2、由于CD平面,把DE轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解,從而轉(zhuǎn)化為先求DE在平面內(nèi)的射影長。解:連AC,BC,過D作DEAB,連CE,則DE為D到直線AB的距離。 ∵CD ∴AC,BC分別是AD,BD在內(nèi)的射影。 ∴DAC,DBC分別是AD和BD與平面所成的角 ∴DAC=30,DBC=45 在Rt△ACD中, ∵CD=h,DAC=30 ∴AC= 在Rt△BCD中 ∵CD=h,DBC=45 ∴BC=h ∵CD,DEAB ∴CEAB 在Rt△ACB中 ∴ ∴在Rt△DCE中, ∴點D到直線AB的距離為。103.已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點O的三條直線，而直線l和α相交，并且和a、b、c三條直線成等角．求證：l⊥α證法一：分別在a、b、c上取點A、B、C并使AO=BO=CO．設(shè)l經(jīng)過O，在l上取一點P，在△POA、△POB、△POC中，∵PO公用，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，∴△POA≌△POB≌△POC∴PA=PB=PC．取AB中點D．連結(jié)OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB，∵∴AB⊥平面POD∵PO平面POD．∴PO⊥AB．同理可證PO⊥BC∵，，∴PO⊥α，即l⊥α若l不經(jīng)過O時，可經(jīng)過O作∥l．用上述方法證明⊥α，∴l(xiāng)⊥α．證法二：采用反證法假設(shè)l不和α垂直，則l和α斜交于O．同證法一，得到PA=PB=PC．過P作于，則，O是△ABC的外心．因為O也是△ABC的外心，這樣，△ABC有兩個外心，這是不可能的．∴假設(shè)l不和α垂直是不成立的．∴l(xiāng)⊥α若l不經(jīng)過O點時，過O作∥l，用上述同樣的方法可證⊥α，∴l(xiāng)⊥α評述：（1）證明線面垂直時，一般都采用直接證法（如證法一），有時也采用反證法（如證法二）或同一法．104.P是△ABC所在平面外一點，O是點P在平面α上的射影．（1）若PA=PB=PC，則O是△ABC的____________心．（2）若點P到△ABC的三邊的距離相等，則O是△ABC_________心．（3）若PA、PB、PC兩兩垂直，則O是△ABC_________心．（4）若△ABC是直角三角形，且PA=PB=PC則O是△ABC的____________心．（5）若△ABC是等腰三角形，且PA=PB=PC，則O是△ABC的____________心．（6）若PA、PB、PC與平面ABC所成的角相等，則O是△ABC的________心；解析：（1）外心．∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心．（2）內(nèi)心（或旁心）．作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，連結(jié)PD、PE、PF．∵PO⊥平面ABC，∴OD、OE、OF分別為PD、PE、PF在平面ABC內(nèi)的射影，由三垂線定理可知，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC．由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF，∴O是△ABC的內(nèi)心．（如圖答9-23）（3）垂心．（4）外心．（5）外心（6）外心．PA與平面ABC所成的角為∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO中，PO是公共邊，∠POA=∠POB=∠POC=90°，∠PAO=∠PBO=∠PCO，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴OA=OB=OC，∴O為△ABC的外心．（此外心又在等腰三角形的底邊高線上）．105.將矩形ABCD沿對角線BD折起來，使點C的新位置在面ABC上的射影E恰在AB上．求證：分析：欲證，只須證與所在平面垂直；而要證⊥平面，只須證⊥且⊥AD．因此，如何利用三垂線定理證明線線垂直就成為關(guān)鍵步驟了．證明：由題意，⊥，又斜線在平面ABCD上的射影是BA，∵BA⊥AD，由三垂線定理，得，．∴⊥平面，而平面∴⊥106.已知異面直線l1和l2，l1⊥l2，MN是l1和l2的公垂線，MN=4，A∈l1，B∈l2，AM=BN=2，O是MN中點．①求l1與OB的成角．②求A點到OB距離．分析：本題若將條件放入立方體的“原型”中，抓住“一個平面四條線”的圖形特征及“直線平面垂直”的關(guān)鍵性條件，問題就顯得簡單明了．解析：（1）如圖，畫兩個相連的正方體，將題目條件一一標在圖中．