一、選擇題1.如圖，在△ABC中，NACB=90。，點(diǎn)。在zc邊上且AD=BD,M是B。的中點(diǎn).若AC=16,6C=8,則CM等于( )A.5 B.6 C.8 D.10A解析：A【分析】根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，得出CM=；BD，設(shè)CM=x，則BD=AD=2x，再根據(jù)勾股定理列方程求解即可得出答案.【詳解】解：NACB=90。，m是bd的中點(diǎn)，/.CM=1BD2設(shè)CM=x，則BD=AD=2x,/AC=16CD=AC—AD=16—2x在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得BC2+CD2=BD2即82+(16-2x>=(2x>解得：x=5，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.2.如圖，將長方形紙片沿對(duì)角線折疊，重疊部分為△BDE，則圖中全等三角形共有()0對(duì)1對(duì)20對(duì)1對(duì)2對(duì)3對(duì)C解析：C【分析】因?yàn)閳D形對(duì)折，所以首先4CDB至△ABD,由于四邊形是長方形，進(jìn)而可得△ABE至△CDE,如此答案可得.【詳解】解：:△BDC是將長方形紙片ABCD沿BD折疊得到的，/.CD=AB,AD=BC,BD=BD,/.△CDB至△ABD(SSS),/.ZCBD=ZADB/.EB=ED/.CE=AE又AB=CD/.△ABE至△CDE,「?圖中全等三角形共有2對(duì)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.做題時(shí)要由易到難，循序漸進(jìn).3.如圖，在△?C中，D,E分別是的中點(diǎn)，5C=12,F是。￡的上任意一點(diǎn)，連接ARC7"DE=3DF,若N"C=90。，則AC的長度為()A.4 B.5 C.8 D.10C解析：C【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE,根據(jù)題意求出EF,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】解：:D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，??.DE是^ABC的中位線，…DE=-BC=6,2?「DE=3DF,「.EF=4,■:乙AFC=90°,E是AC的中點(diǎn)，AC=2EF=8,故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.4.如圖，在平行四邊形ABC。中，ZB+ZD=100°,則等于（）A.50° B.65° C.100° D.130°A解析：A【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等求出NB即可得解.【詳解】解：MBCD中，ZB=ZD,-：ZB+N0=100°,乙—xl00°=50°,2故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，主要利用了平行四邊形的對(duì)角相等是基礎(chǔ)題..平行四邊形一邊的長是12cm，則這個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線長可以是（）A.4cm或6cmb.6cm或10cmc.12cm或12cmd.12cm或14cmD解析：D【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OA=2AC,OB=2BD,然后利用三角形三邊關(guān)系分析求解即可求得答案.【詳解】解：:四邊形ABCD是平行四邊形，:OA=—AC,OB=—BD,2 2A、;AC=4cm,BD=6cm,

0A=2cm,0B=3cm,OA+OB=5cm<12cm,不能組成三角形，故不符合;B、AC=6cm,BD=10cm,0A=3cm,0B=5cm,OA+OB=8cm<12cm,不能組成三角形，故不符合;C、AC=12cm,BD=12cm,0A=6cm,0B=6cm,OA+OB=12cm=12cm,不能組成三角形，故不符合;D、AC=12cm,BD=14cm,0A=6cm,0B=7cm,OA+OB=13cm>12cm,能組成三角形，故符合;故選D.【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系.注意掌握平行四邊形的對(duì)角線互相平分.C.OA=OC,OB=ODB.ADIIBC,AB=CD.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,下列條件不能判定四邊形ABCDC.OA=OC,OB=ODB.ADIIBC,AB=CDD.AB=CD,AD=BCB解析：B【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法即可判斷.【詳解】A、B、CA、B、C、D、根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以判定;無法判定，四邊形可能是等腰梯形，也可能是平行四邊形;根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以判定；根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以判定;故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理..如圖，直線，上有三個(gè)正方形。力,若“，c的邊長分別為1和3,則b的面積為（）

