---------月---------日課

時(shí)間§12-2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

星期-----------------題

教學(xué)目的掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別方法.

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法，絕對(duì)

教學(xué)重點(diǎn)

收斂與條件收斂的概念.

教學(xué)難點(diǎn)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別方法.

課型專業(yè)基礎(chǔ)課

教法選擇講授

教法運(yùn)用及

教學(xué)過程

板書要點(diǎn)

一般情況下，利用定義或級(jí)數(shù)的性質(zhì)來判別級(jí)數(shù)的斂散性是很困難的，可

否有更簡單易行的判別方法呢？由于級(jí)數(shù)的斂散性可較好地歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)

的斂散性問題，因而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判定就顯得十分地重要。

一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

定義1若級(jí)數(shù)u中的每一項(xiàng)都是非負(fù)的(即u0,n1,2,)，

nn

n1

則稱級(jí)數(shù)u為正項(xiàng)級(jí)數(shù).

n

n1

對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于錯(cuò)誤!未找到引用源。，因而錯(cuò)誤!未找到引用源。，所

以正項(xiàng)級(jí)數(shù)u錯(cuò)誤!未找到引用源。的部分和數(shù)列錯(cuò)誤!未找到引用源。必

n

n1

為單調(diào)增加數(shù)列，即

如果部分和數(shù)列錯(cuò)誤!未找到引用源。有界，則由數(shù)列極限存在準(zhǔn)則知道，

單調(diào)有界數(shù)列必有極限，所以錯(cuò)誤!未找到引用源。存在，此時(shí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；

反之，若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，即錯(cuò)誤!未找到引用源。，則數(shù)列錯(cuò)誤!未找到引用源。

必有界，由此得到如下定理：

定理1正項(xiàng)級(jí)數(shù)u收斂的充分必要條件是：它的前n項(xiàng)部分和數(shù)列

n

n1

s有界.

n

此表2學(xué)時(shí)填寫一份，“教學(xué)過程”不足時(shí)可續(xù)頁

1

借助于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件，我們可建立一系列具有較強(qiáng)實(shí)用性的

正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法.

1、（比較審斂法）設(shè)u和v都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且uv(n1,2,)

nnnn

n1n1

則：1)如v收斂，則u亦收斂；2)如u發(fā)散，則v亦發(fā)散.

nnnn

n1n1n1n1

證(1)設(shè)v收斂于，且uv，則u的部分和s滿足

nnnnn

n1n1

suuuvvv

n12n12n

即單調(diào)增加的部分和數(shù)列s有上界.由定理1可得u收斂.

nn

n1

(2)設(shè)u發(fā)散，則它的前n項(xiàng)部分和

n

n1

suuu(n)

n12n

因uv，則級(jí)數(shù)v的前n項(xiàng)部分和

nnn

n1

vvvuuus

n12n12nn

所以當(dāng)n時(shí)，即v發(fā)散.

nn

n1

由于級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘以一個(gè)非零常數(shù)，以及去掉級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)不改變級(jí)

數(shù)的斂散性，因而比較審斂法又可表述如下：

推論1設(shè)C為正數(shù)，N為正整數(shù)，u和v都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且

nn

n1n1

uCv(nN,N1,)，則：

nn

1)如v收斂，則u亦收斂；2)如u發(fā)散，則v亦發(fā)散.

nnnn

n1n1n1n1

1

例１判定調(diào)和級(jí)數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。的斂散性．

n

n1

2

解v=錯(cuò)誤!未找到引用源。錯(cuò)誤!未找到引用源。

n

n1

11

錯(cuò)誤!未找到引用源。+()

2n112n

111

錯(cuò)誤!未找到引用源。+()

2n2n2n

2n1

錯(cuò)誤!未找到引用源。=u

n

n1

而級(jí)數(shù)u是發(fā)散的，故有比較判別法知，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。

n

n1

例2討論p級(jí)數(shù)

1111

1

np2p3pnp

n1

的斂散性，其中p0.

