高考物理壓軸題匯編

1988

N個長度逐個增大的金屬圓筒和一個靶，它們沿軸線排列成一串，如圖所示(圖中只畫出

了六個圓筒,作為示意).各筒和靶相間地連接到頻率為u、最大電壓值為U的正弦交流電

源的兩端.整個裝置放在高真空容器中.圓筒的兩底面中心開有小孔.現(xiàn)有?電量為q、

質量為m的正離子沿軸線射入圓筒,并將在圓筒間及圓筒與靶間的縫隙處受到電場力的作用

而加速(設圓筒內部沒有電場).縫隙的寬度很小，離子穿過縫隙的時間可以不計.已知離子

進入第一個圓筒左端的速度為V],且此時第一、二兩個圓筒間的電勢差V「V2=-U.為使打

到靶上的離子獲得最大能量，各個圓筒的長度應滿足什么條件?并求出在這種情況下打到靶

上的離子的能量.

為使正離子獲得最大能量，要求離子每次穿越縫隙時，前一個圓筒的電勢比后?個圓筒的

電勢高U,這就要求離子穿過每個圓筒的時間都恰好等于交流電的半個周期.由于圓筒內無

電場，離子在筒內做勻速運動.設Vn為離子在第n個圓筒內的速度，則有

第n個■筒的長度為L.=%三=券.

由-1nMl=似T)qU.

將(3)代入(2),得第n個圓筒的長度應滿足的條件為:

n=1,2,3......N.

打到靶上的離子的能量為:

7=甌口+；*.(5)

評分標準:本題共9分.歹世⑴式給2分洌出(2)式給3分;得出(4)式再給2分;得出(5)

式給2分.

1991

在光滑的水平軌道上有兩個半徑都是r的小球A和B,質量分別為m和2m,當兩球心間的距離大于/(/比

2r大得多)時,兩球之間無相互作用力：當兩球心間的距離等于或小于1時,兩球間存在相互作用的恒定斥

力F.設A球從遠離B球處以速度v?沿兩球連心線向原來靜止的B球運動,如圖所示.欲使兩球不發(fā)生接

觸,V。必須滿足什么條件？

解一:A球向B球接近至A、B間的距離小于，之后,A球的速度逐步減小,B球從靜止

開始加速運動，兩球間的距離逐步減小.當A、B的速度相等時?，兩球間的距離最小.若

此距離大于2r,則兩球就不會接觸.所以不接觸的條件是

vi=v2①1+s2-si>2r②

其中打、V2為當兩球間距離最小時A、B兩球的速度;si、sz為兩球間距離從1變至

最小的過程中,A、B兩球通過的路程.

由牛頓定律得A球在減速運動而B球作加速運動的過程中,A、B兩球的加速度大小為

FF

a,=—a=——

1m2221n③

設v。為A球的初速度,則山勻加速運動公式得

④

⑤

聯(lián)立解得

V0V

l⑥

解二:A球向B球接近至A、B間的距離小于，之后,A球的速度逐步減小,B球從靜止

開始加速運動，兩球間的距離逐步減小.當A、B的速度相等時，兩球間的距離最小.

若此距離大于2r,則兩球就不會接觸.所以不接觸的條件是

Vl=V2①l+s2-s)>2r②

其中VI、V2為當兩球間距離最小時A、B兩球的速度;Si、S2為兩球間距離從1

變至最小的過程中,A、B兩球通過的路程.

設V。為A球的初速度,則由動量守恒定律得

mvo=mvi+2mv2③

由動能定理得

F.=；mvj-；mvj?Fs2=-i(2m)Vj⑤

聯(lián)立解得

vv3F.2r)

0^B⑥

評分標準:全題共8分.得出①式給1分,得出②式給2分,若②式中“>"寫成"2"的也給這2

分.在寫出①、②兩式的條件下，能寫出③、④、⑤式，每式各得1分.如只寫出③、④、⑤

式,不給這3分.得出結果⑥再給2分.若⑥式中寫成的也給這2分.