A.8B.9C.10D.A.8B.9C.10D.11C解析：C【分析】運(yùn)用正方形邊長相等，再根據(jù)同角的余角相等可得然后證明AACB=ADCE,再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和勾股定理來求解即可.【詳解】解：如圖：由于〃、b、。都是正方形，所以AC=CD,ZACD=90°；/ZACB+ZDCE=AACB+ABAC=90°,即Z-BAC=/ECD,在AA5C和ACH）中，/ABC=/CED=90。<ZACB=ZCDE,AC^DC.\AACB=ACDE(AAS),:.AB=CE,BC=DE；在RtAABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2^DE2=12+32=10,即S=10,b則b的面積為10,故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)全等三角形和勾股定理的綜合運(yùn)用，證明AACB=ADCE是解題的關(guān)鍵.8.如圖，菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=4,E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，將4CDE沿CE折疊，得到ACFE,則4BCF面積的最大值是()B CB CA.8 B.8。3 C.16 D.16<3A解析：A【分析】由三角形底邊BC是定長，所以當(dāng)^BCF的高最大時(shí)，△BCF的面積最大，即當(dāng)FC±BC

時(shí)，三角形有最大面積.【詳解】解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4又???將△CDE沿CE折疊，得到4CFE,FC=CD=4由此，△BCF的底邊BC是定長，所以當(dāng)4BCF的高最大時(shí)，△BCF的面積最大，即當(dāng)FC_LBC時(shí)，三角形有最大面積「.△BCF面積的最大值是?尸。=Jx4x4=82 2故選：A.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，掌握三角形面積的計(jì)算方法和菱形的性質(zhì)正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵.9.如圖，已知在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，將正方形的邊CD沿DE折疊到DF,延長EF交AB于點(diǎn)G,連接DG.現(xiàn)有如下4個(gè)結(jié)論：①AG=GF；②AG與EC一定不相等；③/GDE=45。；④△BGE的周長是一個(gè)定值.其中正確的個(gè)數(shù)為（）解析：C234解析：C234C【分析】根據(jù)HL證明△ADGM△FDG,根據(jù)角的平分線的意義求NGDE,根據(jù)GE=GF+EF=EC+AG,確定國BGE的周長為AB+AC.【詳解】根據(jù)折疊的意義，得△DEC^△DEF,「.EF=EC,DF=DC,NCDE=NFDE,DA=DF,DG=DG,/.RtAADG至RtAFDG,/.AG=FG,NADG=NFDG,/.ZGDE=ZFDG+ZFDE二一(NADF+ZCDF)=45°,「△BGE的周長=BG+BE+GE,GE=GF+EF=EC+AG,「.△BGE的周長=BG+BE+EC+AG=AB+AC,是定值，，正確的結(jié)論有①③④，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形中的折疊變化，直角三角形的全等及其性質(zhì)，角的平分線，三角形的周長，熟練掌握折疊的全等性是解題的關(guān)鍵.10.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,ZACD=30。，若^ABC的周長比aAOB的周長大10,則AB的長為().A.10<3 B.5<3 C.10 D.20A解析：A【分析】由矩形的性質(zhì)和已知條件求出AB=\；3BC,BC=10,即可得出答案.【詳解】解：:四邊形ABCD是矩形，，AO=CO=DO=BO,AD=BC,ZABC=90°,ABIICD,，ZBAC=ZACD=30°,?二ab=\,：3bc,「△ABC的周長=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC,△AOB的周長=AB+AO+BO,又「ABC的周長比^AOB的周長長10,，AB+AC+BC-(AB+AO+BO)=BC=10,，ab、3BC=10<3；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，求

