2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

f(%)

1.“X)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，且滿足：/(X)的導(dǎo)函數(shù)存在，且訐彳＜x,則下列不等式成立的是()

J\1

A.,/(2)<2/(1)B.3/(3)<4/(4)

C.2〃3)<3〃4)D.3〃2)<2〃3)

2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入加=2020,〃=520,則輸出的》=()

A.4B.5C.6D.7

3.已知函數(shù)/(x)=x3+sinx+ln(Ej,若/(2a-1)〉/(0),則a的取值范圍為()

4.設(shè)復(fù)數(shù)二滿足z—iz=2+i(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.已知函數(shù)"x)=lnx-2ax,g(x)=—-2x,若方程/(x)=g(x)恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，則。的取值范圍

Inx

為（)

A.(0,e]

C.(e,+oo)

6.在長(zhǎng)方體ABC。一AgGQ中，AB=1,AD=&A4,=百，則直線。A與平面ABC1所成角的余弦值為（）

A.劣RB.GrC?-V--1--5-nD.-V--1--0-

2355

7.已知函數(shù)/（力=25缶（3：+9）+6（0>0）,/（?+x）=/q-x）,且yq）=5,則|8=（）

A.3B.3或7C.5D.5或8

8.已知P與。分別為函數(shù)2x-y-6=0與函數(shù)y=d+i的圖象上一點(diǎn)，則線段|PQ|的最小值為（）

9,若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（）

目各向

俯視圖

A.36cmB.48cm3D.72cm3

10.若樣本1+幻+N,1+玉,…」+x”的平均數(shù)是10,方差為2,貝！|對(duì)于樣本2+2%,2+2%,2+2%,…,2+2x“，下列

結(jié)論正確的是（）

A.平均數(shù)為20,方差為4B,平均數(shù)為11,方差為4

C.平均數(shù)為21,方差為8D.平均數(shù)為20,方差為8

11.（3/+/）（2—_1）8展開式中的系數(shù)為（）

X

A.-1280B.4864C.-4864D.1280

12.復(fù)數(shù)之=T上（i為虛數(shù)單位），則|z|等于（）

A.3B.272

C.2D.V2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（a—2“（1一。）的展開式中，a?后,的系數(shù)是.

14.在平面直角坐標(biāo)系X0中，已知」（OM）,8G,a+4）,若圓/+/=,上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)c,使得△ABC的面積

為5,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是—.

15.從編號(hào)為1,2,3,4的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第

一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.

16.若（龍-2）"展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開式各項(xiàng)系數(shù)和為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）在四棱錐產(chǎn)一ABCD的底面ABCO中，BC//AD,CDLAD,PO1平面ABC。，。是A￡）的中點(diǎn),

且PO=AD=2BC=2CD=2

（I）求證：M〃平面POC；

（n）求二面角o—PC—。的余弦值;

（m）線段PC上是否存在點(diǎn)E，使得若存在指出點(diǎn)E的位置，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.（12分）已知在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，且b="sm“-'Sine.

sin3—sinC

（1）求角A的值；

（2）若”=G，設(shè)角8=6,△ABC周長(zhǎng)為y,求y=/（。）的最大值.

19.（12分）如圖，在直三棱柱ABC—中，AB=AC=&，BC=AAi=2,。為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線

段AA上，且〃平面CB4.

(1)求證：AM=A.M；

（2）求平面例。用與平面C&4所成二面角的正弦值.

AM

20.(12分)已知函數(shù)“力="上空上￡(4＞0)的導(dǎo)函數(shù)y=./(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為-3和0.