OB在底面上射影NB⊥CD，由三垂線定理，OB⊥CD，又CD∥MA，∴OB⊥MA即OB與l1成90°（2）連結(jié)BO并延長交上底面于E點．∥ME=BN，∥∴ME=2，又ON=2∴．作AQ⊥BE，連結(jié)MQ．對于平面EMO而言，AM、AQ、MQ分別為垂線、斜線、斜線在平面內(nèi)的射影，由三垂線逆定理得MQ⊥EO．在Rt△MEO中，．評述：又在Rt△AMQ中，，本題通過補形法使較困難的問題變得明顯易解；求點到直線的距離，仍然是利用直線與平面垂直的關(guān)鍵條件，抓住“一個面四條線”的圖形特征來解決的．107.已知各棱長均為a的正四面體ABCD，E是AD邊的中點，連結(jié)CE．求CE與底面BCD所成角的正弦值．解析：作AH⊥底面BCD，垂足H是正△BCD中心，連DH延長交BC于F，則平面AHD⊥平面BCD，作EO⊥HD于O，連結(jié)EC，則∠ECO是EC與底面BCD所成的角則EO⊥底面BCD．，∴108.已知四面體S－ABC中，SA⊥底面ABC，△ABC是銳角三角形，H是點A在面SBC上的射影．求證：H不可能是△SBC的垂心．分析：本題因不易直接證明，故采用反證法．證明：假設(shè)H是△SBC的垂心，連結(jié)BH，并延長交SC于D點，則BH⊥SC∵AH⊥平面SBC，∴BH是AB在平面SBC內(nèi)的射影∴SC⊥AB（三垂線定理）又∵SA⊥底面ABC，AC是SC在面內(nèi)的射影∴AB⊥AC（三垂線定理的逆定理）∴△ABC是Rt△與已知△ABC是銳角三角形相矛盾，于是假設(shè)不成立．故H不可能是△SBC的垂心．109.已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求點B到平面EFG的距離．解析：如圖，連結(jié)EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O．因為ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點，故EF∥BD，H為AO的中點．BD不在平面EFG上．否則，平面EFG和平面ABCD重合，從而點G在平面的ABCD上，與題設(shè)矛盾．由直線和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離．——4分∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，∴EF⊥平面HCG．∴平面EFG⊥平面HCG，HG是這兩個垂直平面的交線．——6分作OK⊥HG交HG于點K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK⊥平面EFG，所以線段OK的長就是點B到平面EFG的距離．——8分∵正方形ABCD的邊長為4，GC=2，∴AC=4，HO=，HC=3．∴在Rt△HCG中，HG=．由于Rt△HKO和Rt△HCG有一個銳角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．∴OK=．即點B到平面EFG的距離為．——10分注：未證明“BD不在平面EFG上”不扣分．110.已知：AB與CD為異面直線，AC＝BC，AD＝BD．求證：AB⊥CD．說明：（1）應(yīng)用判定定理，掌握線線垂直的一般思路．（2）思路：欲證線線垂直，只需證線面垂直，再證線線垂直，而由已知構(gòu)造線線垂直是關(guān)鍵．（3）教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生分析等腰三角形三線合一的性質(zhì)構(gòu)造圖形，找到證明方法．證明：如圖，取AB中點E，連結(jié)CE、DE∵AC＝BC，E為AB中點．∴CE⊥AB同理DE⊥AB，又CE∩DE＝E，且CE平面CDE，DE平面CDE．∴AB⊥平面CDE又CD平面CDE∴AB⊥CD．111.兩個相交平面、都垂直于第三個平面，那么它們的交線a一定和第三個平面垂直．證明：在內(nèi)取一點P，過P作PA垂直與的交線；過P作PB垂直與的交線．∵⊥且⊥∴PA⊥且PB⊥∴PA⊥a且PB⊥a∴a⊥112.在立體圖形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中點．AC，BD交于O點．（Ⅰ）求二面角Q－BD－C的大?。海á颍┣蠖娼荁－QD－C的大?。馕觯海á瘢┙猓哼BQO，則QO∥PA且QO＝PA＝AB∵PA⊥面ABCD∴QO⊥面ABCD面QBD過QO，∴面QBD⊥面ABCD故二面角Q－BD－C等于90°．（Ⅱ）解：過O作OH⊥QD，垂足為H，連CH．∵面QBD⊥面BCD，又∵CO⊥BDCO⊥面QBDCH在面QBD內(nèi)的射影是OH∵OH⊥QD∴CH⊥QD于是∠OHC是二面角的平面角．設(shè)正方形ABCD邊長2，則OQ＝1，OD＝，QD＝．∵OH·QD＝OQ·OD∴OH＝．又OC＝在Rt△COH中：tan∠OHC＝＝·＝∴∠OHC＝60°故二面角B－QD－C等于60°．113.