出BC的長是解題的關(guān)鍵.二、填空題11.如圖，在平行四邊形A5C。中，AD=2CD,F是AD的中點(diǎn)，CE1AB,垂足E在線段上.下列結(jié)論①4DCF=NECF；@EF=CF;（3）ZDFE=3ZAEF；④中，一定成立的是 .（請?zhí)钚蛱?hào)）BEC CEr勺一1 a②③④【分析】如圖延長EF交CD的延長線于H作ENIIBC交CD于NFKIIAB交BC于K利用平行四邊形的性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可解決問題【詳解】解：如圖延長EF交CD的延長線于H作ENII解析：②③④【分析】如圖延長EF交CD的延長線于H.作ENIBC交CD于N,FKIAB交BC于K.利用平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可解決問題.【詳解】解：如圖，延長EF交CD的延長線于H.作ENIBC交CD于N,FKIAB交BC于K.丁四邊形ABCD是平行四邊形，「.ABICH,「.NA=NFDH,在^AFE和^DFH中，叱A=/FDH</AFE=/HFD,^AF=DF△AFEM△DFH,;CE±AB,ABICH,「.NECH=90°CF=EF=FH,故②正確，;DF=CD=AF,「.NDFC=NDCF=NFCB,「NFCB〉NECF...NDCF〉NECF,故①錯(cuò)誤，.「FKIAB,FDICK四邊形DFKC是平行四邊形，

,AD=2CD,F是AD中點(diǎn),.DF=CD,「?四邊形DFKC是麥形，ZDFC=ZKFC,AEIIFK,ZAEF=ZEFK,FE=FC,FK±EC,ZEFK=ZKFC,ZDFE=3ZAEF,故③正確，???四邊形EBCN是平行四邊形,''BEC-^Aenc'.「Saehc=2Saefc，S-hc>Saenc,???Sabec<2S*ef，故④正確，故正確的有②③④.故答案為②③④.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.12.在正方形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，點(diǎn)P在正方形的邊上，若NAEB=105°,AE=EP,則NAEP的度數(shù)為.60°或90°或150°【分析】首先根據(jù)題意作出正方形以及NAEB再以E為圓心EA為半徑作圓與正方形的交點(diǎn)即為滿足條件的P點(diǎn)分類討論即可【詳解】如圖所示在正方形ABCD中NAEB=105°.?點(diǎn)P在正解析：60°或90°或150°【分析】首先根據(jù)題意作出正方形以及NAEB,再以E為圓心，EA為半徑作圓，與正方形的交點(diǎn)即為滿足條件的P點(diǎn)，分類討論即可.【詳解】如圖所示，在正方形ABCD中，NAEB=105°,???點(diǎn)P在正方形的邊上，且AE=EP,「?可以E為圓心，EA為半徑作圓，與正方形的交點(diǎn)即為滿足條件的P點(diǎn)，①當(dāng)P在AD上時(shí)，如圖，AE=EPp丁NEBA=45°,

ZEAB=180o-45°-105o=30°,NEAPy。。，△EAP*等邊三角形，此時(shí)NAEP『60°；②當(dāng)P在CD上時(shí)，如圖，AE=EP2，AE=EP3，由①可知NDEP『180°；05°-60°=15°,此時(shí)NDEP『nDEP2=15o,ZCEP2=ZAEP『60°,止匕時(shí)NAEP2=60o+15o+15o=90°；ZAEP3=2ZAED=2x(180°-105°)=150°,故答案為：60?；?0?；?50。.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定，熟練運(yùn)用尺規(guī)作圖的方式進(jìn)行等腰三角形的確定是解題關(guān)鍵.13.如圖，直角三角形ABC中，ZACB=90°,CD_LA5于點(diǎn)。，Ab平分/C鉆交CD于點(diǎn)￡,交于點(diǎn)尸，EGHAB交CB千HG,FH1AB于H,以下4個(gè)結(jié)論：@ZACD=ZB;②△CEF是等邊三角形；③CD=FH+DE；④5G=CE中（將正確結(jié)論的序號(hào)填空）正確的是,①③④【分析】連接EH（將正確結(jié)論的序號(hào)填空）正確的是,①③④【分析】連接EH得出平行四邊形EHBG推出BG=EH求出NCEF=ZAFC得出CE=CFffiACAE空△HAE推出CE=EH即可得出答案【詳解】解：如圖連接EH'/ZACB=90°/.Z3+Z4=9解析：①③④【分析】連接EH,得出平行四邊形EHBG,推出BG=EH,求出NCEF=NAFC,得出CE=CF,證△CAEM△HAE,推出CE=EH,即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接EH,丁NACB=90°,」.N3+N4=90°,;CD±AB,「.NADC=90°,「.NB+N4=90°,N3=NB,故①正確；丁NADC=NACB=90°,」.N1+NAFC=90°,N2+NAED=90°,丁AE平分NCAB,「.N1=N2,丁NAED=NCEF,「.NCEF=NAFC,「.CE=CF,「.