時間序列計量經(jīng)濟學(xué)第1頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五§21.1時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性三、平穩(wěn)性的圖示判斷四、平穩(wěn)性的單位根檢驗五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程第2頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型

第3頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五⒈常見的數(shù)據(jù)類型到目前為止，經(jīng)典計量經(jīng)濟模型常用到的數(shù)據(jù)有：時間序列數(shù)據(jù)（time-seriesdata)；截面數(shù)據(jù)(cross-sectionaldata)平行/面板數(shù)據(jù)（paneldata/time-seriescross-sectiondata)★時間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)。第4頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五⒉經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性經(jīng)典回歸分析暗含著一個重要假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計推斷基礎(chǔ)——“一致性”要求——被破懷。經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非隨機變量放寬該假設(shè)：X是隨機變量，則需進一步要求：

(1)X與隨機擾動項不相關(guān)∶Cov(X,)=0依概率收斂：(2)第5頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第（2）條是為了滿足統(tǒng)計推斷中大樣本下的“一致性”特性：第（1）條是OLS估計的需要▲如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢），則（2）不成立，回歸估計量不滿足“一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。因此：注意：在雙變量模型中：第6頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

表現(xiàn)在:兩個本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性（有較高的R2)：例如：如果有兩列時間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中：情況往往是實際的時間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟變量如消費、收入、價格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進行分析，一般不會得到有意義的結(jié)果。⒊數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸”問題第7頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

時間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭示時間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計量經(jīng)濟學(xué)方法論。

時間序列分析已組成現(xiàn)代計量經(jīng)濟學(xué)的重要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟分析與預(yù)測當中。第8頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性第9頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五時間序列分析中首先遇到的問題是關(guān)于時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性問題。

假定某個時間序列是由某一隨機過程（stochasticprocess）生成的，即假定時間序列{Xt}（t=1,2,…）的每一個數(shù)值都是從一個概率分布中隨機得到，如果滿足下列條件：

1）均值E(Xt)=是與時間t無關(guān)的常數(shù)；

2）方差Var(Xt)=2是與時間t無關(guān)的常數(shù)；

3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k

是只與時期間隔k有關(guān)，與時間t無關(guān)的常數(shù)；則稱該隨機時間序列是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機過程是一平穩(wěn)隨機過程（stationarystochasticprocess）。

第10頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五平穩(wěn)隨機過程

某一隨機過程的均值和方差都為與實踐無關(guān)的常數(shù)，并且在任何兩期之間的協(xié)方差值僅僅依賴于該兩期間的距離和滯后，而不依賴于計算的時間，這一隨機過程就為平穩(wěn)過程。簡言之，若一個時間序列是平穩(wěn)的，則不管在什么時間測量，它的均值、方差和（各種滯后的）自協(xié)方差都保持不變，即它們都不隨時間而變化。平穩(wěn)時間序列有回到其均值的趨勢，可以稱之為均值回復(fù)過程，圍繞均值波動且有大致恒定的振幅。

第11頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第12頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第13頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五嚴平穩(wěn)的定義第14頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五非平穩(wěn)過程若某一過程不滿足上述平穩(wěn)過程定義中的某一條性質(zhì)，即均值、方差和協(xié)方差都隨時間而變化，或者其一會隨時間變化，都為非平穩(wěn)過程第15頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五隨機游走過程就是非平穩(wěn)過程隨機游走過程分為：（1）不帶漂移的隨機游走（即不存在常數(shù)項或截距項）（2）帶漂移的隨機游走（出現(xiàn)常數(shù)項或截距項）第16頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第17頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第18頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第19頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第20頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第21頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五后面將會看到:如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。事實上，隨機游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例Xt=Xt-1+t

不難驗證:1)||>1時，該隨機過程生成的時間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升(>1)或持續(xù)下降(<-1)，因此是非平穩(wěn)的，這種非平穩(wěn)歸因于過程中存在某種趨勢；第22頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五只有當-1<<1時，該隨機過程才是平穩(wěn)的。2)||=1時，稱為單位根過程，若一個變量序列中存在單位根，則這么變量就服從隨機游走或稱為非平穩(wěn)的注：單位根和非平穩(wěn)之間的關(guān)系如此之強，使得計量經(jīng)濟學(xué)家們通常不加以區(qū)分地使用這兩個詞，即使他們知道趨勢和單位根都是造成序列非平穩(wěn)的原因第23頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程第24頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

隨機游走序列

Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等價地變形為

Xt=t

由于t是一個白噪聲，因此差分后的序列{Xt}是平穩(wěn)的。⒈單整第25頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

