1第二章

隨機變量的分布和數(shù)字特征§2.1隨機變量及其分布§2.2隨機變量函數(shù)的分布§2.3隨機變量的數(shù)字特征§2.4幾種重要的離散型分布§2.5幾種重要的連續(xù)型分布2§2.1隨機變量及其分布隨機變量的概念離散型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量的概率密度隨機變量的分布函數(shù)3隨機事件數(shù)量化我們知道：一次隨機試驗的所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果所構(gòu)成的集合被稱作樣本空間，而每一個可能的基本結(jié)果稱為樣本點。樣本點的集合A稱作隨機事件。只包含一個樣本點的集合{}被稱作基本事件。某些隨機事件直接表示為數(shù)量(如擲骰子的結(jié)果)；也有一些試驗結(jié)果并不直接表示為數(shù)量，但仍可用數(shù)字去對應，即數(shù)量化(如抽檢產(chǎn)品的結(jié)果，合格記1，不合格記0)。總之，任何隨機試驗的基本結(jié)果，都可以用數(shù)量與之相對應。4為什么要引入隨機變量

從理論上講，樣本空間、隨機事件可以是任何集合，但這對于研究帶來了許多不方便。而數(shù)學上則更喜歡研究實數(shù)集合。可以建立從樣本空間到實數(shù)集合的一個映射，即對每個給定樣本點，存在著唯一的一個實數(shù)()與之對應。這樣就建立了一個自變量為而函數(shù)值則為實數(shù)的一個特殊的“函數(shù)”。我們稱之為隨機變量。引入隨機變量可以全面考察試驗的一切可能結(jié)果，從而揭示客觀事物存在的統(tǒng)計規(guī)律性。對每一個隨機事件A，都可用隨機變量的取值(范圍)來表示。這樣，隨機事件就可以用實數(shù)的數(shù)集(或點集)來表示，試驗結(jié)果就具體化、數(shù)字化了。因此，引入隨機變量之后，可借助微積分等方法來解決概率問題。5隨機變量的定義(randomvariable)定義：隨機變量是定義在樣本空間Ω={ω}上的一個單值實函數(shù)，記作X=X(ω)，簡記為X。特點：隨機變量取值具有不確定性，但都具有一定的概率規(guī)律。問題：隨機變量就是微積分中的變量嗎？答案：不是。隨機變量與微積分中的變量不同。隨機變量隨試驗結(jié)果而變，即它的定義域是試驗的所有可能結(jié)果，隨機變量的取值事先不能確定，具有概率確定性；微積分中的變量的定義域是實數(shù)域，它的取值是確定性的。

隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)變?yōu)閷﹄S機變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機變量及其取值規(guī)律67一些隨機變量的例子(1)一個射手對目標進行射擊,擊中目標記為1分,未中目標記為0分.如果用x表示射手在一次射擊中的得分,則它是一個隨機變量,可以取0和1兩個可能的值.(2)某段時間內(nèi)候車室的旅客數(shù)目記為x,它是一個隨機變量,可以取0及一切不大于M的自然數(shù),M為候車室的最大容量.(3)單位面積上某農(nóng)作物的產(chǎn)量x是一個隨機變量,它可以取一個區(qū)間內(nèi)的一切實數(shù)值,即x[0,T],T是一個常數(shù).8練習1(分析X、Y、Z、W等的取值情況)(1)用X表示隨機抽驗的n件產(chǎn)品中不合格品的數(shù)，n個小學生中患近視眼癥的人數(shù)，n個企業(yè)中虧損企業(yè)的個數(shù)，定點投籃n次命中的次數(shù)，等等．

(2)用Y表示某工廠發(fā)生事故的次數(shù)，新華商場某日售出的電視機臺數(shù)，一小時內(nèi)通過某交通路口的汽車輛數(shù),一小時內(nèi)在某機場降落的飛機架次,等等．

(3)用Z表示自動機床連續(xù)無故障工作的時間，電視機顯象管的壽命，某居民小區(qū)居民的平均用水量等．解： X、Y、Z都是隨機變量

(1)X可能取值是0,1,2,…,n(2)Y可能取值是0,1,2,…(3)Z可能取值[0，+∞)內(nèi)的任何一個實數(shù)9練習2從有2個一級品，3個二級品的產(chǎn)品中隨機取出3個產(chǎn)品，如果用X表示取出的產(chǎn)品中是一級品的數(shù).求X的取值，并求相應的概率解：X可能取值是0,1,2.用A1,A2表示2個一級品,B1,B2,B3表示3個二級品,從中取出3個產(chǎn)品的可能情況：