△CEF是等腰三角形，故②錯(cuò)誤;丁AF平分NCAB,FH±AB,FC±AC,「.FH=FC,在RtACAF和RtAHAF中，JAF=AF[CF=FH，「.RtACA碎RtAHAF(HL),「.AC=AH,在△CAE和△HAE中，產(chǎn)二AH<Z1=Z2,、AE=AE「.△CAE^△HAE(SAS),:.N3=NAHE,CE=EH,;N3=NB,「.NAHE=NB,「.EHIIBC,;CD±AB,FH±AB,「.CDIFH,??四邊形CEHF是平行四邊形，「.CE=FH,「.CD=CE+DE=FH+DE,故③正確；「EGIIAB,EHIIBC,??四邊形EHBG是平行四邊形，「.EH=BG,CE=EH,BG=CE.故④正確.所以正確的是①③④.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，有一定的難度.14.如圖，在心AABC中，ZACB=9Q\AC=6,AB=10,過點(diǎn)A作AM//C瓦。石平分NACB交40于點(diǎn)瓦。是線段上的點(diǎn)，連接8。，過點(diǎn)5作成_LBQ交于點(diǎn)延長線于點(diǎn)G過點(diǎn)Q作QF±CB運(yùn)用AAS定理證明^QBF空△BPG根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義求得^AEC為等腰直角三角形利用勾股定理求得線段BC的長然后結(jié)合全解析：10【分析】過點(diǎn)P作PGLCB，交CB的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)Q作QFLCB，運(yùn)用AAS定理證明△QBFM△BPG，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義求得△AEC為等腰直角三角形，利用勾股定理求得線段BC的長，然后結(jié)合全等三角形和矩形的性質(zhì)求解.【詳解】解：過點(diǎn)P作PGLCB,交CB的延長線于點(diǎn)G,過點(diǎn)Q作QF±CB丁BP,BQ,PG±CB」.N1+N2=90°,N2+N3=90°「.N1=N3;QF±CB,BP,BQ「.NQFB=NPGB=90°又「APBQ為等腰三角形「.QB=PBZ1=Z3/QFB=/PGBQB=PB

△QB碎△BPGPG=BF,BG=QF???ZACB=90°,CE平分NACBZACE=ZECB=45°又「AMIICB,ZAEC=ZECB=45°ZAEC=ZACE=45°AEC為等腰直角三角形AMIIBC,ZACB=90°ZCAM+ZACB=180°,即NCAM=90°ZCAM=ZACB=ZPGB=90°「?四邊形ACGP為矩形，PG=AC=6,AP=CG在RSABC中，BC=^2-AC2=8CF=BC-BF=BC-PG=8-6=2QF±BC,ZECB=45°CQF是等腰直角三角形，即CF=QF=2AP=CG=BC+BG=BC+QF=8+2=10【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵15.如圖，在四邊形ABC。中，/ABC=150。，BD平分/ABC，過A點(diǎn)作AE//BC交BD于點(diǎn)E,EF±BC于點(diǎn)F若AB=6，則EF的長為.3【分析】過點(diǎn)3【分析】過點(diǎn)A作AM±CB交CB延長線于點(diǎn)M根據(jù)題意可知NABM=30°可求AM=3再利用平行四邊形的性質(zhì)求出EF【詳解】解：過點(diǎn)A作AM_LCB交CB延長線于點(diǎn)M：ZABM=30°/.AM=AB=解析：3【分析】過點(diǎn)A作AM_LCB,交CB延長線于點(diǎn)M,根據(jù)題意可知，ZABM=30°,可求AM=3,再利用平行四邊形的性質(zhì)，求出EF.【詳解】解：過點(diǎn)A作AM_LCB,交CB延長線于點(diǎn)M,?//ABC=150。，ZABM=30°,AM=1AB=1-x6=3,AM±CB,EFLBC,：.AMIIEF,.AE//BC,「?四邊形AMFE是平行四邊形，AM±CB,「?四邊形AMFE是矩形，EF=AM=3,【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定，恰當(dāng)?shù)淖鬏o助線，構(gòu)造特殊的直角三角形是解題關(guān)鍵.16.如圖，矩形ABCD中，AD=10,AB=14，點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D,若D落在/ABC的平分線上時(shí)，DE的長為.