一般地，如果一個時間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時間序列?，F(xiàn)實經(jīng)濟生活中:1)只有少數(shù)經(jīng)濟指標的時間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等;2)大多數(shù)指標的時間序列是非平穩(wěn)的，如一些價格指數(shù)常常是2階單整的，以不變價格表示的消費額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。大多數(shù)非平穩(wěn)的時間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。但也有一些時間序列，無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（non-integrated）。

如果一個時間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。第26頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五若一個時間序列的趨勢完全可以預(yù)測而且保持不變，我們稱為確定性趨勢若這個時間序列的趨勢不能預(yù)測，則稱之為隨機性趨勢。第27頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

1)如果=1，=0，則（*）式成為一帶位移的隨機游走過程：

Xt=+Xt-1+t

（**）根據(jù)的正負，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為隨機性趨勢（stochastictrend）。

2)如果=0，0，則（*）式成為一帶時間趨勢的隨機變化過程：

Xt=+t+t

（***）根據(jù)的正負，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為確定性趨勢（deterministictrend）?？紤]如下的含有一階自回歸的隨機過程：Xt=+t+Xt-1+t（*）其中:t是一白噪聲，t為一時間趨勢。第28頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

3)如果=1，0，則Xt包含有確定性與隨機性兩種趨勢。

判斷一個非平穩(wěn)的時間序列，它的趨勢是隨機性的還是確定性的，可通過ADF檢驗中所用的第3個模型進行。該模型中已引入了表示確定性趨勢的時間變量t，即分離出了確定性趨勢的影響。因此，(1)如果檢驗結(jié)果表明所給時間序列有單位根，且時間變量前的參數(shù)顯著為零，則該序列顯示出隨機性趨勢;

(2)如果沒有單位根，且時間變量前的參數(shù)顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢。第29頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

隨機性趨勢可通過差分的方法消除如：對式Xt=+Xt-1+t

可通過差分變換為Xt=+t

該時間序列稱為差分平穩(wěn)過程（differencestationaryprocess）；第30頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

確定性趨勢無法通過差分的方法消除，而只能通過除去趨勢項消除，如：對式

Xt=+t+t可通過除去t變換為

Xt-t

=+t該時間序列是平穩(wěn)的，因此稱為趨勢平穩(wěn)過程（trendstationaryprocess）。最后需要說明的是，趨勢平穩(wěn)過程代表了一個時間序列長期穩(wěn)定的變化過程，因而用于進行長期預(yù)測則是更為可靠的。

第31頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第32頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第33頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第34頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第35頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第36頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

謬誤回歸現(xiàn)象一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟時間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢，而這些序列間本身不一定有直接的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這時對這些數(shù)據(jù)進行回歸，盡管有較高的R2，但其結(jié)果是沒有任何實際意義的。這種現(xiàn)象我們稱之為虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）。

第37頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生，通常的做法是引入作為趨勢變量的時間，這樣包含有時間趨勢變量的回歸，可以消除這種趨勢性的影響。

然而這種做法，只有當趨勢性變量是確定性的（deterministic）而非隨機性的（stochastic），才會是有效的。換言之，如果一個包含有某種確定性趨勢的非平穩(wěn)時間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢的趨勢變量，而將確定性趨勢分離出來。第38頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五三、平穩(wěn)性檢驗的圖示判斷第39頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五給出一個隨機時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。一個平穩(wěn)的時間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程；而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。

第40頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第41頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五進一步的判斷:

檢驗樣本自相關(guān)函數(shù)及其圖形定義隨機時間序列的自相關(guān)函數(shù)（autocorrelationfunction,ACF）如下：k=k/0

自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于滯后期k的遞減函數(shù)。

實際上,對一個隨機過程只有一個實現(xiàn)（樣本），因此，只能計算樣本自相關(guān)函數(shù)（Sampleautocorrelationfunction）。第42頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五一個時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)定義為：易知，隨著k的增加，樣本自相關(guān)函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。第43頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五注意:

確定樣本自相關(guān)函數(shù)rk某一數(shù)值是否足夠接近于0是非常有用的，因為它可檢驗對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)k的真值是否為0的假設(shè)。

Bartlett曾證明:如果時間序列由白噪聲過程生成，則對所有的k>0，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以0為均值，1/n為方差的正態(tài)分布，其中n為樣本數(shù)。也可檢驗對所有k>0，自相關(guān)系數(shù)都為0的聯(lián)合假設(shè)，這可通過如下QLB統(tǒng)計量進行：第44頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五該統(tǒng)計量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長度）。因此:如果計算的Q值大于顯著性水平為的臨界值，則有1-的把握拒絕所有k(k>0)同時為0的假設(shè)。