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若的極小值為-e3,求/(x)在區(qū)間[—5,+8)上的最大值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x+2)ln(x+l)—ax(aeA)

(I)若“=1,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程；

(n＞若，(x)20在[0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

4

(HD若數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和S“=〃2+3〃—l,么=一，求證：數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；＜ln(〃+l)(〃+2).

an

22.(10分)新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，電子購(gòu)物平臺(tái)成為人們的熱門選擇.為提高市場(chǎng)銷售業(yè)績(jī)，某公司設(shè)計(jì)

了一套產(chǎn)品促銷方案，并在某地區(qū)部分營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn).運(yùn)作一年后，對(duì)“采用促銷”和“沒(méi)有采用促銷”的營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)各

選取了50個(gè)，對(duì)比上一年度的銷售情況，分別統(tǒng)計(jì)了它們的年銷售總額，并按年銷售總額增長(zhǎng)的百分點(diǎn)分成5組：

[-5,0),[0,5),[5,10),[10,15),[15,20],分別統(tǒng)計(jì)后制成如圖所示的頻率分布直方圖，并規(guī)定年銷售總額增長(zhǎng)10個(gè)百

分點(diǎn)及以上的營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)為“精英店”.

“采用促銷”的銷售網(wǎng)點(diǎn)“沒(méi)有采用促銷”的銷售網(wǎng)點(diǎn)

(1)請(qǐng)你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“精英店與采用促銷活動(dòng)有關(guān)”;

采用促銷沒(méi)有采用促銷合計(jì)

精英店

非精英店

合計(jì)5050100

（2）某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤(rùn)，通過(guò)分析上一年度的售價(jià)占（單位：元）和日銷量%（單位：件）（7=1,2,...,10）

的一組數(shù)據(jù)后決定選擇了=。+區(qū)2作為回歸模型進(jìn)行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表，表中的嗎=年：

10,9

￡;（龍廠研X-同

E")Z(叱-可2t(嗎-卬)(y

XyW/=1/=1i=l/=1

45.8395.52413.54.621.6-2.3-7.2

①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算〃的值;

②已知該公司成本為10元/件，促銷費(fèi)用平均5元/件，根據(jù)所求出的回歸模型，分析售價(jià)X定為多少時(shí)日利潤(rùn)z可以

達(dá)到最大.

n(ad-be)一

附①：尺=

(a+0)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.1000.0500.010O.(X)1

k2.7063.8416.63510.828

附②：對(duì)應(yīng)一組數(shù)據(jù)（場(chǎng),匕）,魚，%），（%，匕），…，（""，％），其回歸直線八。+的的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分

t(匕-?(%-〃)__

別為，=『15---------;—,a^v-/3u.

/=1

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

【解析】

根據(jù)“X)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)及軍2有意義可得/'(x)>0,構(gòu)建新函數(shù)g(x)=9,利用導(dǎo)數(shù)可得

J⑴x

g(x)為(0,+紇)上的增函數(shù)，從而可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)椤癤)是定義在(o,+。)上的增函數(shù)，故r(x)2o.

又5罟有意義,故f'(x)H0,故/'(x)>0,所以

J⑴

令g(x)=#,則g,(x)N(y(x)〉o,

故g(x)在(0,+。)上為增函數(shù)，所以g⑶〉g⑵即卓>W，

整理得到2/(3)>3/(2).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，一般地，數(shù)的大小比較，可根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

構(gòu)建新函數(shù)，本題屬于中檔題.

2.C

【解析】

根據(jù)程序框圖程序運(yùn)算即可得.

【詳解】

依程序運(yùn)算可得：

r—460,i-2,m-520,n—460；r-60,i-3),m-460,n—60；r-40,i=4,m—60,n=40；

r-20,i-5,m-40,n-20；r=0,i-6,

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了程序框圖的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運(yùn)行的過(guò)程.

3.C

【解析】

求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.

【詳解】

由—±>0得

l-x

]+x2

在％時(shí)，y=V是增函數(shù)，y=sinx是增函數(shù)，y=ln——=ln(-l+——)是增函數(shù),

1-xl-x

/(%)=x3+sinx+ln是增函數(shù),

.?.由/(2。-1)>/(0)得0<2a—1<1,解得;<。<1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，解題時(shí)可先確定函數(shù)定義域，在定義域

內(nèi)求解.

4.A

【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到z,由此得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定所處象限.

【詳解】

2+i(2+i)(l+i)l+3i13.

由z-iz=2+i得:(l-z)(l+z)-2~22l

3

??.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.