111

解（1）若0p1，則npn，可得；又因調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)

npnn

n1

1

散，由定理2知發(fā)散.

np

n1

（2）若p1，有

1111

1

np2p3p(2n1)p

n1

11111111

=1()()()

2p3p4p5p6p7p8p15p

11

()

(2n1)p(2n1)p

2482n1

1

2p4p8p(2n1)p

1111

=1()2()3()n1

2p12p12p12p1

3

1

1()n

2p111

s(p1,1)

n11p1

21112

2p12p1

即s有上界，又對(duì)任意n有n2n1，所以ss，故s有界，級(jí)數(shù)

2n1n2n1n

1

（）是收斂的。

np

n1

1

綜上討論，當(dāng)0p1時(shí)，p級(jí)數(shù)是發(fā)散的；當(dāng)p1時(shí)，p級(jí)

np

n1

1

數(shù)是收斂的.p級(jí)數(shù)是一個(gè)很重要的級(jí)數(shù)，在解題中往往會(huì)充當(dāng)比較審

np

n1

斂法的比較對(duì)象，其它的比較對(duì)象主要有幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)等.

例3判定級(jí)數(shù)的斂散性。

1111

n2n12222323

n1

11

解：因?yàn)?n1,2,),故收斂。

n2n2n

1

例4討論級(jí)數(shù)(a0)的斂散性.

1an

n1

1111

解（1）當(dāng)a1時(shí)，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，而是一

1an1ananan

n1n1

1111

個(gè)公比為的等比級(jí)數(shù)，且<1，則收斂，故級(jí)數(shù)收斂；

aaan1an

n1n1

1111

（2）當(dāng)a1時(shí)，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，且發(fā)散，故級(jí)

1an1an22

n1n1

1

數(shù)發(fā)散.

1an

n1

1111

（3）當(dāng)a1時(shí)，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，而發(fā)散，故級(jí)

1an1an22

n1n1

1

數(shù)發(fā)散.

1an

n1

4

例5設(shè)abc(n1,2,)，且級(jí)數(shù)a及b都收斂，證明級(jí)

nnnnn

n1n1

數(shù)c收斂.

n

n1

證因abc，n1,2,，可得0caba；而級(jí)數(shù)

nnnnnnn

a及b都收斂，由級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)知(ba)收斂，再由比較審斂

nnnn

n1n1n1

法得(ca)收斂.而c[(ca)a]

nnnnnn

n1n1n1

故可得級(jí)數(shù)c收斂.

n

n1

例6判定級(jí)數(shù)(1cos)的斂散性。

n

n1

21

（1cos2sin22()2）

n2n2n2n2

推論2*（比較審斂法的極限形式）設(shè)u、v為兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如

nn

n1n1

u

果兩級(jí)數(shù)的通項(xiàng)u,v滿足limnl，則

nn

nv

n

1）當(dāng)0l時(shí)，同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；

2）當(dāng)l0時(shí)，如果v收斂，則u也收斂；

nn

n1n1

3）當(dāng)l時(shí)，如果v發(fā)散，則u也發(fā)散。

nn

n1n1

l

證由極限的定義，取，存在著自然數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，有不等式

2

ul

nl

v2

n

5

lu3ll3l

成立，可得n，即vuv；再由推論1即得結(jié)論.

2v22nn2n

n

練習(xí)：判別級(jí)數(shù)

n1

（1）（2）ln(1)

n22n2

n1n1

的斂散性.

nn11n

解（1）因，且發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散；

n22n2nnn22

n1n1

1111

（2）因ln(1)，且收斂，故級(jí)數(shù)ln(1)收斂.