1992

如圖所示，一質量為M、長為1的長方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一質

量為m的小木塊A,m(Mo現(xiàn)以地面為參照系，給A和B以大小相等、方向相反的初速度

(如圖)，使A開始向左運動、B開始向右運動，但最后A剛好沒有滑離L板。以地面為參

照系。

(1)若已知A和B的初速度大小為V。，求它們最后的速度的大小和方向。

(2)若初速度的大小未知，求小木塊A向左運動到達的最遠處(從地面上看)離出發(fā)點的距

離。

解：(DA剛好沒有滑離B板，表示當A滑到B板的最左端時，A、B具有相同的速度。設

此速度為V,

A和B的初速度的大小為v。，則由動量守恒可得：

MvO—mv0=(M+m)V

解得：M+m”,方向向右①

(2)A在B板的右端時初速度向左，而到達B板左端時的末速度向右，可見A在

運動過程中必經歷向左作減速運動直到速度為零，再向右作加速運動直到速度為V

的兩個階段。設L為A開始運動到速度變?yōu)榱氵^程中向左運動的路程，k為A從

速度為零增加到速度為V的過程中向右運動的路程，L為A從開始運動到剛到達B

的最左端的過程中B運動的路程，如圖所示。設A與B之間的滑動摩擦力為f,則

由功能關系可知：

對于B

1

2

-?

對

于A2

④

由幾何關系L+（II—I2）=I⑤

由①、②、③、④、⑤式解得

14M@

評分標準:本題8分

（1）2分。末速度的大小和方向各占1分。

（2）6分。其中關于B的運動關系式（例如②式）占1分；關于A的運動關

系式（例如③、④兩式）占3分，只要有錯，就不給這3分；幾何關系（例如⑤式）占

1分；求出正確結果⑥，占1分。用其它方法求解，正確的，可參考上述評分標準

進行評分。如考生若直接寫出②、③、④、⑤的

"乩-乩+即

合并式NZ

則此式可給2分，再寫出③式再給3分；最后結果正確再給1分。

3、（93'）-平板車，質量M=100千克，停在水平路面上，車身的平板離地面的高度h=l.25

米，一質量m=50千克的小物塊置于車的平板上，它到車尾端的距離b=L00米，與車板間的滑動

摩擦系數u=0.20,如圖所示。今對平板車施?水平方向的恒力，使車向前行駛，結果物塊從車

板上滑落。物塊剛離開車板的時刻，車向前行駛的距離s°=2.0米。求物塊落地時，落地點到車

尾的水平距離s。不計路面與平板車間以及輪軸之間的摩擦。取g=10米/秒2。

解法一：

設作用于平板車的水平恒力為F,物塊與車板間的摩擦力為f,自車啟動至物塊開始離開

車板經歷的時間為3物塊開始離開車板時的速度為v,車的速度為V,則有

(F-f)so=(l/2)MV2①

f(so-b)=(1/2)mv2②

(F-f)t=MV③

ft=mv④

f=Pmg⑤

F-fs.MV'

-----?-------=----="