252

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

由題意可將方程轉(zhuǎn)化為叱—2。=土竺-2,令f(x)=g,x?O,l)U(l,”)，進(jìn)而將方程轉(zhuǎn)化為

xInxx

[[X)+2][r(x)-2a]=0,即O=-2或火力=2a,再利用t(x)的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意知方程=g(x)在(0,1)U(L”)上恰有三個(gè)不相等的實(shí)根，

即Inx—2ax=——2x?①.

Inx

|nx4/7X

因?yàn)閤〉0,①式兩邊同除以x,得-----2a=-------2.

xInx

Inx4-/7X*

所以方程-----2。--+2=0有三個(gè)不等的正實(shí)根.

xInx

?__丫4a

記r(x)=一，x?0,l)U(l,+8),則上述方程轉(zhuǎn)化為"》)一2。-7有+2=0.

即1(%)+2]p(x)-2a]=0,所以r(x)=-2或r(x)=2a.

因?yàn)?x)=L詈，當(dāng)xe(0,l)U(Le)時(shí)，?x)>0,所以《力在(0,1),(l,e)上單調(diào)遞增，且x.0時(shí)，

/(X)—,-00.

當(dāng)x￡(e,~Hx))時(shí)，i(x)<0,/(X)在(e,+8)上單調(diào)遞減，且尤一>+oo時(shí)，—>0.

所以當(dāng)x=e時(shí)，f(x)取最大值！，當(dāng)[％)=-2,有一根.

e

所以t(x)=2。恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以0<。</.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

6.C

【解析】

在長(zhǎng)方體中AB//￡A，得與平面ABG交于A，過(guò)。做。OLA〃于。，可證。O_L平面ABGA，可得

NORA為所求解的角，解放AAOR,即可求出結(jié)論.

【詳解】

在長(zhǎng)方體中AB/ICR,平面ABC,即為平面ABC}Dt,

過(guò)。做。O_L叫于。，QABJ_平面44,。。，

DOu平面的。,ABJ,。0,AB0A。=。，

。0，平面ABCR,NORA為0A與平面ABC,所成角,

在Rt^ADD1,DD、=A41=6,AD=>/2,AD]=>/5，

DD

/NNA、6屈

'AD、加5

???直線DR與平面ABCt所成角的余弦值為半.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面所成的角，定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”，三步驟缺一不可，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸x=g以及函數(shù)值，可得結(jié)果.

O

【詳解】

函數(shù)/（x）=2sin（69X+0）+6（69＞。）,

若/（g+x）=/（g-x）,則/（X）的圖象關(guān)于x=g對(duì)稱，

88o

77

又/（一）=5,所以2+8=5或-2+6=5,

8

所以〃的值是7或3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對(duì)稱性問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題

8.C

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)法和兩直線平行性質(zhì)，將線段IPQ\的最小值轉(zhuǎn)化成切點(diǎn)到直線距離.

【詳解】

已知P與。分別為函數(shù)2x—y-6=0與函數(shù)y=f+i的圖象上一點(diǎn)，

可知拋物線y=x2+l存在某條切線與直線2x-y-6=0平行，則攵=2,

設(shè)拋物線y=d+l的切點(diǎn)為(x0,x：+l),則由y'=2無(wú)可得2%=2,

=所以切點(diǎn)為(1以),

則切點(diǎn)(1,2)到直線2x-y-6=0的距離為線段IPQ\的最小值，

則1。。舄:2'3一6|=絡(luò).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.

9.B

【解析】

試題分析：該幾何體上面是長(zhǎng)方體，下面是四棱柱；長(zhǎng)方體的體積彳=2-2-4=16,四棱柱的底面是梯形，體積為

^=1(2+6)24=32,因此總的體積。=16+32=48.

考點(diǎn)：三視圖和幾何體的體積.

10.D

【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系，可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系，方差的關(guān)系，進(jìn)而可得到答案.

【詳解】

樣本1+%,1+々,1+天，…，1+x”的平均數(shù)是10,方差為2,

所以樣本2+242+2々,2+2芻,…,2+2天的平均數(shù)為2*10=20,方差為22、2=8.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

樣本%%,玉，…，X”的平均數(shù)是x，方差為s2,則g+良小+6,%+6,…,%+A的平均數(shù)為ax+b，方差為a2s2.