n2n2n2n2

n1n1

2、極限審斂法設(shè)u為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則

n

n1

（1）limnul或limnu。則級(jí)數(shù)u發(fā)散；

nnn

nn

n1

（2）若存在p1,使limnpu存在，則級(jí)數(shù)u收斂。

nn

n

n1

1

sin

11

例7判別級(jí)數(shù)sin的斂散性。（limnsinlimn1）。

nnnn1

n1

n

1

例8判別級(jí)數(shù)ln(1)的斂散性。

n2

n1

11

因?yàn)閘imn2ln(1)limln(1)n2lne1，所以級(jí)數(shù)收斂。

nn2nn2

3、比值審斂法（達(dá)朗貝爾判別法）

u

若正項(xiàng)級(jí)數(shù)u滿足limn1，則：

n

nu

n1n

（1）當(dāng)1時(shí)，級(jí)數(shù)u收斂；

n

n1

（2）當(dāng)1(或)時(shí)，級(jí)數(shù)u發(fā)散；

n

n1

6

（3）當(dāng)1時(shí)，級(jí)數(shù)u的斂散性用此法無法判定.

n

n1

證（1）當(dāng)1時(shí)，則可取一足夠小的正數(shù)，使得r1；

u

又因limn1，據(jù)極限的定義，對(duì)正數(shù)，存在自然數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，

nu

n

uu

使得n1成立，即n1

uu

nn

u

則有n1r，可得uru(nN1,N2,)

un1n

n

即有uru

N1N

urur2u

N2N1N

urur2ur3u

N3N2N1N

…

則相加有

uuurur2ur3u

N1N2N3NNN

因0r1，得級(jí)數(shù)u收斂，再由級(jí)數(shù)得性質(zhì)得u收斂.

nn

nN1n1

（2）當(dāng)1時(shí)，存在充分小的正數(shù)，使得1，同上由極限定

u

義，當(dāng)nN時(shí)，有n11即uu，因此當(dāng)nN時(shí)，級(jí)

un1n

n

數(shù)u的一般項(xiàng)是逐漸增大的，故它不趨向于零，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知

n

nN1

u發(fā)散.

n

n1

1

（3）當(dāng)1時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.如對(duì)于p級(jí)數(shù)，

np

n1

u11np

不論p取何值，總有l(wèi)imn1limlim1

nun(n1)pnpnn1

n

7

但是，該級(jí)數(shù)卻在p1時(shí)收斂，p1時(shí)發(fā)散.

例9判定下列級(jí)數(shù)的斂散性

1nn

（1）（2）

123(n1)n!

n1n1

cnn!

（3）nsin（4）(c0)

2nnn

n1n1

1u1

解：（1）因u，故limn1lim01

n

123(n1)nunn

n

由比值審斂法知該級(jí)數(shù)是收斂的.

nnu(n1)n1n!1

（2）因u，故limn1limlim(1)ne1

n

n!nunnn(n1)!nn

n

nn

由比值審斂法知級(jí)數(shù)是發(fā)散的.

n!

n1

（3）因unsin，故

n2n

sin

un12n+12n+11

limn1limlim1

nunnn2

nsin

2n2n

由比值審斂法知該級(jí)數(shù)是收斂的。

cnn!cn1(n1)!

（4）因u，u故

nnnn1(n1)(n1)

ucn1(n1)!nnnnc

limn1limlimc

nun(n1)(n1)cnn!n(n1)ne

n

cc

所以當(dāng)1，即0ce時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)1，即ce時(shí)，級(jí)數(shù)

ee

c

發(fā)散；當(dāng)1，比值審斂法失效。

e

1

練習(xí)：

(2n1)2n

n1

1u(2n1)2n

解：因u，故limn1lim1

n

(2n1)2nnun2n(2n1)

n

用比值法無法確定該級(jí)數(shù)的斂散性；注意到2n2n1n，可得

8

111

(2n1)2nn2，即；而級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法知

(2n1)2nn2n2

n1

1

級(jí)數(shù)收斂.