由①、②得f%-bnw

⑥

由③、④式得(F-f)/f=(MV)/(mv)⑦

由②、⑤式得▼=枷*…="”…-5米/秒

由⑥、⑦式得V=so/(s0-b)v=[2/(2-1)]X2=4米/秒

由①式得

F=f+=pmg=Q2X50X10+=50。牛慎

2.2sa22

物塊離開車板后作平拋運動，其水平速度V,設經歷的時間為ti,所經過的水平距離為S

..則有

Si=Vti⑧

h=(1/2)gti2⑨

由⑨式得

昌店尹渺

si=2X0.5=1米

物塊離開平板車后，若車的加速度為a則a=F/M=500/100=5米/秒2

車運動的距離

sa=Wl4-^a*^=4X0.5+JX5X0?i=262漲=26米

于是s=s?-s1=2.6T=1.6米

評分標準:全題8分

正確求得物塊開始離開車板時刻的物塊速度v給1分，車的速度V給2分;求得作用于

車的恒力F再給1分。正確求得物塊離開車板后平板車的加速度給1分。正確分析物塊離

開車板后的運動，并求得有關結果，正確求出物塊下落過程中車的運動距離S2并由此求s

的正確數值，共給3分。最后結果有錯，不給這3分。

VTV^/TY

解法二：

設作用于平板車的水平恒力為F,物塊與車板間的摩擦力為f,自車啟動至物塊離開車板

經歷的時間為t,在這過程中，車的加速度為a—物塊的加速度為a?。則有

F-f=Ma,①

f=ma2②

f=Mmg③

以及so=(l/2)aitj④

So—b=(1/2)ait,2⑤

由②、③兩式得a?=Ug=0.2X10=2米/秒2

A乂2=4米，秒'

由④、⑤兩式得玄-b2-1

由①、③兩式得F=umg+Ma產0.2X50XI0+100X4=500牛頓

物塊開始離開車板時刻，物塊和車的速度分別為v和V,則

V=后濡=#X4X2=4米/秒

v=g(s.-b)=^2X2X1=咪/秒

物塊離車板后作平拋運動，其水平速度為V,所經歷的時間為ti,走過的水平距離為Si,

則有

Si=VtI⑥

h=(l/2)gtJ⑦

*=屆71=-X1.25/10=。.田

腑乙倍：

si=vt1=2X0.5=1米

在這段時間內車的加速度a=F/M=500/100=5米/秒？

車運動的距離

s1=Wl+^j*^=4X0.54-^X5X=262漲.取網位以=26米.

S=S2-SI=2.6-1=1.6米

評分標準：全題8分

正確求得物塊離開車板前，物塊和車的加速度a-a2,占2分，求得物塊開始離開車板

時刻的速度v和此時車的速度V占1分，求得作用于車的恒力F占1分。正確求得物塊離

開車板后，車的加速度a占1分。正確分析物塊離開車板后物塊的運動并求得有關結

果，正確求得物塊下落過程中車的運動距離，并由此求得s的正確結果，共占3分。最后

結果錯誤，不給這3分。

1994如圖19-19所示，一帶電質點,質量為m,電量為q,以平行于Ox軸的速度v從y軸

上的a點射入圖中第?象限所示的區(qū)域。為了使該質點能從x軸上的b點以垂直于Ox軸的

速度v射出，可在適當的地方加一個垂直于xy平面、磁感應強度為B的勻強磁場。若此磁

場僅分布在個圓形區(qū)域內，試求這圓形磁場區(qū)域的最小半徑.重力忽略不計。

解：質點在磁場中作半徑為R的圓周運動，

qvB=(Md)/R,得R=(MV)/(qB)

根據題意，質點在磁場區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周,這段圓弧應與入

射方向的速度、出射方向的速度相切。過a點作平行于x軸的直線，過b點作平行于y軸的

直線，則與這兩直線均相距R的0'點就是圓周的圓心。質點在磁場區(qū)域中的軌道就是以

0'為圓心、R為半徑的圓(圖中虛線圓)上的圓弧MN,M點和N點應在所求圓形磁場區(qū)域的

邊界上。

在通過MN兩點的不同的圓周中，最小的?個是以MN連線為直徑的圓周。所以本題所求

的圓形磁場區(qū)域的最小半徑為：

■西=工國砂=&=包?整

2222M

所求磁場區(qū)域如圖中實線圓所示。

1995

如圖15所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點0兩側的人的序號都記為

n(n=l,2,3…).每人只有一個沙袋,x>0一側的每個沙袋質量為m=14千克,x<0一側的每個沙

袋質量m'=10千克.一質量為M=48千克的小車以某初速度從原點出發(fā)向正x方向滑行.不

計軌道阻力.當車每經過一人身旁時，此人就把沙袋以水平速度u朝與車速相反的方向沿車

面扔到車上,u的大小等于扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍.(n是此人的序號數)

(1)空車出發(fā)后,車上堆積了幾個沙袋時車就反向滑行？

(2)車上最終有大小沙袋共多少個？

7^~2~16~1~2~3*j

圖15

解：(1)在小車朝正X方向滑行的過程中，第(n-1)個沙袋扔到車上后的車速為VM,第n個沙

袋扔到車上后的車速為V”由動量守恒定律有

[M+(n-1)m]2nmV?-i=(M+mn)Vn

V?=Vn-i+(M+mn)①

小車反向運動的條件是：VQO,VWO,即

M-nm>0②

M-(n+l)m<0③

代入數字，得：n<M/m=48/14n>(M/m)-l=34/14

n應為整數,故n=3,即車上堆積3個沙袋后車就反向滑行.

