高斯函數(shù)的定義和基本性質(zhì)第五講高斯函數(shù)的定義與基本性質(zhì)【知試掃描】(一)定義設(shè)上是實數(shù).不超過」的最大整數(shù)記為［工］，稱1WI為高斯函數(shù).將［工］叫做E的整數(shù)部分.工一［］］叫做T的小數(shù)部分.記為《工》.(二)基本性質(zhì)(1［R［+{"I10W><Z1；⑵工—y［編《01+1彳(3}：聲+?。?u-［1［I1升-JT}—{T}-tFl￡Z；(4)若①Wy,則(5)當艘WZ時,［—/=一］丈L當h-Z時工一=［=—M—L(6)若打EM+hEK*則「電】=「3入W|H? —si仃)［句―f.-{三}高斯函數(shù)的圖象對于函數(shù),=［>，其定義域是全體實數(shù)?值域是整數(shù)集乙對任意整數(shù)明函數(shù)y工［/在［八口卜n上的圖形是一段平行于七軸的線段(不含右端點).因此可以說高斯函數(shù)的圖象是成階梯狀分布的.且在每個整點上都有?個跳躍型的間斷.【例題講解】例I例I計算和式$=1|509|的值.例"求嬴'「贏「”，|奇含這2。。5個數(shù)中不同的值的個數(shù).培優(yōu)專 題講座 高斯函數(shù)的定義和基本性質(zhì)例3求函數(shù)I&〕斗⑶升〔7-在上所取的不同的整數(shù)值的午數(shù). ————例4求正整數(shù)島刁的末兩位數(shù)字.例5(4)05年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題｝定義函數(shù)為完全平方數(shù)"*'=1蘇"不為完全平方數(shù)例6證明由%二%vn定義的序列恒?中.有無窮多個項是？的整數(shù)彈.高斯函數(shù)的定義和基本性質(zhì)高斯函數(shù)的定義和基本性質(zhì)【能力訓(xùn)練】一、選擇題L條件[工]=[3]是條件|m—）1V1的（）A.充分不必耍條件 區(qū)必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要的條件口心+疹）皿1的個位量字是1）TOC\o"1-5"\h\zA.0 1 C8 D.93.函數(shù)/⑺=[]:小[2￡+]苧]I[吩]+[4]]>h￡[QJOO],則/⑴的值域的元素力數(shù)為t）A.734 B,733 C,701 D.700上每一個大于2的正整敷口都可以表示成若干個兩兩不等的正整數(shù)的和，這個數(shù)的最大值為43）,用力表示八（力）為C >AF.E"]— rr+1T]"IC「/.+3—11D「代13+11■. 2 2J1I2 '_ 2IW叫 1 1 .5-求期而包eF5d而）的值'得電 ）A+—I B.1 C.0 D*-J6?定義數(shù)列（口崔｝，幽「=f =2,口/工=% ?nGN4,則P—1?I—\*I—I0」 \arI必f的值為《的值為《A,2A,2D.二、填空題7.二、填空題7.役足是給定的大于1的正整數(shù)+共瑕布正喔數(shù)AVn。使得口|十L.和式S=Z「需]的值為w^-3JU□.前1。。0個正整數(shù)中可以表示成[2fJ+[4工1+[5=]+[芯工]的正整載有個.1L設(shè)父>。中則函數(shù)『1）=「1-的值域是[1[*Lh」+1_工」十Lk」+1 1匕設(shè)盤是方程/-3/+1-0的最大正根.則匚口打口工力〈20%）這2006個數(shù)中共有個可以被17整除，三，解答朝.數(shù)列｛%｝定義如下皿.=卬3Je=0?1,2+…,證明,此被列中含南無窮多個完全平方虬.若〃陰遍所有正整款「證明：八/一'+熱+；.歷遇所有正整數(shù)，但數(shù)列以=3"—2打的項除外.15-對任意的在N一計笄和5=￡/茶￡:1-nI1