(2n1)2n

n1

4、根值審斂法或柯西審斂法

若正項(xiàng)級(jí)數(shù)u滿足limnu，則：

nn

n

n1

（1）當(dāng)1時(shí)，級(jí)數(shù)u收斂；

n

n1

（2）當(dāng)1(或)時(shí)，級(jí)數(shù)u發(fā)散；

n

n1

（3）當(dāng)1時(shí)，級(jí)數(shù)u的斂散性用此法無法判定.

n

n1

證（1）當(dāng)1時(shí)，可取一足夠小的正數(shù)，使得r1；據(jù)極

限的定義，存在自然數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)有nur

n

即urn；而等比級(jí)數(shù)rn(0r1)是收斂的，由比較判別法知u收

nn

nN1nN1

斂；再由級(jí)數(shù)的性質(zhì)得級(jí)數(shù)u收斂.

n

n1

（2）當(dāng)1時(shí)，同理存在充分小的正數(shù)，使得1，據(jù)極限定義，

當(dāng)nN時(shí)有nu1，即u1，因此級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨向于零,

nn

由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知u發(fā)散.

n

n1

1

（3）當(dāng)1時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.如級(jí)數(shù)是收斂，而

n2

n1

111

級(jí)數(shù)是發(fā)散的，但limnulimnlim()21

n

nnnn2nnn

n1

9

11

limnulimnlim1。

n

nnnnnn

例10判定下列級(jí)數(shù)的斂散性

1b

（1）（2）()n，其中l(wèi)imaa,且a,b,a0

nn

[ln(1n)]nan

n1n1n

11

解：（1）因u，則limnulim01

nn

[ln(1n)]nnnln(1n)

故原級(jí)數(shù)收斂.

bbb

（2）因u()n，則limnulim，所以

nn

annaa

nn

bbb

當(dāng)1，即ba時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)1，即ba時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)1，

aaa

即ba時(shí)，由于limu0，從而原級(jí)數(shù)發(fā)散。

n

n

n2

練習(xí)：判別級(jí)數(shù)的斂散性.

1

n1(2)n

n

n2n21

解因u，則limnulim1

n1n12

(2)nnnn(2)n

nn

故原級(jí)數(shù)收斂.

注：對(duì)于利用比值審斂法與根值審斂法失效的情形(即1時(shí))，其級(jí)數(shù)

的斂散性應(yīng)另尋它法加以判定，通?？捎脴?gòu)造更精細(xì)的比較級(jí)數(shù)來判別.

二.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

1.定義2

10

稱(1)n1u=u-u+u-u+…+(-1)n-1u+…(u＞0)

n1234nn

n1

或n=-u+u-u+u-…+(-1)nu+…(u＞0)

(1)unn

n1234

n1

為交錯(cuò)級(jí)數(shù).

2．定理2.(萊布尼茨(Leibniz)定理)

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)(1)n1u滿足條件:

n

n1

1)u≥u(n=1,2,…);2)limu=0

nn+1n

n

則級(jí)數(shù)收斂,且其和s≤u,其余項(xiàng)的絕對(duì)值滿足:|r|≤u.

1nn+1

證明:設(shè)級(jí)數(shù)的部分和為S,則

n

S=(u-u)+(u-u)+…+(u-u)（1）

2n12342n－12n

S=u-(u-u)-…-(u-u)-u（2）

2n1232n－22n－12n

由條件1）可知:（1）、（2）兩式中括號(hào)內(nèi)兩數(shù)的差都是非負(fù)的,于是由

（1）知:{S}單調(diào)上升,且S≥0;

2n2n

由（2）知:S≤u;

2n1

根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有極限可知數(shù)列{S}存在極限,記為s.

2n

且顯然s≤u.又由于S=S+u,而u0,(n∞)

12n+12n2n+12n+1

所以:S=S+us,(n∞).

2n+12n2n+1

由于:Ss,Ss,(n∞),所以:Ss(n∞).

2n+12nn

即交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,且其和s≤u.