(2)車自反向滑行直到接近x<0一側第1人所在位置時，車速保持不變,而車的質量為

M+3m.若在朝負x方向滑行過程中，第(n-1)個沙袋扔到車上后車速為V11T'，第n個沙袋扔

到車上后車速為V/，現(xiàn)取在圖中向左的方向(負x方向)為速度V/、V"的正方向，則

由動量守恒定律有車不再向左滑行的條件是

[M+3m+(n-l)m,]V?/-2nm'V?/=(M+3m+nm,)V“'

V，={[M+3m—(nT)m']V?-i'}4-(M+3m+nm*)④

Vn/>O,VJWO

即M+3m-nm'>0⑤

M+3m-(n+l)m,WO⑥

或：n<(M+3m)-rm,=9

n>(M+3m)4-m,-1=8

8WnW9

n=8時,車停止滑行,即在x<0一側第8個沙袋扔到車上后車就停住.故車上最終共有大小

沙袋3+8=11個.

評分標準:全題12分.第(1)問4分:求得①式給2分,正確分析車反向滑行條件并求得反

向時車上沙袋數再給2分.(若未求得①式，但求得第1個沙袋扔到車上后的車速，正確的也

給2分。通過逐次計算沙袋扔到車上后的車速，并求得車開始反向滑行時車上沙袋數，也再

給2分.)

第(2)問8分:求得④式給3分,⑤式給1分,⑥式給2分。求得⑦式給1分。得到最后結

果再給1分。(若未列出⑤、⑥兩式，但能正確分析并得到左側n=8的結論，也可給上述⑤、

⑥、⑦式對應的4分.)

1996

設在地面上方的真空室內存在勻強電場和勻強磁場。已知電場強度和磁感應強度的方向是

相同的，電場強度的大小E=4.0伏/米，磁感應強度的大小B=0.15特。今有一個帶負電

qE的質點以v=20米/秒的速度在此區(qū)域內沿垂直場強方向做勻速直線

gvB/運動，求此帶電質點的電量與質量之比q/m以及磁場的所有可能方向

(角度可用反三角函數表示)。

/!解：根據帶電質點做勻速直線運動的條件，得知此帶電質點所受的重

BErng

力、電場力和洛侖茲力的合力必定為零。由此推知此三個力在同一豎

直平面內，如右圖所示，質點的速度垂直紙面向外。

解法一：由合力為零的條件，可得

mg=q7(vB)2+E2①

求得帶電質點的電量與質量之比

q-g

mJ(vBf+E*②

代入數據得

-g-411%庫/千克③

因質點帶負電，電場方向與電場力方向相反，因而磁場方向也與電場力方向相

反。設磁場方向與重力方向之間夾角為0,則有

qEsin0=qvBcos0,

解得tg0=vB/E=20X0.15/4.0,。=arctg0.75。(4)