11.A

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的公式得到具體為:

【詳解】

根據(jù)二項(xiàng)式的展開式得到可以第一個(gè)括號(hào)里出3V項(xiàng)，第二個(gè)括號(hào)里出,項(xiàng)，或者第一個(gè)括號(hào)里出第二個(gè)括號(hào)里

化簡(jiǎn)得到-1280x2

故得到答案為：A.

【點(diǎn)睛】

求二項(xiàng)展開式有關(guān)問(wèn)題的常見類型及解題策略：

⑴求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出「值即可.

⑵已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出廠值，最后求出

其參數(shù).

12.D

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)白從而求得z,然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.

【詳解】

2/_2z(l+z)

=z(l+z)=-l+z,

T^7-(l-z)(l+z)

所以z=-l—i,忖=夜，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的共朝復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-40

【解析】

先將原式展開成一功)5—c(a—發(fā)現(xiàn)(a—20)5中不含故只研究后面一項(xiàng)即可得解.

【詳解】

(a—2Z?)5(1—c)=(a—2Z?)、—c(a—2/?)5,

依題意，只需求—c-(a—2^)5中a302c的系數(shù)，是-C；.(—2)?=-40.

故答案為：-40

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理性質(zhì)，關(guān)鍵是先展開再利用排列組合思想解決，屬于基礎(chǔ)題.

14.(上-)

33

【解析】

求出A6的長(zhǎng)度，直線方程，結(jié)合AA5C的面積為5,轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離進(jìn)行求解即可.

【詳解】

AR上JAI-a+4?a4)--------;-----------------1

解：AB的斜率k=-------=一，\AB\=J(3.0)~++4.

3-03

=+/=5,

設(shè)4ABC的高為h,

則,.,△A8C的面積為5,

：.S=-\AB\h=~x5無(wú)=5,

22

即h=2,

4

直線A6的方程為y-a=-x,即4x-3y+3a=0

若圓好+產(chǎn)=9上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)C,

加|\3a\

則圓心O到直線4x-3y+3a=0的距離d=j,=一1，

Jc5

則應(yīng)該滿足dVR-h=3-2=1,

即㈣C

5

得|3a|V5

55

得K，

33

故答案為)

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，求出直線方程和A3的長(zhǎng)度，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵.

1

15.-

2

【解析】

基本事件總數(shù)〃=4x4=16,第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，由此能求

出概率.

【詳解】

解：從編號(hào)為1,2,3,4的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，

基本事件總數(shù)“=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，分別為：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,2),(2,4),(3,3),(4,4).

Q1

所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為p=—=~.

162

故答案為—.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

16.1

【解析】

由題意得展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和求出?的值，然后再計(jì)算展開式各項(xiàng)系數(shù)的和.

【詳解】

由題意(x-2)"展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,即2"=64，故〃=6,令x=1,則展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為(1-2)6=1.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)和問(wèn)題，需要運(yùn)用定義加以區(qū)分，并能夠運(yùn)用公式和賦值法求解結(jié)果,

需要掌握解題方法.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(I)詳見解析；(II)叵;(皿)存在，點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn).

5

【解析】

(I)連結(jié)OC,BC=AO,BC//AD,則四邊形ABCO為平行四邊形，得到證明.

(H)建立如圖所示坐標(biāo)系，平面PCD法向量為)=(0,2,1),平面POC的法向量成=而=(一1,1,0),計(jì)算夾角

得到答案.

(HI)設(shè)E(x,y,z),計(jì)算瓦=(44-1,2—2?,AB=(1,1,0),根據(jù)垂直關(guān)系得到答案.

【詳解】

(I)連結(jié)OC,BC=AO,BC//AD,則四邊形ABCO為平行四邊形.

'AB//OC

-AB(Z平面POCnABH平面POC.

OCu平面POC

fCD!AD

(n>PO_L平面ABC。，〈八c四邊形QBCO為正方形.