B1B2B3B1B2A1B1B2A2B1B3A1B1B3A2B2B3A1B2B3A2B1A1A2B2A1A2B3A1A2

即{X=0}={B1B2B3}{X=1}={B1B2A1，B1B2A2，B1B3A1，

B1B3A2，B2B3A1，B1B2A2}{X=2}={B1A1A2，B2A1A2，B3A1A2}概率值：P(X=0)=1/10,P(X=1)=6/10,P(X=2)=3/10。10隨機變量的分類按隨機變量的取值情況，可將其分為兩類:(1)離散型隨機變量：只可能取有限個或無限可列個值。(2)非離散型隨機變量：可能取任何實數(shù)，情況較復雜。而非離散型隨機變量中最常用的為連續(xù)型隨機變量（它的值域是一個或若干個區(qū)間）。今后我們主要研究離散型和連續(xù)型隨機變量。11離散型隨機變量的概率分布定義2.1：如果隨機變量X只能取有限個或可列個可能值,而且取這些不同值的概率是確定的,則稱X為離散性隨機變量。定義2.2：X為離散型隨機變量,其一切可取值為x1,x2,…,xn…;記pn=P{X

=xn}(n=1,2,…),稱為X的概率函數(shù),又稱X的概率分布、分布律。其中{X

=x1},{X

=x2},…,{X

=xn},…構(gòu)成一完備事件組。因此概率函數(shù)具有如下性質(zhì):12概率分布表為直觀起見，將隨機變量的可能取值及相應概率排列成概率分布表如下：Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…一般所說的離散性隨機變量的分布就是指它的概率函數(shù)或概率分布表.概率函數(shù)的兩個性質(zhì)中的性質(zhì)(2)經(jīng)常在解題中構(gòu)成解方程的一個條件.例題與解答例1袋中有標有1、2、3、4的球若干，從中任取一個，假設取到各個球的概率與球上的號碼成反比，求取到的球上號碼X這個隨機變量的概率分布。解：X可以取1、2、3、4共4個值，由題意知13X的分布律：X1234P12/256/254/253/25續(xù)上頁(概率分布表)1415例題與解答例2一批產(chǎn)品的廢品率為5%,從中任意抽取一個進行檢驗,用隨機變量X來描述廢品出現(xiàn)的情況.并寫出X的分布.解用X表示廢品的個數(shù),則它只能取0或1兩個值.“X=0”表示“產(chǎn)品為合格”,“X=1”表示“產(chǎn)品為廢品”,則概率分布表如下X01P0.950.05即P{X

=0}=0.95,P{X

=1}=0.05,或可寫為：P{X

=k}=0.05k0.951-k (k=0,1)16兩點分布兩點分布:只有兩個可能取值的隨機變量X所服從的分布,稱為兩點分布。其概率函數(shù)為：

P(X=xk)=pk(k=1,2)。亦稱X服從兩點分布。概率分布表為:Xx1x2Pp1p2xp1p2x1x2概率分布圖為：170-1分布0-1分布:只取0和1兩個值的隨機變量所服從的分布稱(參數(shù)為p的)為0-1分布.其概率函數(shù)為： P(X=k)=pk(1-p)1-k (k=0,1)

概率分布表為:X01P1-pp概率分布圖為：x1-pp011服從0-1分布的隨機變量所描述的試驗稱伯努利試驗。(試驗結(jié)果兩狀態(tài))18例題與解答例3產(chǎn)品有一,二,三等品及廢品4種,其一,二,三等品率和廢品率分別為60%,10%,20%,10%,任取一個產(chǎn)品檢驗其質(zhì)量,用隨機變量X

描述檢驗結(jié)果并畫出其概率函數(shù)圖.解令“X=k"與產(chǎn)品為"k等品"(k=1,2,3)相對應,“X=0"與產(chǎn)品為"廢品"相對應.X是一個隨機變量,它可以取0,1,2,3這4個值.依題意,P(X=0)=0.1 P(X=1)=0.6P(X=2)=0.1 P(X=3)=0.2

則可列出概率分布表并畫出概率分布圖:19續(xù)上頁(概率分布表及概率分布圖)X0123P0.10.60.10.2x01230.11pX的分布律：X的概率分布圖：20例題與解答例4用隨機變量描述擲一顆骰子的試驗情況解令X表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù),它可取1到6共6個自然數(shù),相應的概率都是1/6,列成概率分布表和概率分布圖如下：(離散型均勻分布特例)X123456P1/61/61/61/61/61/661P0123456x21離散型均勻分布如果隨機變量X有概率函數(shù):則稱X服從離散型均勻分布.22例題與解答例5社會上定期發(fā)行某種獎券,每券1元,中獎率為p,某人每次購買1張獎券,如果沒有中獎下次再繼續(xù)購買1張,直到中獎為止.求該人購買次數(shù)X的分布.解“X=1”表示第一次購買的獎券中獎,