即磁場是沿著與重力方向夾角0=arctg0.75,且斜向下方的一切方向。

解法二:因質點帶負電，電場方向與電場力方向相反，因而磁碰方向也與電場力方

向相反。設磁場方向與重力方向間夾角為6,由合力為零的條件，可得

qEsin0=qvBcos0,①

qEcos0+qvBsin0=mg,②

解得

qg

mJ(vB)2+E?,③

代入數據得q/m=1.96庫/千克。④

tg0=vB/E=20X0.15/4.0,9=arctg0.75。⑤

即磁場是沿著與重力方向成夾角0=arctg0.75,且斜向下方的一切方向。

1997

如圖1所示，真空室中電極K發(fā)出的電子(初速不計?)經過U°=1000伏的加速電場后，山

小孔S沿兩水平金屬板A、B間的中心線射入。A、B板長1=0.20米，相距d=0.020米，

加在A、B兩板間電壓u隨時間t變化的u-t圖線如圖2所示。設A、B間的電場可看作是

均勻的，且兩板外無電場。在每個電子通過電場區(qū)域的極短時間內，電場可視作恒定的。

兩板右側放一記錄圓筒，筒在左側邊緣與極板右端距離b=0.15米，筒繞其豎直軸勻速轉

動，周期T=0.20秒，筒的周長

s=0.20米，筒能接收到通過A、

B板的全部電子。

(1)以t=0時(見圖2,此時u

S3

=0)電子打到圓筒記錄紙卜一的點作為xy坐標系的原點，并取y軸豎直向上。試計算電子

打到記錄紙上的最高點的y坐標和x坐標。(不計重力作用)

(2)在給出的坐標紙(圖3)上定量地畫出電子打到記錄紙上的點形成的圖線。

解：(1)計算電子打到記錄紙上的最高點的坐標設v0為電子沿A、B板的中心線射入電場

時的初速度，

電子在中心線方向的運動為勻速運動，設電子穿過A、B板的時間為t。,

則l=Voto②

圖⑴

電子在垂直A、B板方向的運動為勻加速直線運動。對于恰能穿過A、B板的電子，在

它通過時加在兩板間的電壓u『應滿足

1,1eu2

一d=___c

22md(§)

聯(lián)立①、②、③式解得

u°=(2d2)/(I2)U0=20伏

此電子從A、B板射出時沿y方向的分速度為

vy=(euo)/(md)to④

此后，此電子作勻速直線運動，它打在記錄紙上的點最高，設縱坐標為y,由圖(1)

可得

(y—d/2)/b=v，v()⑤

由以上各式解得

y=bd/l+d/2=2.5厘米⑥

從題給的u-t圖線可知，加于兩板電壓u的周期To=0.10秒,u的最大值un=100伏,

因yAjUc<U?,

在一個周期T。內，只有開始的一段時間間隔at內有電子通過A、B板

△t=(uc)/(U")To⑦

因為電子打在記錄紙上的最高點不止一個，根據題中關于坐標原點與起始記錄時刻

的規(guī)定，第一一個最高點的x坐標為

xi=(At)T/s=2厘米⑧

第二個最高點的x坐標為

x2=(At+To)/s=12厘米⑨

第三個最高點的x坐標為

心=[(At+2T0)/T]s=22厘米

由于記錄筒的周長為20厘米，所以第三個最高點已與第一個最高點重合，即電子打

到記錄紙上的最高點只有兩個，它們的x坐標分別山⑧和⑨表示

(2)電子打到記錄紙上所形成的圖線，如圖(2)所示。

評分標準：

本題12分。第(1)問10分，①、②、③、④、⑤、⑥式各1分，⑦式2分，⑧、

⑨式各1分。

1998

一段凹槽A倒扣在水平長木板C上，槽內有一小物塊B,&

它到槽兩內側的距離均為1/2,如圖所示。木板位于光滑水

小物塊與木板間的摩.卻兆弘力

平的桌面上，槽與木板間的摩擦不計,

擦系數為U。A、B、C三者質量相等,原來都靜止?，F(xiàn)使槽

A以大小為V。的初速向右運動，已知v0<。當A

和B發(fā)生碰撞時，兩者速度互換。求：

(1)從A、B發(fā)生第一次碰撞到第二次碰撞的時間內，木板C運動的路程。

(2)在A、B剛要發(fā)生第四次碰撞時，A、B、C三者速度的大小。

解：(DA與B剛發(fā)生第一次碰撞后，A停下不動，B以初速V。向右運動。由于摩擦，B

向右作勻減速運動，而C向右作勻加速運動，兩者速率逐漸接近。

設B、C達到相同速度八時B移動的路程為si。設A、B、C質量皆為m,由動量守恒定

律，得mv0=2mvi①

由功能關系，得

Umgsi=2mvo2/2-mv//2②

由①得vi=v0/2

2

代入②式，得SI=3V0/(8Pg)