\OD=nC=CD

所以O(shè)B,OD,OP兩兩垂直，建立如圖所示坐標(biāo)系，

則C(l,l,0),P(0,0,2),￡>(0,1,0),B(l,0,0),

M^CD=O

設(shè)平面PCD法向量為，=(x,y,z),則n4=(0,2,1),

4?PD=0

連結(jié)80,可得BDLOC,又3O_LPO所以，平面POC,

平面POC的法向量后=3方=(—1,1,0),

設(shè)二面角O—PC—。的平面角為6,則cos6>=%〃2叵

I?1|-|?2I5

(UI)線段PC上存在點(diǎn)E使得AB_L￡>石，設(shè)E(x,y,z),屋=2定=>(x,y,z-2)=2(1,1,-2)=>E(2,2,2-22)

DE=(A,A-1,2-2A),AS=(1,1,0),ABJ.QEn而?歷=On4=g,

所以點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面平行，二面角，根據(jù)垂直關(guān)系確定位置，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

18.⑴y;⑵>皿=3上.

【解析】

7T

(1)利用正弦定理，結(jié)合題中條件，可以得到從+°2=片+歷，之后應(yīng)用余弦定理即可求得A=—；

3

(2)利用正弦定理求得力=2sin6,求出三角形的周長(zhǎng)，利用三角函數(shù)的最值求解即可.

【詳解】

,、7asinA-csinC.八,...八

(1)由己知〃=-------------可得bsinB-bsmc-asinA4-csinC，

sinB-sinC

扇:2_21

結(jié)合正弦定理可得b2+c2=a2+be,AcosA=匕二—

2bc2

又Ae(O,乃)，,A=?.

(2)由〃=A=￡及正弦定理得二=三；

3sinesinesinA

--fi|=2sin

b=2s\nB=2sin0c=2sinC=2sin

93JT-4

故,=a+b+c=6+2sin8+2sin(V一e],即y=2V§sin[e+^]+百，

,?八27t但n兀八兀兀八兀—

由。得%"<e+%"<W,,當(dāng)e+kn}'即。=耳時(shí),ynm=3<3.

【點(diǎn)睛】

該題主要考查的是有關(guān)解三角形的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握正余弦定理，屬于簡(jiǎn)單題目.

19.見解析

【解析】

(1)如圖，連接Bq,交C用于點(diǎn)N,連接4N,ON,則N為CA的中點(diǎn)，

因?yàn)?。?C的中點(diǎn)，所以O(shè)N//BB、,

又所以O(shè)N〃MA，從而。，N,A，"四點(diǎn)共面.

因?yàn)?M〃平面CBM，QMu平面ON41M,平面ONAMPl平面CBM=岫，所以?！ū爻?

又ON"MN，所以四邊形ONAM為平行四邊形，

所以5=0N=；881=,例，所以AM=A”

(2)因?yàn)锳B=AC,。為BC的中點(diǎn)，所以AO_L8C,

又三棱柱ABC1-44G是直三棱柱，ON〃BB、,

所以O(shè)A,OB,ON互相垂直，分別以礪，ON，礪的方向?yàn)閤軸、)'軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系。-芍2,

因?yàn)锳5=AC=&，6。=例=2,所以0(0,0,0),5,(1,2,0),例(0,1,1),C(-l,0,0),

所以而=珂=(0,1,1),砥=(1,2,0),西=(2,2,0).

OMm=0y+z=0

設(shè)平面MO用的法向量為〃z=(x,y,z),則《_,即

OB】m=0x+2y=0'

令z=l,可得y=-l,x=2,所以平面MO4的一個(gè)法向量為根=(2,7,1).

。+。=0

設(shè)平面c44的法向量為〃=3,瓦C),則

2a+2b=0

令C=l,可得匕=一1,4=1,所以平面。與4的一個(gè)法向量為〃

2xl-lx(-l)+lxl4_2A/2

所以cos〈/n.”〉

722+(-D2+I2-VI2+(-I)2+I2

所以平面MOB,與平面CBt4所成二面角的正弦值為§.

20.(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(一3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,-3)和(0,+“)；(2)最大值是5e5.