依題意： P(X=1)=p“X=2”表示購買兩次獎券,但第一次未中獎,其概率為1-p,而第二次中獎,其概率為p.由于各期獎券中獎與否相互獨立,所以： P(X=2)=(1-p)p;

“X=i”表示購買i次,前i-1次都未中獎,而第i次中獎,

所以：P(X=i)=(1-p)i-1p

由此，得到X的概率函數(shù)為：

P(X=i)=p(1-p)i-1 (i=1,2,…)23幾何分布上例中，隨機變量X的分布為

P(X=i)=p(1-p)i-1 (i=1,2,…)這類分布稱幾何分布,此時也稱隨機變量服從幾何分布。這是因為：p(1-p)i-1恰是幾何級數(shù)24幾何分布描述的典型問題假定一個試驗成功的概率概率為p(0<p<1)，不斷重復試驗(p始終不變)，直到首次成功為止，用隨機變量X表示試驗的次數(shù)。則X的分布就是幾何分布：P(X=i)=p(1-p)i-1 (i=1,2,…)。上述問題就是幾何分布的經(jīng)典模式。根據(jù)實際情況，可以對試驗成功做各種合理解釋，如：“投籃命中”、“抽檢合格”、“碰上好運”等等，只要滿足模式的條件，便可套用它解決問題了。25例題與解答例6盒內(nèi)裝有外形與功率均相同的15個燈泡,其中10個螺口,5個卡口,現(xiàn)在需用1個螺口燈泡,從盒中任取一個,如果取到卡口燈泡就不再放回去.求在取到螺口燈泡前已取出的卡口燈泡數(shù)x的分布.(幾何分布？)解“x=0”表示第一個就取到了螺口燈泡,“x=1”表示第一個取到卡口而第二個才取到螺口燈泡,…因此

P(x=0)=10/15=2/3P(x=1)=(5/15)(10/14)=5/21P(x=2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273P(x=3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273P(x=4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003P(x=5)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/300326如何描述連續(xù)型隨機變量？離散型隨機變量的統(tǒng)計特征可以用分布律描述，非離散型的該如何描述？如：彩電的壽命X是一個隨機變量，對消費者來說，你是否在意{X>5年}、還是{X>5年零1分鐘}、或是{X≥5年}？幾何中可以用點的“長度”、“面積”來度量線段長度、矩形面積嗎？例：(打靶問題)假定靶板U上每一點被擊中的可能性相同，求打中區(qū)域A內(nèi)的概率和點B的概率？UA.

B區(qū)域A是有無數(shù)點組成的，能否用點的概率來度量事件A的概率？不能！不能！27連續(xù)型隨機變量與概率密度定義2.3：對于隨機變量X，若存在非負函數(shù)f(x)，(-<x<+)，使對任意實數(shù)a,b(a<b)都有則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或分布密度。簡記為X～f(x)，(-<x<+)。對連續(xù)型隨機變量而言，概率的幾何意義是分布密度函數(shù)曲線下方的面積。28注意由連續(xù)型隨機變量定義可知：

對任何實數(shù)c，P{X=c}=0.即：連續(xù)型隨機變量取任何一個數(shù)值的概率都為零。在討論連續(xù)型隨機變量X在某區(qū)間上取值情況時，因區(qū)間端點的概率值總是零，故對連續(xù)型隨機變量不必區(qū)分取值區(qū)間的開與閉。

即:P{a<X<b}=P{aX<b}=P{a<Xb}=P{aXb}概率為零的事件不一定是“不可能事件”。29P{X=c}=0的說明30概率密度函數(shù)的兩個性質(zhì)連續(xù)型的概率非負性和概率完備性表現(xiàn)為

（1）非負性：f(x)0，(-<x<+)；

（2）正則性：x0f(x)31例題與解答例7：已知連續(xù)型隨機變量的概率密度為試確定常數(shù)λ，并計算P{X>2},P{X>a2+2|X>a2}(a任意實數(shù))。解：由概率密度性質(zhì)2，有32續(xù)上頁因為事件{X>a2+2}事件{X>a2}，所以P{X>a2+2，X>a2}=P{X>a2+2}。因此，33練習3設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=(1)確定系數(shù)k,(2)求概率P(X>1),(3)求概率P(-1<X2)．解：利用概率密度的性質(zhì)，有:得k=1,P(X>1)=＝e－1

P(-1<X2)==+=1-e－2

34例題與解答例8若X有概率密度試求f(x)和P{cXd},其中[c,d][a,b]。解

35均勻分布則稱X在[a,b]上服從均勻分布;記作X~U(a,b)。a<X<b“也可以”(a,b)內(nèi)