根據條件V。〈噫曬,得

s,<31/4③可見，在B、C達到相同速度vi時，B尚未與A發(fā)生第二次碰撞，B與C

一起將以打向右勻速運動一段距離Q-S)后才與A發(fā)生第二次碰撞。設C的速度從零變到

vi的過程中，(:的路程為sz。由功能關系，得口mgS2=mv『/2④

2

解得s2=vo/(8ug)

因此在第一次到第二次碰撞間C的路程為

s=S2+l-Si=l-vo2/(411g)⑤

(2)由上面討論可知，在剛要發(fā)生第二次碰撞時，A靜止，B、C的速度均為vi。剛

碰撞后，B靜止，A、C的速度均為VI。由于摩擦，B將加速，C將減速，直至達到相同速度

v2o由動量守恒定律，得mv1=2mv2⑥

解得V2=VI/2=V0/4

因A的速度%大于B的速度vz,故第三次碰撞發(fā)生在A的左壁。剛碰撞后，A的速度

變?yōu)閂2,B的速度變?yōu)椤埃珻的速度仍為V"由于摩擦，B減速，C加速，直至達到相同速

度V3。由動量守恒定律，得mv1+mv2=2mv3⑦

解得v3=3v0/8

故剛要發(fā)生第四次碰撞時，A、B、C的速度分別為

VA=V2=VO/4(8)

VB=VC=V3=3VO/8⑨

圖中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側的半?"

空間存在一磁感強度為B的勻強磁場，方向垂直紙面向外是MN上］-.

的一點，從0點可以向磁場區(qū)域發(fā)射電量為+q、質量為m、速率

為的粒于，粒于射入磁場時的速度可在紙面內各個方向已知先后射|^\

人的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點相遇，P到0的距離為L不\,

計重力及粒子間的相互作用。|.

(1)求所考察的粒子在磁場中的軌道半徑；I.

(2)求這兩個粒子從0點射入磁場的時間間隔。*

解答：

(1)設粒子在磁場中作圓周運動的軌道半徑為R,由牛頓第二定律，有

qvB=mv'/R

得R=mv/qB①

(2)圖所示，以0P為弦可畫兩個半徑相同的

圓，分別表示在P點相遇的兩個粒子的軌

道。圓心和直徑分別為和

00?,00囚2,在0處兩個圓的切線分別表示

兩個粒子的射入方向，用0表示它們之間的夾角。由幾何關系可知

0②

ZP01QI=ZP02Q2

從0點射入到相遇，粒子1的路程為半個圓周加弧長QFQ.P=P6③

粒子2的路程為半個圓周減弧長PQ?=2

PQ2=Re④

粒子1運動的時間

ti=(l/2T)+(R0/v)⑤

其中T為圓周運動的周期。粒子2運動的時間為

t2=(l/2T)-(R9/v)@

兩粒子射入的時間間隔

△t=t「tz=2R0/V①

因Reos(9/2)=1/2L

得0=2arccos(L/2R)③

由①、①、③三式得

△t=4marccos(lqB/2mv)/qB

2000在原子核物理中，研究核子與核關聯(lián)的最有效途徑是“雙電荷交換反應”。這類反應

的前半部分過程和下述力學模型類似。兩個小球A和B用輕質彈簧相連，在光滑的水平直

軌道上處于靜止狀態(tài)。在它們左邊有一垂直于軌道的固定擋板P,右

2AE快

邊有一小球C沿軌道以速度％射向B球，如圖所示。C與B發(fā)生碰撞

并立即結成一個整體Do在它們繼續(xù)向左運動的過程中，當彈簧長度變到最短時，長度突

然被鎖定，不再改變。然后，A球與擋板P發(fā)生碰撞，碰后A、D都靜止不動，A與P接觸

而不粘連。過一段時間，突然解除鎖定(鎖定及解除定均無機械能損失)。已知A、B、C

三球的質量均為mo

(1)求彈簧長度剛被鎖定后A球的速度。

(2)求在A球離開擋板P之后的運動過程中，彈簧的最大彈性勢能。

解答：(1)設C球與B球粘結成D時，D的速度為修，由動量守恒，有

沼PQ=(海十海"①

當彈簧壓至最短時，D與A的速度相等，設此速度為內,由動量守恒，有

匕=

2m3MP2②

由①、②兩式得A的速度

(2)設彈簧長度被鎖定后，貯存在彈簧中的勢能為安，由能量守恒，有

--2WV?--■4￡B.