高斯函數(shù)的定義和基本性質(zhì)A設(shè)口-「?。?1y％則音素南匕■—_y!v1,技之下毒丁—一^手用=J,則|工一、|<1"且30［了］.kQ97Q97隊號吳由443=1936＜200€＜2025=45^知對任意6￡{1*2*2006},存在某個打4M＞￡{1 +—144}使禱打 ；1).此時[)】￡n（用+療尸猴=（5+2用P的.設(shè)/（心=<5+2用”+（5-2"尸（打￡21則/（?+2）=10/（H-b］）-y（n）=-f（n）（modlO）.故/（月+4）=一/y+2）三『（"）（mmilOL所以/5）是以4為周期的模周期函數(shù)『模為10.于是"1。。3）=八箝=一八1）——10=0（modi。7.A對于CWhWIOO.令h="+>其中?為非負整數(shù)"為實數(shù)且UM「<3.于是L人=}=［3打+曰+［5k+2打+57rL號十［9*十山二卜,1加卜4M=35打+/⑺..」所以對每個押2a在區(qū)間"?用+力上函數(shù)/給出的不同整數(shù)值的個教相同.由于八工）是階梯函數(shù).且它的值至少在點.「q'［3EIJ44之一跳跣.Wul函數(shù)JO在,3）上有以下22次跳%春十?。+i十言.//春1J.4d￡334j4JZd4FqC為一r”則 打+In―qC為一r”則 打+In―1 n-?若IrF＜Th則『一1二戟一LA不為整數(shù)，若『二明則:!工1,結(jié)合4=叩+1—匚1n一工 〃-1即將A與A＞維相矛質(zhì)所以只存r=l.即A=tj+L等上可知存在唯一的凡="+】滿足要求.99）上取不同值的個數(shù)為33X22-726.又因為/Q）在［99JOUj上所電不同值的不散與"外在［0"J上所取的不同俏個款相同+在匚0J］上有8次跳躍，故外公在［99.10。1土所取的不同的值的個數(shù)為8個.綜上可知，在［31M］上所取不同的整數(shù)值的個數(shù)為72648=73kA設(shè)同=工［十］七I…卜4口一4O」V…O#』均為正整款了則宥制法工,工士》？十…*h&”>A5L因此訂法1+2+…卜丹1h）=；?.4（擰）（4《龍】+1）■從而正整數(shù)小（門;達￡又并=1+計…+1又并=1+計…+1；r+(J\/8n~^~1-1十『卜其中工為整致且由神二]卜2寸…4A(")如工學(xué)0.所以A(n) ??.媒上所述.A")=￡■

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高斯函數(shù)的定義和基本性質(zhì)綜上所述,原式=0+{—;)+0X2+0X2002=6.C由修=1但工=2//t=an+??+L+”ENp易知對任意ntN.均有凡EN+.且?。加桑?”＜叫＜?，從而卜％「＜%[1%*”=%吁「即3＜：2.所以1Vs＜￡.于是一41□n1r3i _1-I=2￡.于是一41□n1r3i _1-I=2,工所以原式=工所以原式=HTk|--——.而由避推式%+￡=%?G”]及苗UI.」口睛%=2第通過救學(xué)歸給法知7*工為偶數(shù)舊“+1與。ma為奇數(shù)*￡N3所以曲.為偶數(shù),原式=2■駕■—=1.7.1設(shè)/=十nO＜r＜A.7.1設(shè)/=十nO＜r＜A.顯域且天打、因為若A=比就由u口+1+胃=1.但用AL矛盾!故需分0＜A＜w與用＜4V/兩種情況討論?由n'—-fiA(D^0＜八＜時時，由①及條件的人A1■廣彳星+1知打由n'—-fiA(D^0＜八＜時時，由①及條件的人A1■廣彳星+1知打A＜國則r而0＜A一尸U也所以不存在滿足+1O+L又由k1可設(shè)/￡4?I2牟3uUh￡J ■卜…/￡4?I2牟3uUh￡J ■卜…J1si?V.L31一2?44j-43J.2006-44j+1―43―877144+1=對舊?于是『/〈程+】.此時只可能有H=L這時七代入①有Ha=?A=2X4怎+3++T+…+就技原式=品471技原式=品47144 22B76304首先?若<萬十了}=1-則「工十?]=[工1十口1+ WR.事實上Jjt]+[y]-H=JT—~\~y—{3:+1=1+?+1—《{k卜+{_y)>=H+y.而由[H[+[y]+l=w+了這個式子可看出r故k—*=[工+田二，所以[i+>]=工+了=[k]I[,[+L503是一個質(zhì)救■因此,對于『產(chǎn)1"廠.5。215O2?j503是一個質(zhì)救■因此,對于『產(chǎn)1"廠.5。215O2?j503g?305w,305(503n)也龍六門就十，503503=305,或305n503[305<503-!1)： 503高斯函數(shù)的定義和基本性質(zhì)于是?305(5。3—庫)-503503 503所以3O5j?高斯函數(shù)的定義和基本性質(zhì)于是?305(5。