如圖在ΔABC中，AD⊥BC，ED=2AE，過E作FG∥BC，且將ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求證:A'E⊥平面A'BC解析：弄清折疊前后，圖形中各元素之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。解：∵FG∥BC，AD⊥BC∴A'E⊥FG∴A'E⊥BC設(shè)A'E=a，則ED=2由余弦定理得：A'D2=A'E2+ED2-2?A'E?EDcos60°=3a2∴ED2=A'D2+A'E2∴A'D⊥A'E∴A'E⊥平面A'BC114.α、β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α．以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題，并證明它．解析：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n（或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β）證明如下：過不在α、β內(nèi)的任一點P，作PM∥m，PN∥n過PM、PN作平面r交α于MQ，交β于NQ．，同理PN⊥NQ．因此∠MPN＋∠MQN=180°，故∠MQN=90°∠MPN=90°即α⊥βm⊥n．115.已知：，α⊥γ，β⊥γ，b∥α，b∥β．求證：a⊥γ且b⊥γ．解析：在a上任取一點P，過P作PQ⊥r．∵β⊥r，∴，∵α⊥r，∴，∴PQ與a重合，故a⊥r．過b和點P作平面S，則S和α交于PQ1，S和β交于PQ2，∵b∥α，b∥β∴b∥PQ1，且b∥PQ2．于是PQ1和PQ2與a重合，故b∥a，而a⊥r，∴b⊥r．116.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，且AB＝3，BC＝4，PA＝3，求點P到CD和BD的距離．解析：∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，且CD平面ABCD．∴PD⊥CD（三垂線定理）．在Rt△PAD中，PD＝＝＝5．又作PH⊥BD于H，連結(jié)AH，由三垂線定理的逆定理，有AH⊥BD．這里，PH為點P到BD的距離．在Rt△ABD中，AH＝＝在Rt△PAH中，PH＝＝＝117.點P在平面ABC的射影為O，且PA、PB、PC兩兩垂直，那么O是△ABC的()(A)內(nèi)心 (B)外心(C)垂心 (D)重心解析：由于PC⊥PA，PC⊥PB，所以PC⊥平面PAB，∴PC⊥AB．又P在平面ABC的射影為O，連CO，則CO是PC在平面ABC的射影，根據(jù)三垂線定理的逆定理，得：CO⊥AB，同理可證AO⊥BC，O是△ABC的垂心，答案選C．118.如圖02，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分別是棱AA1、BB1、BC上的點，PQ∥AB，C1Q⊥PR，求證：∠D1QR=90°證明：∵PQ∥AB，AB⊥平面BC1，∴PQ⊥平面BC1，QR是PR在平面BC1的射影．根據(jù)三垂線定理的逆定理，由C1Q⊥PR得C1Q⊥QR．又因D1C1⊥平面BC1，則C1Q是D1Q在平面B1C的射影，根據(jù)三垂線定理，由C1Q⊥QR得QR⊥D1∴∠D1QR=90°119.在空間四邊形ABCD中,已知ACBD,ADBC,求證:ABCD。解析： 1、條件ACBD,ADBC,可以看作斜線AD,AC與平面BCD內(nèi)的直線的位置關(guān)系,從而聯(lián)想到用三垂線定理或其逆定理證明命題。 2、如何找斜線在平面內(nèi)的射影,顯然是過A點作直線垂直于平面BCD,這樣斜線與直線的位置關(guān)系,通過射影與直線的位置關(guān)系判定。證明:過A點作AO垂直于平面BCD于O 連BO,CO,DO ∵AO平面BCD,ACBD ∴COBD ∵AO平面BCD,ADBC ∴DOBC ∴O為△BCD的垂心 ∴BOCD ∴ABCD120.如圖,在空間四邊形SABC中,SA平面ABC,ABC=90,ANSB于N,AMSC于M。求證:①ANBC;②SC平面ANM解析：①要證ANBC,轉(zhuǎn)證,BC平面SAB。②要證SC平面ANM,轉(zhuǎn)證,SC垂直于平面ANM內(nèi)的兩條相交直線,即證SCAM,SCAN。要證SCAN,轉(zhuǎn)證AN平面SBC,就可以了。證明:①∵SA平面ABC ∴SABC 又∵BCAB,且ABSA=A ∴BC平面SAB ∵AN平面SAB ∴ANBC ②∵ANBC,ANSB,且SBBC=B ∴AN平面SBC ∵SCC平面SBC ∴ANSC 又∵AMSC,且AMAN=A ∴SC平面ANM121.已知如圖，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°求證：平面ABC⊥平面PBC解析：要證明面面垂直，只要在其呈平面內(nèi)找一條線，然后證明直線與另一平面垂直即可。