22④

撞擊P后，A與D的動能都為零，解除鎖定后，當彈簧剛恢復到自然長度時，勢

能全部轉變成D的動能，設D的速度為也，則有

⑤

當彈簧伸長，A球離開擋板P,并獲得速度。當A、D的速度相等時，彈簧伸

至最長。設此時的速度為七,由動量守恒，有

2叫=3m。⑥

當彈簧伸到最長時，其勢能最大，設此勢能為公；,由能量守恒，有

—?2mvj--■rmA+心

22⑦

解以上各式得

E'=-36my°；⑧

2001年江蘇、安徽、福建卷

太陽現(xiàn)正處于主序星演化階段。它主要是由電子和：H、；He等原子核組成。維持太陽輻

射的是它內部的核聚變反應，核反應方程是2e+4；H-；He+釋放的核能，這些核能最后

轉化為輻射能。根據目前關于恒星演化的理論，若由于聚變反應而使太陽中的：H核數目

從現(xiàn)有數減少10%,太陽將離開主序墾階段而轉入紅巨星的演化階段。為了簡化，假定目

前太陽全部由電子和：H核組成。

(1)為了研究太陽演化進程，需知道目前太陽的質量M。已知地球半徑7?=6.4X106m,

地球質量w=6.0xl024kg,日地中心的距離7-1.5x10"m,地球表面處的重力加速度g=10

Ms2,1年約為3.2X107秒。試估算目前太陽的質量

(2)已知質子質量^=1.6726X102/kg,；He質量=6.6458X1027kg,電子質量

恨=0.9X10-3°kg,光速c=3xl()8m/s。求每發(fā)生一次題中所述的核聚變反應所釋放的核

能。

(3)又知地球上與太陽光垂直的每平方米截面上，每秒通過的太陽輻射能片1.35X103

W/m2o試估算太陽繼續(xù)保持在主序星階段還有多少年的壽命。

(估算結果只要求一位有效數字。)

參考解答：

(1)估算太陽的質量M

設7為地球繞日心運動的周期，則由萬有引力定律和牛頓定律可知

c冽M,2%、2

G=一=w(—Yr

戶7①

地球表面處的重力加速度

由①、②式聯(lián)立解得

M-w(—)34—

T鵬豈③

以題給數值代入，得M=2Xl()30kg④

(2)根據質量虧損和質能公式，該核反應每發(fā)生一次釋放的核能為

2

△E=(.4mp+2me—m1,)C⑤

代入數值，解得

Z\￡=4.2xl012J(6)

(3)根據題給假定，在太陽繼續(xù)保持在主序星階段的時間內，發(fā)生題中所述的核聚變反應

的次數為

N=---xio%⑦

4%

因此，太陽總共輻射出的能量為

E=N?AE

設太陽輻射是各向同性的，則每秒內太陽向外放出的輻射能為

e=4萬兒⑧

所以太陽繼續(xù)保持在主序星的時間為

由以上各式解得

2

0.+2me-ma)c

t=---------------------2--------

以題給數據代入，并以年為單位，可得

/=”1()1。年=1百億年⑩

評分標準：本題28分，其中第(1)問14分，第(2)問7分。第(3)問7分。

第(1)問中，①、②兩式各3分，③式4分，得出④式4分；

第(2)問中⑤式4分，⑥式3分；

第(3)問中⑦、⑧兩式各2分，⑨式2分，⑩式1分。

2001年北京卷

如圖所示，/、B是靜止在水平地面上完全相同的兩塊長木板。A的左端和B的右端相接

觸。兩板的質量皆為河=2.0像，長度皆為/=1.0掰.C是一質量為加=1.0他的小

物塊.現(xiàn)給它一初速度%=2.0m/s,使它從8板的左端開始向右滑動.已知地面是

光滑的，而C與力、8之間的動摩擦因數皆為〃=0.10.求最后/、B、C各以多大的

速度做勻速運動.取重力加速度g=10相/$2

22.參考解答:

先假設小物塊C在木板8上移動x距離后，停在8上.這時B、C三者的速度

相等，設為V.由動量守恒得

mv0=(加+2M)V①

在此過程中，木板8的位移為s,小木塊C的位移為s+x.山功能關系得

一〃/wg(s+x)=~~wvo

1

/jmgs=—.2MV7

相加得一用wgx=；(/%+2M)-2一；機詔②

解①、②兩式得

Mvl

X=③

(2A/+m)//g

代入數值得

X=1.6/77④

x比8板的長度/在.這說明小物塊C不會停在8板上，而要滑到4板上,設。剛

滑到Z板上的速度為匕，此時Z、8板的速度為匕，則由動量守恒得

my。=mvx+2MV}⑤

由功能關系得

12121cly-rz2

—wv0-—mvf-—-zMKj=/nmgl⑥

以題給數據代入解得

rz8±V24

'20

c8±V242+V24

v,-2-------------=------------

'55

由于匕必是正數，故合理的解是

8-J24

V.=---=0.155機/s,⑦

120

v,-------------=1.38ZM/S⑧

當滑到/之后，8即以匕=0.155%/s做勻速運動.而C是以匕=1.38m/s的初

速在Z上向右運動.設在4上移動了歹距離后停止在“上，此時C和4的速度為七,由

動量守恒得

MV1+mv]=（加+M）V2

⑨

解得匕=0.563M/S

⑩

山功能關系得

11,12

2?

—wv,+—MV]~—(m+Af)K2'=fjmgy

解得y-0.50加

?

丁比/板的長度小，故小物塊C確實是停在A板上.最后力、8、C的速度分別為

匕=匕=0.563m/s,/=匕=0.155/w/s,Vc=VA=0.563w/s.

評分標準：本題14分.

正確論證了C不能停在8板上而是停在/板上，占8分.求出小B、C三者的最后速度，

占6分.

2001年全國卷，廣東卷

一個圓柱形的豎直的井里存有一定量的水，井的側面和底部是密閉的，在井中固定地插著

一根兩端開U的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底.在圓管內有一不漏氣的活

塞，它可沿圓管上下滑動.開始時，管內外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖所示.

現(xiàn)用卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力F,使活塞緩慢向上移動，已知管筒半

徑r=0.100m,井的半徑R=2r,水的密度夕=1.00XlOAg/mA大氣壓為=1.00X

lORa.求活塞質量，不計摩擦，重力加速度g=10m/s2.）

參考解答：

從開始提升到活塞升至內外水面高度差為d=生=10加的過程中，活塞始終與管內液

Pg

體接觸。（再提升活塞時，活塞和水面之間將出現(xiàn)真空，另行討論。）設活塞上升距離為

E，管外液面下降距離為〃2，

〃0=〃1+%2①

因液體體積不變，有

2

&=h\（―T~~~T）=!%②

成2-加/3

得h<=—h0=—xl0/n=7.5w③

44

題給H=9m>h，由此可知確實有活塞下面是真空的一段過程。

活塞移動距離從零到九的過程中，對于水和活塞這個整體，其機械能的增量應等于除

重力外其他力所做的功。因為始終無動能，所以機械能的增量也就等于重力勢能增量，即

2

/^E=p（m-hx）g-y-④

其他力有管內、外的大氣壓力和拉力尸。因為液體不可壓縮，所以管內、外大氣壓力

做的總功尸0加?2—/為一汽/電=0,故外力做功就只是拉力廠做的功，由功能關系知

Wx=/\E⑤

224

即Wx=p（7tr）g-h^=-^-^-=1.18X10J⑥

88依