…機(jī) 1c：/\ 5或【分析】連接BD‘過D'作MN±AB交AB于點(diǎn)MCD月右 1于點(diǎn)N作D'P±BC交BC于點(diǎn)P先利用勾股定理求出MD’再分兩種情況利用勾股定理求出DE【詳解】解：如圖連接BD‘過D'作MN±AB交AB于點(diǎn)10解析：5或1【分析】連接BD’,過D'作MNLAB,交AB于點(diǎn)M,CD于點(diǎn)^作D'P±BC交BC于點(diǎn)P,先利用勾股定理求出MD’,再分兩種情況利用勾股定理求出DE.【詳解】解：如圖，連接BD‘，過D'作MNLAB，交AB于點(diǎn)M，CD于點(diǎn)仙作D'P^BC交BC于點(diǎn)P???點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在NABC的角平分線上,「.MD'=PD'，設(shè)MD'二x，貝UPD'=BM=x，「.AM=AB-BM=14-x，又折疊圖形可得AD=AD'=10，:x2+(14-x)2=100，解得x=6或8，即MD'=6或8.在RSEND'中，設(shè)ED'=a，①當(dāng)MD'=6時(shí)，AM=14-6=8，D?N=10-6=4，EN=8-a，?=a2=42+(8-a)2，解得a=5，即DE=5，②當(dāng)MD'=8時(shí)，AM=14-8=6，D?N=10-8=2，EN=6-a，:a2=22+(6-a)2，10 210解得a=—，即DE=—.、10故答案為：5或—.【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，解題的關(guān)鍵是明確掌握折疊以后有哪些線段是對(duì)應(yīng)相等的.17.如圖，在平行四邊形ABCD中，BF平分NABC，交AD于點(diǎn)F，CE平分NBCD，交AD于點(diǎn)E，AB=8，EF=1，則BC長為.a產(chǎn)fp/ 15【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出8 CNABF=NAFB得出AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF的長即可求出BC的長

【詳解】解：:四邊形ABCD是平行四邊形ADIIBCDC=AB=8A解析：15【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出NABF二NAFB,得出AF=AB=8,同理可得DE=DC=8,再由EF的長，即可求出BC的長.【詳解】解：二?四邊形ABCD是平行四邊形，/.ADIIBC,DC=AB=8,AD=BC,/.ZAFB=ZFBC,,/BF平分NABC,ZABF=ZFBC,則NABF=ZAFB,/.AF=AB=8,同理可證：DE=DC=8,,/EF=AF+DE-AD=1,即8+8-AD=l,解得：AD=15；故答案為：15.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證出AF二AB是解決問題的關(guān)鍵.18.如圖，矩形ABC。全等于矩形座FG,點(diǎn)C在5G上，連接。尸，點(diǎn)H為。尸的中點(diǎn)，若AB=2。，BC=12,則CH的長為.【分析】連接并延長交于Q【分析】連接并延長交于Q由矩形的性質(zhì)得出由平行線的性質(zhì)得出由證得得出則是等腰直角三角形得出由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果【詳解】如圖所示：連接并延長交于Q:矩形全等于矩形??????丁點(diǎn)H為的中點(diǎn)解析：4、；2【分析】連接GH并延長GH交CD于Q，由矩形的性質(zhì)得出AB=CD=BG=20，BC=FG=12，F(xiàn)G//AE//CD,/GCQ=90。，由平行線的性質(zhì)得出NHFG=NHDQ，由A5A證得△〃尸G04HDQ，得出DQ=FG=12,HG=HQ,CG=BG-BC=8,CQ=CD-DQ=8,則^GC。是等腰直角三角形，得出GQ=竣CQ=8<2，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示：連接GH并延長GH交CD于Q,;矩形ABCD全等于矩形BEFG，...AB=CD=BG=20，BC=FG=12，F(xiàn)G//AE//CD，ZGCQ=90。，ZHFG=ZHDQ，?.?點(diǎn)H為DF的中點(diǎn)，「.HF=HD，，ZHFG=ZHDQ在^HFG和aHDQ中，｛HF=HD ，ZGHF=ZQHD...aHFG與HDQ(ASA),...DQ=FG=12,HG=HQ,CG=BG—BC=20—12=8,CQ=CD-DQ=20-12=8,.aGCQ是等腰直角三角形，.GQ=廣CQ=8R,在Rt^GCQ中，HG=HQ,.CH=2GQ=2X8<2=4v'2,故答案為：4<2.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵..如圖，在RtAABC中，NACB=90°,D是斜邊AB中點(diǎn)，若/B=30°,AC=2,貝UCD=【分析】先由所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求解再利用直d D S角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得答案【詳解】解：ZACB=90°ZB=30°AC=2D是斜邊AB中點(diǎn)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是含的直角三角形解析：2.【分析】先由30。所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求解再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得答案.【詳解】解：Z/\CB=90°,Z8=30°,AC=2,/.AB=2AC=4,；。是斜邊八8中點(diǎn),CD=-AB=2.2故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查的是含30。的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵..如圖所示，在口ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)。，若/DAC=ZEAC,AE=4,AO=3，則S 的面積為 .AAEC，/;，二子/ 【分析】先證明△AEC是等腰三角形再證OELAC然sEC后用勾股定理求出OE即可求【詳解】解：如圖1連接OE,「四邊形ABCD是平行四邊形「.OA=OC=3ADIIBC「.NDAC=NACB又：：.NACB=NEA解析：3<7【分析】先證明△AEC是等腰三角形，再證OELAC,然后用勾股定理求出OE,即可求工人.AAEC【詳解】解：如圖1,連接OE,AB￡C圖1丁四邊形ABCD是平行四邊形，OA=OC=3,ADIIBC,「.NDAC=NACB,又:/DAC=/EAC,「.NACB=NEAC,AE=EC=4,「.△AEC是等腰三角形，「.OE±AC,在RSAOE中，由勾股定理得，AO2+OE2=AE2,「?32+OE2=42,???OE=J7,1一。一u「.s=一義6義久7=3%；7,2AEC 2故答案是：3<7.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等相關(guān)知識(shí)，證明^AEC是等腰三角形是解本題的關(guān)鍵.三、解答題.已知：在Rt△ABC中，/BAC=90,DE是直角邊AB的垂直平分線，/DBA=/ABC，連接AD.求證：（1）四邊形ADBC是梯形；（2）AD=-BC.2解析：（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）利用垂直平分線的性質(zhì)可得到AD=BD,利用等邊對(duì)等角可得到NDBA=NDAB,進(jìn)而可以證明ADIIBC,可以證出四邊形ADBC是梯形；（2）延長DE交BC于F,證明△BDEM△BFE,從而得出四邊形ACFD是平行四邊形，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】證明：（1）如圖，

DE是AB的垂直平分線，AD=BD,ZDBA=ZDAB,ZDBA=ZABC,ZABC=DAB,ADIIBC,AC與BD不平行，「?四邊形ADBC是梯形，(2)如圖，延長DE交BC于F,D 衛(wèi)丁NDBA=NABC,BE=BE,NDEB=NBEF=90°,「.△BDEM△BFE,BF=BD=AD,丁NBAC=NBEF=90°,「.DFIIAC,「ADIIBC,???四邊形ACFD是平行四邊形，「.AD=FC,FC=BF=AD,「?AD=1BC.2【點(diǎn)睛】此題主要考查了梯形的判定，垂直平分線的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，利用線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，以及作出輔助線(延長DE交BC于F),是解決問題的關(guān)鍵.22.綜合與實(shí)踐：問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師和同學(xué)們一起以“矩形的旋轉(zhuǎn)”開展數(shù)學(xué)活動(dòng).具體操作如下：第一步：如圖1,將長與寬都相等的兩個(gè)矩形紙片ABCD和EFGH疊放在一起，這時(shí)對(duì)角線AC和EG互相重合.FBAEFBAE第二步：固定矩形ABCD,將矩形￡FG"繞AC的中點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，直到點(diǎn)￡與點(diǎn)5重合時(shí)停止.