顯然BC中點D，證明AD垂直平PBC即可證明：取BC中點D連結(jié)AD、PD∵PA=PB；∠APB=60°∴ΔPAB為正三角形 同理ΔPAC為正三角形設(shè)PA=a在RTΔBPC中，PB=PC=aBC=a∴PD=a在ΔABC中AD==a∵AD2+PD2==a2=AP2∴ΔAPD為直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC∴AD⊥平面PBC∴平面ABC⊥平面PBC122.如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線也垂直于這個平面。已知：β⊥α，γ⊥α，βγ=a求證：a⊥α解析：利用線面垂直的性質(zhì)定理證明：設(shè)αβ=AB，αγ=CD在平面β內(nèi)作L1⊥AB，在平面γ內(nèi)作L1⊥CD，∵α⊥β∴L1⊥α同理L2⊥α∴L1已知SA、SB、SC是共點于S的且不共面的三條射線，∠BSA=∠ASC=45°,∠BSC=60°，求證：平面BSA⊥平面SAC解析：先作二面角B-SA-C的平面角，根據(jù)給定的條件，在棱S上取一點P，分別是在兩個平面內(nèi)作直線與棱垂直證明：在SA上取一點P過P作PR⊥SA交SC于R過P作PQ⊥SA交SB于Q∴∠QPR為二面角B-SA-C的平面角設(shè)PS=a∵∠PSQ=45°，∠SPQ=90°∴PQ=a，SQ=a同理PR=a，SR=a∵∠PSQ=60°，SR=SQ=a∴ΔRSQ為正三角形則RQ=a∵PR2+PQ2=2a2=QR2∴∠QPQ=90°∴二面角B-SA-C為90°∴平面BSA⊥平面SAC114.設(shè)S為平面外的一點，SA=SB=SC，，若，求證：平面ASC平面ABC。解析：（1）把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系（2）利用棱錐的性質(zhì)（三棱錐的側(cè)棱相等，則頂點在底面上的射影為底面三角形的外心）證明：設(shè)D為AB的中點同理且即為且S在平面上的射影O為的外心則O在斜邊AC的中點。平面ABC平面SAC平面ASC平面ABC115.兩個正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直，求異面直線AC和BF所成角的大?。馕觯鹤鰾P∥AC交DC延長線于P，則∠FBP(或補角)就是異面直線BF和AC所成的角，設(shè)正方形邊長為a，在△BPF中，由余弦定理得，異面直線AC和BF成60°角．116.二面角α－a－β的值為θ(0°<θ<180°)，直線l⊥α，判斷直線l與平面β的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解析：分兩種情況，θ=90°，θ≠90°．當θ=90°時，l∥β或lβ，這個結(jié)論可用反證法證明；當θ≠90°時，l必與β相交，也可用反證法證明．117.已知平面α⊥平面β，交線為AB，C∈，D∈，，E為BC的中點，AC⊥BD，BD=8．①求證：BD⊥平面；②求證：平面AED⊥平面BCD；③求二面角B－AC－D的正切值．解析：①AB是AC在平面β上的射影，由AC⊥BD得AB⊥BD．∵α⊥β．∴DB⊥α．②由AB=AC，且E是BC中點，得AE⊥BC，又AE⊥DB，故AE⊥平面BCD，因此可證得平面AED⊥平面BCD．③設(shè)F是AC中點，連BF，DF．由于△ABC是正三角形，故BF⊥AC．又由DB⊥平面α，則DF⊥AC，∠BFD是二面角B－AC－D的平面角，在Rt△BFD中，．118.如圖，△ABC和△DBC所在的兩個平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=120°，求(1)A、D連線和直線BC所成角的大小；(2)二面角A－BD－C的大小解析：在平面ADC內(nèi)作AH⊥BC，H是垂足，連HD．因為平面ABC⊥平面BDC．所以AH⊥平面BDC．HD是AD在平面BDC的射影．依題設(shè)條件可證得HD⊥BC，由三垂線定理得AD⊥BC，即異面直線AD和BC形成的角為90°．在平面BDC內(nèi)作HR⊥BD，R是垂足，連AR．HR是AR在平面BDC的射影，∴AR⊥BD，∠ARH是二面角A－BD－C的平面角的補角，設(shè)AB=a，可得，，，∴．∴二面角A－BD－C的大小為π－arctg2．119.正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CC1的中點，求異面直線AE和BF角的大小．解析：取DD1的中點G，可證四邊形ABFG是平行四邊形，得出BF∥AG，則∠GAE是異面直線AE與BF所成的角．連GF，設(shè)正方體棱長為a，，．在△AEG中，由余弦定理得∴．120.矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線BD把△ABD折起，使點A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，121.