1

又由于此時(shí)余項(xiàng):r=±(u-u+u-u+…)所以:

nn+1n+2n+3n+4

|r|=u-u+u-u+…

nn+1n+2n+3n+4

也是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),且滿足交錯(cuò)級(jí)數(shù)的條件,從而且和應(yīng)小于級(jí)數(shù)的第一

項(xiàng),即有:|r|≤u.

nn+1

1

例11判斷級(jí)數(shù)(1)n1的斂散性.

n

n1

解:由于u=1/n＞1/(n+1)=u,且u0,(n∞),所以級(jí)數(shù)收斂.

nn+1n

111

且知其和s＜1,以s=1-+-…+(1)n1代替s產(chǎn)生的誤差r滿足|r|

n23nnn

≤1/(n+1).

lnn

例12斷級(jí)數(shù)(1)n1的斂散性.

n

n1

解:級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),

lnx1

由于lim=lim=0,

xxxx

lnn

所以limu=lim=0;

n

xxn

lnx1lnx

設(shè)f(x)=,則有f(x),

xx2

11

故當(dāng)x≥3時(shí),有f(x)≥0,從而當(dāng)x≥3時(shí),f(x)單調(diào)上升,于是當(dāng)n≥

3時(shí),有u=lnn/n＞ln(n+1)/(n+1)=u.所以該級(jí)數(shù)收斂.

nn+1

三．絕對(duì)收斂與條件收斂

設(shè)有級(jí)數(shù)u=錯(cuò)誤!未找到引用源。，其中錯(cuò)誤!未

n

n1

找到引用源。為任意實(shí)數(shù)，那么該級(jí)數(shù)叫做任意項(xiàng)級(jí)數(shù)．可見，交錯(cuò)級(jí)數(shù)是任

意項(xiàng)級(jí)數(shù)的一種特殊形式．

對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們給每項(xiàng)加上絕對(duì)值符號(hào)構(gòu)造一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，

任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判定涉及絕對(duì)收斂與條件收斂．

定義3設(shè)有任意項(xiàng)級(jí)數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。u，如果級(jí)數(shù)錯(cuò)誤!未找

n

n1

到引用源。u收斂，則稱級(jí)數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。u絕對(duì)收斂，級(jí)數(shù)

nn

n1n1

錯(cuò)誤!未找到引用源。u發(fā)散，而級(jí)數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。u收斂，

nn

n1n1

則稱級(jí)數(shù)錯(cuò)誤!未找到引用源。u條件收斂．

n

n1

11

例如:(1)n是絕對(duì)收斂;(1)n是條件收斂。

n2n

n1n1

由任意項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的絕對(duì)值組成的級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因此，一切判別正項(xiàng)

級(jí)數(shù)斂散性的方法，都可以用來判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂．

2．定理3若Σu絕對(duì)收斂,則Σu必定收斂.

nn

證明:設(shè)Σu絕對(duì)收斂,即Σ|u|收斂.

nn

11

記:W=(|u|+u),V=(|u|-u).

n2nnn2nn

顯然:0≤W,V≤|u|,

nnn

由于Σ|u|收斂,所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)ΣW和ΣV收斂.

nnn

因?yàn)?u=W-V,由級(jí)數(shù)的性質(zhì)可知:級(jí)數(shù)Σu收斂.

nnnn

11

注:1）上述定理的逆不成立;例如:(1)n收斂,但發(fā)散.

nn

n1n1

2）對(duì)Σu斂散性的判斷,可以轉(zhuǎn)化為對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)Σ|u|的斂散性的判

nn

斷;

3）當(dāng)Σ|u|發(fā)散時(shí),不能斷定Σu發(fā)散,但當(dāng)用比值法或根值法得到正

nn

項(xiàng)級(jí)數(shù)Σ|u|發(fā)散時(shí),則可斷定級(jí)數(shù)Σu發(fā)散.(此時(shí)有

nn

12

|u|0,n∞),從而u0,(n∞)

nn

例13判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,并指明是絕對(duì)收斂還是條件收斂。

n2

12

（1）(1)n+1（2）(1)n1

ln(n1)n!

n1n1

11

解：（1）因?yàn)閡，而調(diào)和級(jí)數(shù)（去掉第一項(xiàng)）1

nln(n1)n1n1

n1

發(fā)散，所以u(píng)發(fā)散。而原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿足萊布尼茲定理，故收斂，

n

n1

所以條件收斂。