【解析】

(1)求得r(x)=紇'巴士,由題意可知一3和0是函數(shù)g(x)=—62+(功—"戶+?一。的兩個(gè)零

點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)y=g(x)的符號(hào)變化可得出y=/'(x)的符號(hào)變化，進(jìn)而可得出函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減

區(qū)間；

f(-3)=

(2)由(1)中的結(jié)論知，函數(shù),y=/(x)的極小值為/(—3),進(jìn)而得出g(0)=0,解出。、b、c的值，然后

g(-3)=0

利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)y=在區(qū)間［-5,”)上的最大值.

【詳解】

(2ax+b)ex-^ax2+bx+c)ex-ax2+(2<a-Z?)x+(Z?-c)

(1)〃x)=

(4

令g(x)=-"2+

(2a-b)x+b-c9

因?yàn)閼?gt;0,所以y=/'(x)的零點(diǎn)就是8(力=一@2+(加一。)口+「一。的零點(diǎn),且廣(力與g(x)符號(hào)相同.

又因?yàn)閍>0,所以當(dāng)一3<%<0時(shí)，g(x)>0,即/'(x)>0；當(dāng)％<-3或x>0時(shí)，g(x)<0,即/'(x)<0.

所以，函數(shù)y=〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(—3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(f,-3)和(0,+8)；

(2)由(1)知，％=-3是/(%)的極小值點(diǎn),

9。一3b+c

/(-3)

所以有<g(0)=。-c=0解得a=1b=5fc=59

g(-3)=-9tz-3(2?-/?)+Z?-c=0

所以〃x)=/+5j+5

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一3,0),單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,-3)和(0,+“).

所以/⑼=5為函數(shù)>=/(x)的極大值，

故y=/(x)在區(qū)間［-5,小)上的最大值取/(-5)和/(0)中的最大者，

而/(-5)===5e5>5=/(0),所以函數(shù)y=/(力在區(qū)間［一5,田)上的最大值是5^5.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

21.(I)x-y=0；(II)(--2］；(ID)證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)將。=1,求出切線方程(2)求導(dǎo)后討論當(dāng)aW2時(shí)和a>2時(shí)的單調(diào)性證明，求出實(shí)數(shù)。的取值范圍(3)

先求出。，的通項(xiàng)公式，利用當(dāng)x>0時(shí)，(x+2)ln(l+x)>2x得ln(l+x)〉*,下面證明：

Tn<ln(n+l)(n+2)

解析：(I)因?yàn)閍=l,所以〃x)=(x+2)ln(x+l)-x,/(0)=(0+2)xlnl-0=0,切點(diǎn)為(0,0).

由尸(x)=ln(x+l)+咨一1,所以/⑼=ln(0+l)+雷—1=1,所以曲線y=〃x)在(0,0)處的切線方程為

y-0=l(x-0),即x-y=0

(II)由尸(x)=ln(x+l)+^^_Q,令g(x)=/1x)(xe［0,+oo)),

x+1

］］X

則g'(x)=三7一而『=而『之。(當(dāng)且僅當(dāng)x=0取等號(hào)).故r(x)在［0，”)上為增函數(shù).

①當(dāng)aW2時(shí)，/'(x)2/'(0)20,故“X)在［0,+8)上為增函數(shù)，

所以/(x)"f(O)=()恒成立，故aW2符合題意；

②當(dāng)a>2時(shí)，由于/'(0)=2—a<0,r(^-l)=l+-^>0,根據(jù)零點(diǎn)存在定理，

必存在re(0,e"—l),使得/'⑺=0,由于/'(x)在［0,+8)上為增函數(shù)，

故當(dāng)xe(0,。時(shí)，/'(。<0,故/(x)在xe(0,。上為減函數(shù)，

所以當(dāng)xe(O")時(shí)，〃x)</(0)=(),故〃x)?0在［0,+8)上不恒成立，所以a>2不符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)〃

的取值范圍為(-oo,2］

1—,n=l

3Q,n=l3

(HI)證明：由S"=〃9~+3〃-

2n+2,n>22「

i-----,n>2

2x

由(II)知當(dāng)x>0時(shí)，(x+2)ln(l+x)>2x,故當(dāng)x>0時(shí)，ln(l+x)>

x+2

故#訃碟=匕故型(聯(lián))呼備?下面證明:%<帥+1)(〃+2)

n

11

因?yàn)橐?“13+山+2

n