問題解決：(1)奮進(jìn)小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)邊與EF交于點(diǎn)"，邊CD與GH交于點(diǎn)、N,如圖2、圖3所示，請寫出線段40與CN始終存在的數(shù)量關(guān)系，并利用圖2說明理由.(2)奮進(jìn)小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)開始后，當(dāng)兩個(gè)矩形紙片重疊部分為四邊形MRNQ時(shí)，如圖3所示，請你猜測四邊形MRNQ的形狀，并試著證明你的猜想.探索發(fā)現(xiàn)：(3)奮進(jìn)小組還發(fā)現(xiàn)在問題(2)中的四邊形MRNQ中/MQN與旋轉(zhuǎn)角/AOE存在著特定的數(shù)量關(guān)系，請你寫出這一關(guān)系，無需說明理由.解析：(1)AM=CN，理由見解析；(2)四邊形MRNQ為菱形，證明見解析；(3)/MQN=/AOE【分析】(1)結(jié)論：AM=CN.先證明△AOS^△COT(AAS)，推出AS=CT,OS=OT,/3=/4，再證明△ESM^△GTN(ASA)即可解決問題.(2)過點(diǎn)Q作QK±EF,QL,CD,垂足分別為點(diǎn)K,L.首先證明四邊形QMRN是平行四邊形，再證明QM=QN即可.(3)結(jié)論：NMQN=NAOE.理由三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可解決問題.【詳解】(1)關(guān)系：AM=CN理由：如圖：設(shè)EG分別與AB、CD相交于點(diǎn)S、T；?「四邊形ABCD與EFG"都是矩形，且點(diǎn)。為對(duì)角線的中點(diǎn);..AB//CD,EF//GH,OA=OC,OE=OG.Z1=Z2；又ZAOS=ZCOT△AOS也△C"(AAS)AS=CT,OS=OT；..ES=GT.又EFUGH,，/5=/6；又/l=/2；Z3=Z4AESM^AG77V(ASA)SM=TN,則AS+5M=C7+77V即AM=CN(2)四邊形"RNQ為菱形.證明：過點(diǎn)Q作QK_LEF,QL_LCD,垂足分別為點(diǎn)K,L.G由題可知：矩形ABC四矩形EFGHAD=EH,ABIICD,EFIIHG四邊形QMRN為平行四邊形，-/QK±EF,QL_LCD,/.QK=EH,QL=AD,ZQKM=ZQLN=90°/.QK=QL,又?「ABHCD,EFIIHG,/.ZKMQ=ZMQN,ZMQN=ZLNQ,/.ZKMQ=ZLNQ,/.△QKM且△QLN(AAS)/.MQ=NQ???四邊形mknq為菱形.(3)結(jié)論：ZMQN=ZAOE.理由：如圖中，,/ZQND=Z1+Z2,ZAOE=Z1+Z3,又由題意可知旋轉(zhuǎn)前N2與N3重合,/.Z2=Z3,/.ZQND=ZAOE,,/ABHCD,/.ZMQN=ZQND,/.ZMQN=ZAOE.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找確定的三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題.23.如圖，在口ABCD中，5P分別是N0AB和/CBA的角平分線，已知AD=5.(1)求線段AB的長；(2)延長AP，交BC的延長線于點(diǎn)Q.①請?jiān)诖鹁砩涎a(bǔ)全圖形；②若BP=6,求△A6Q的周長.解析：(1)10；(2)①見解析；②36【分析】(1)依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到DP=AD=5,CP=BC=5,進(jìn)而得出AB的長；(2)①根據(jù)題意畫出圖形；②依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到AB=QB,再根據(jù)BP平分NABQ,即可得出BP_LAQ,AP=QP,依據(jù)勾股定理得出AP的長，進(jìn)而得到△ABQ的周長.【詳解】解：(1).?.在dABCD中，AD=5,BC=5,ABIICD,ZBAP=ZDPA,AP平分NBAD,ZBAP=ZDAP,ZDAP=ZDPA,DP=AD=5,同理可得，CP=BC=5,CD=10,AB=10；(2)①如圖所示:②:ADIIBQ,「.NQ=ZDAP,又「NDAP=NBAP,「.NQ=NBAP,AB=QB=10,又:BP平分NABQ,「.BP±AQ,AP=QP,???RtAABP中，AP=、252—BP2=8,「.AQ=16,「.△ABQ的周長為：16+10+10=36.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解題時(shí)注意：平行四邊形的對(duì)邊平行，對(duì)邊相等.24.已知：如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)￡為邊A5的中點(diǎn)，連結(jié)。點(diǎn)尸在。石上CF=CD,過點(diǎn)尸作尸G,尸。交AD于點(diǎn)G.