已知：如圖12，P是正方形ABCD所在平面外一點，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值．分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出兩個平面的交線．解：因為

AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD．所以

AB∥平面CPD．又

P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此

平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．所以

二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個二面角．因為

AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以

AB∥l．過P作PE⊥AB，PE⊥CD．因為

l∥AB∥CD，因此

PE⊥l，PF⊥l，所以

∠EPF是二面角B-l-C的平面角．因為

PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因為

E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，所以

EF=BC=a．在△EFP中，122.在四面體ABCD中，AB＝AD＝BD＝2，BC＝DC＝4，二面角A－BD－C的大小為60°，求AC的長．解析：作出二面角A－BD－C的平面角在棱BD上選取恰當?shù)狞cAB＝AD，BC＝DC解：取BD中點E，連結(jié)AE，EC∵AB＝AD，BC＝DC ∴AE⊥BD，EC⊥BD∴∠AEC為二面角A－BD－C的平面角∴∠AEC＝60°∵AD＝2，DC＝4∴AE＝，EC＝∴據(jù)余弦定理得：AC＝．123.河堤斜面與水平面所成角為60°，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB的夾角為30°，沿著這條直道從堤角向上行走到10米時，人升高了多少（精確到0.1米）？解析：已知所求河堤斜面與水平面所成角為60°E到地面的距離利用E或G構(gòu)造棱上一點F以EG為邊構(gòu)造三角形解：取CD上一點E，設(shè)CE＝10m，過點E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，則線段EG的長就是所求的高度．在河堤斜面內(nèi)，作EF⊥AB．垂足為F，連接FG，由三垂線定理的逆定理，知FG⊥AB．因此，∠EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成的二面角的平面角，∠EFG＝60°．由此得：EG＝EFsin60°＝CEsin30°sin60°＝10××≈（m）答：沿著直道向上行走到10米時，人升高了約4.124.二面角α—a—β是120°的二面角，P是該角內(nèi)的一點．P到α、β的距離分別為a，b．求：P到棱a的距離．解析：設(shè)PA⊥α于A，PB⊥β于B．過PA與PB作平面r與α交于AO，與β交于OB，∵PA⊥α，PB⊥β，∴a⊥PA，且a⊥PB∴a⊥面r，∴a⊥PO，PO的長為P到棱a的距離．且∠AOB是二面角之平面角，∠AOB=120°∴∠APB=60°，PA=a，PB=b．∵，∴．125.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AB、CC1