由前例可知，均勻分布隨機變量的概率意義是，它在取值區(qū)間[a,b]上任何一個子區(qū)間取值的概率，與該子區(qū)間長度成正比，與子區(qū)間在[a,b]中位置無關，比例系數(shù)恰好是[a,b]上的概率密度值。例題與解答例9.長途汽車起點站于每時的10分、25分、55分發(fā)車，設乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達車站(等可能)，求乘客候車時間超過10分鐘的概率.解：361545設A—乘客候車時間超過10分鐘

X—乘客于某時X分鐘到達，則XU(0,60)例題與解答例10.工人加工零件的誤差為D毫米，假定D~U[-5,5].當|D|>3毫米時,產(chǎn)品為不合格.現(xiàn)要求工人立刻加工出一件合格品，問該過程中產(chǎn)生的不合格品少于2個的可能性多大？37解：假定工人完成任務共加工了X個零件,則該過程中產(chǎn)生了Y=X-1個不合格品，顯然X與Y都是離散隨機變量,X可取1,2,…,n…記p為合格率，D~U[-5,5].又X服從參數(shù)為p的幾何分布

P(X=i)=p(1-p)i-1,

故P(Y<2)=P(X-1<2)=P(X<3)=P(X=1)+P(X=2)=0.84

38隨機變量的分布函數(shù)定義2.5：若X是任意一個隨機變量(可以是離散型的,也可以是非離散型的),對任何實數(shù)x,稱函數(shù)F(x)=P(Xx),-<x<

是隨機變量x的分布函數(shù)。分布函數(shù)F(x)是在區(qū)間(-∞,x]內(nèi)的“累積概率”，不要與單點概率混淆。分布函數(shù)是概率論中重要研究工具,可用于描述包括離散型和連續(xù)型在內(nèi)的一切類型隨機變量。

易知，對任意實數(shù)a,b(a<b),

P{a<X

b}＝P{X

b}－P{X

a}＝F(b)－F(a)

即已知X的分布函數(shù)F(x),就能知道X在任何一個區(qū)間上取值的概率,從這個意義上說,分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的變化情況。39例2中的分布函數(shù)在例1中X的概率分布如下表所示:X01P0.950.05其分布函數(shù)為：40例3(擲骰子)的分布函數(shù)F(x)0123456x概率分布圖0123456x1F(x)分布函數(shù)圖410-1分布的分布函數(shù)及圖x1-pp011概率分布圖x1-p011F(x)分布函數(shù)圖42均勻分布的分布函數(shù)圖均勻分布密度函數(shù)為0abxf(x)43均勻分布的分布函數(shù)圖(續(xù))當x<a時0abxf(x)x44均勻分布的分布函數(shù)圖(續(xù))當a<x<b時0abxf(x)x45均勻分布的分布函數(shù)圖(續(xù))當x>b時0abxf(x)x46均勻分布的分布函數(shù)圖(續(xù))綜上所述,最后得分布函數(shù)為0abxF(x)1注：連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是連續(xù)的,圖形為連續(xù)曲線；離散型隨機變量分布函數(shù)的圖形一般為階梯曲線。47分布函數(shù)F(x)性質(zhì)注：具有這樣四個性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分布函數(shù)。故該四個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。48分布函數(shù)與概率函數(shù)(離散型)關系這是因為在一般的公式中,要考慮x1,x2,…并非按從小到大的次序排列的可能性.若分布函數(shù)為F(x),則概率密度為

pk=P(X=xk)=F(xk)-F(xk-0)(k=1,2,3,…)49分布函數(shù)與分布密度(連續(xù)型)關系對任意實數(shù)b，若X～f(x)，(-<x<)，則P{X=b}＝0。于是若x是f(x)的連續(xù)點，則若X～f(x)，(-<x<)，則可見圖示50密度與分布的關系圖示x0f(x)x51進一步剖析可得：f(x)x0xx+x這表明f(x)不是X取值x的概率,而是它在x點概率分布的密集程度.52例題與解答例11：設X的分布函數(shù)為求f(x)。解：53例題與解答例12:設隨機變量X的概率密度為求1)

X分布函數(shù)F(x),2)P{0.5<X<1.5)}。解:1)

54續(xù)上頁所以，分布函數(shù)為：55續(xù)上頁2)P{0.5<X<1.5)}=P{0.5<X1.5}=F(1.5)-F(0.5)=7/8–1/8=6/8=3/456例題與解答例13：設隨機變量X只能取一個值c，即P{X=c}=1(此時，稱X服從“退化分布”)