(1)求證：GF=GD；(2)聯(lián)結(jié)A尸，求證：AF1DE.AGD解析：(1)見解析；(2)見解析【分析】(1)由CF=CD可證得=方，因?yàn)?ADC=/GFC=90°,所以/GFD=/GDF,再由等腰三角形的判定即可得證；(2)因?yàn)镃F=CD,G/=GQ,所以GC是ED的垂直平分線，再證△0AE04CDG由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得=DG,這樣AG=GD=GF即可解決問題；【詳解】證明：(1)；四邊形ABC。是正方形，ZADC=90°,?/FG：LFC,ZGFC=90°,-CF=CD:.ZCFD=ZCDE,；,/GFC-NCFD=NADC-NCDE,BpZGFD=ZGDF,GF=GD.(2)如圖，連結(jié)CG.s c???CF=CD,GF=GDs c???CF=CD,GF=GD?二點(diǎn)G、C在線段FD的中垂線上,GC1DE,「./CDF+ZDCG=90°,vZCDF+ZAPE=90°,，/DCG=/ADE.四邊形A8CD是正方形，AD=DC,ZDAE=ZCDG=90°,:.ADAE^ACDG,/.AE=DG,一點(diǎn)￡是邊AB的中點(diǎn)，.??點(diǎn)G是邊AO的中點(diǎn)，,\AG=GD=GF,ZDAF=ZAFG,ZGDF=ZGFDDAF+AAFG+^GFD+AGDF=180°,2ZAFG+2ZGFD=180°ZAFD=90°,即AfDE【點(diǎn)睛】本題是正方形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等知識(shí)，側(cè)重考查了學(xué)生的邏輯推理能力和對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力.25.已知：如圖，在四邊形ABC。中，點(diǎn)G在邊的延長線上，CE平分/BCD、CF平分/GCD,E尸//BC交CD于點(diǎn)O.(1)求證：OE=OF；(2)若點(diǎn)。為的中點(diǎn)，求證：四邊形NCF是矩形.解析：(工)見解析；(2)見解析【分析】(1)由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可證得/DCE=/壓。，/EFC=/DCF,得OE=OC,OF=OC,即可得出結(jié)論；(2)先證得四邊形OECF是平行四邊形，再利用角平分線的定義可求得N￡CF=90。,則可證得四邊形。為矩形.【詳解】證明：(I)：CE平分/BCD、CF平分/GCD/.ZBCE=ZDCE,ZDCF=ZGCFEFIIBC,/.ZBCE=ZFEC,ZEFC=ZGCFZDCE=ZFEC,/EFC=/DCF..OE=OC,OF=OC,/.OE=OF.(2)二?點(diǎn)。為CD的中點(diǎn)，OD=0C，又OE=OF,「?四邊形NCF是平行四邊形.CE平分/BCD、CF平分ZGCD,1??ZDCE=—ZBCD,/DCF=—/DCG2 2「./DCE+/DCF=1(/BCD+/DCG)」/BCG=90。2 2:/DCE+ZDCF=ZECF,/ECF=90°???四邊形decf是平行四邊形，???平行四邊形DECF是矩形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵.26.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BA的延長線上，且PB=PE，連結(jié)DE.(1)求證：PD=PE.(2)試判斷DE和BP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.解析：(1)見解析；(2)DE=、打BP，見解析【分析】(1)根據(jù)SAS證明△APD^AAPB可得pd=PB,再結(jié)合PD=PE即可得出結(jié)論;(2)證明QPE是等腰直角三角形即可得出結(jié)論.【詳解】解：(1)證明：:四邊形ABCD是正方形，「.AB=AD,丁AC是正方形ABCD的對(duì)角線，ACAD=ZCAB=45。;AP=AP,aAPD^aAPB(SAS),PD=PB,PB=PE,/.PD=PE.DE=<2SP.理由如下：;由（1）知，△APD^AAPB,PD=PB=PE,設(shè)ZPEB=ZPBE=ZPDA=x。，ZEPB=180。-2x。，「ZDAP=45。，ZDPA=ZBPA=180?！?5?！獂=135?！獂。，ZAPE=ZEPB—ZBPA=180?！?x?！?35。—x。）=45。—x。，ZDPE=ZDPA—ZAPE=135。一x。一（45。一x。）=90。.adpe是等腰直角三角形，二DE=<2DP=\：2BP.【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.27.如圖，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD=10cm,ZA=ZB=ZC=ZD=90。，點(diǎn)E在邊AB上，且AE=4cm，如果點(diǎn)P在線段BC上以2cmz秒的速度B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段