3—庫)-503503 503所以3O5j?n503-305k503"5031^=304X251=76304.600令_f(x)—[2w]+l_4i_十_6工]*[H衛(wèi)].當衛(wèi)在仙］］中變化時一⑺的值在12個跳躍點y5 7可?可"處改變,所以汽了）在1-20中取12個不同的正整做值.另一方面戶上+/一/《工）+2而對任意正整數(shù)翼成立，將1-W00分為50段，每20個為1段，每段中可取12個值.故總共可取50X12=600個值,亦即在前1000個正整數(shù)中有60。個可表示成＞J+的形式.,1, 「R1H,furf-f）由對稱性不妨設(shè)士沁r（1）當了,=1時■*a』!〕注意到函數(shù)少h#?！乖诠ぃ?時為增函數(shù).,h￡考慮函數(shù)①■由于n^H,l?＜?+1考慮函數(shù)①■由于n^H,l?＜?+11則則a則an—an+/+1h+1)_1.+1.?十1 __ 2-rz(川+1Xfl+2)H(nH-l)(wH-2)于是當打?qū)W]時■有口l>文?%=&、5Oi<…+即4=心最小.兒—*i=加?1?11 = 2打T5-1)* (tt+2)2 (n41)s(nH2)2 "于是當心1時,有包＞也＞島＞'》-,即播最大.高斯函數(shù)的定義和基本性質(zhì)所以皆#>i時⑺的值域為于是八工)的值域為6[U'⑵251段方程工—卜1=。的三根依次為攻仇臼,則由/(-I)<O,/^-yJ⑴<口/2。<0.〃3)>。(這里/騎一下一3對+1。如可設(shè)一1<YT[ugl 由于*—G=-2j+(J—左十IX—2J>0.于是一日〈華周<四另一方面.由韋達定理切口?一日=￡a+^)r-2a^—(3—□)++?=9+-一，十&-9*-2，+"=1+又因為紙">/我爐=3?故簫+步VL定義日=/I,+15=0,1,2「｝則產(chǎn)口=3+的=￡i邛十口=3.修=1十爐+1-9,m=3的+工一跖^時二。，又因為。<￡二,<匕故一(/+7)=%一I—11—31t￥/門.所以[d]=%一1,3=1+1…3故17[￡1]=17|出一L現(xiàn)在考察｛入｝在K17意義下的情況工沖三孔4=3」產(chǎn)=9.小=九內(nèi)三13方三1八4三9.W手9?川=161a=5卜加出三6ym2q附㈠三I.川口三14,*加$三0三3中行三3?用電三9.…可見在模17下.是16為周期的模周期數(shù)列『即出』三內(nèi)(mod173故可知17|[口30總=4或12(modl6)L而在1<n<2006時，甫'「竿乂2十]=251個月滿足得三4或12(modi6)..證:設(shè)項EN一切為奇數(shù)中并記(作+1尸=小閥十%，其中/1興€、.由二項式定理羯(在一I尸=4心一山.將上述二式相乘得2式一始二L從而2—-yi+1于是有端V2rW=麓1f工+l)<fW+i).因此/<修丁.叢<3^+匚故「通工”二1一就，令用則/=["口，門=蝙?顯然.這樣的心有無期發(fā)個，命題得證..證土令收=1信十J1則高斯函數(shù)的定義和基本性質(zhì)門+走+，若VA十】>y3 271+上+2,若+ 1.L若招尹十;<點十匕則f5）磕打的增加逐次增加1;審+J-JMT?則/⑺跳過一個自然班什"L由于 +1^a/-1^+4-VM1 心 ￥ <3心1J—理+工>3（4+0）》打0打+1/3好+3加+三>打="=2*2+3A.4所以跳過的數(shù)為“十4+1=3^+;i*+E+i=3《人I12—2U41）=m3.又因為」口>=2.故『5）歷遍除數(shù)列%二3斯一射的項之外的所有正整數(shù).15,首先證明一個等式.I- 1-n對一切實數(shù)均有了十于一［2h1一口工二設(shè)了=［工］+fit,則。<&<1,于是有■r+y=Er］-|-cr+y=匚11+|ti+y（［2編一㈤=［MJ+Q-［兩+a戶㈤+1%］-［a］.由②與③知①式可以+1］=⑶卜［，K<L心當O￡nV!時中?<□+g<l+0<2a<1,于是TOC\o"1-5"\h\z1W LIfcr+f=。，［2口］—［or］=0,等式值+k=［24］一］仃］成立.■v ￡(1 1 q當卷<口<］時，1毛口十今<5JW“<2,于是u ￡j ju1 - L I-口十歹=1l2cQ—［cr］=1.等式c+y=［2仃］一