例9.1.3:

表9.1.1序列Random1是通過一隨機過程（隨機函數(shù)）生成的有19個樣本的隨機時間序列。

第45頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第46頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五容易驗證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動，且樣本自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，隨后在0附近波動且逐漸收斂于0。第47頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五由于該序列由一隨機過程生成，可以認為不存在序列相關(guān)性，因此該序列為一白噪聲。

根據(jù)Bartlett的理論：k~N(0,1/19)

因此任一rk(k>0)的95%的置信區(qū)間都將是

可以看出:k>0時，rk的值確實落在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受k(k>0)為0的假設(shè)。同樣地，從QLB統(tǒng)計量的計算值看，滯后17期的計算值為26.38，未超過5%顯著性水平的臨界值27.58，因此,可以接受所有的自相關(guān)系數(shù)k(k>0)都為0的假設(shè)。

因此，該隨機過程是一個平穩(wěn)過程。

第48頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

序列Random2是由一隨機游走過程

Xt=Xt-1+t

生成的一隨機游走時間序列樣本。其中，第0項取值為0，t是由Random1表示的白噪聲。第49頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

樣本自相關(guān)系數(shù)顯示：r1=0.48，落在了區(qū)間[-0.4497,0.4497]之外，因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設(shè)。

該隨機游走序列是非平穩(wěn)的。

圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關(guān)圖看，雖然自相關(guān)系數(shù)迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發(fā)散趨勢。第50頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五平穩(wěn)過程自相關(guān)圖示：第51頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五非平穩(wěn)過程自相關(guān)圖示：第52頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第53頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

圖形：表現(xiàn)出了一個持續(xù)上升的過程，可初步判斷是非平穩(wěn)的。

樣本自相關(guān)系數(shù)：緩慢下降，再次表明它的非平穩(wěn)性。

第54頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五拒絕：該時間序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后1期之后的值全部為0的假設(shè)。

結(jié)論:1978~2000年間中國GDP時間序列是非平穩(wěn)序列。從滯后18期的QLB統(tǒng)計量看：QLB(18)=57.18>28.86=20.05第55頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五例9.1.5

檢驗§2.10中關(guān)于人均居民消費與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。原圖樣本自相關(guān)圖第56頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五從圖形上看：人均居民消費（CPC）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的。

從滯后14期的QLB統(tǒng)計量看：CPC與GDPPC序列的統(tǒng)計量計算值均為57.18，超過了顯著性水平為5%時的臨界值23.68。再次表明它們的非平穩(wěn)性。

就此來說，運用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無實際意義的。不過，第三節(jié)中將看到，如果兩個非平穩(wěn)時間序列是協(xié)整的，則傳統(tǒng)的回歸結(jié)果卻是有意義的，而這兩時間序列恰是協(xié)整的。

第57頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五四、平穩(wěn)性的單位根檢驗第58頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

對時間序列的平穩(wěn)性除了通過圖形直觀判斷外，運用統(tǒng)計量進行統(tǒng)計檢驗則是更為準確與重要的。

單位根檢驗（unitroottest）是統(tǒng)計檢驗中普遍應(yīng)用的一種檢驗方法。1、DF檢驗我們已知道，隨機游走序列

Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機模型

Xt=Xt-1+t中參數(shù)=1時的情形。第59頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五也就是說，我們對式

Xt=Xt-1+t（*）

做回歸，如果確實發(fā)現(xiàn)=1，就說隨機變量Xt有一個單位根。

（*）式可變形式成差分形式：

Xt=(-1)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗（*）式是否存在單位根=1，也可通過（**）式判斷是否有=0。第60頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

一般地:

檢驗一個時間序列Xt的平穩(wěn)性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型

Xt=+Xt-1+t（*）中的參數(shù)是否小于1。

或者：檢驗其等價變形式

Xt=+Xt-1+t（**）中的參數(shù)是否小于0。在第二節(jié)中將證明，（*）式中的參數(shù)>1或=1時，時間序列是非平穩(wěn)的;對應(yīng)于（**）式，則是>0或=0。

第61頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五因此，針對式Xt=+Xt-1+t

我們關(guān)心的檢驗為：零假設(shè)H0：=0，Xt

非平穩(wěn)。

備擇假設(shè)H1：<0，Xt

平穩(wěn)上述檢驗可通過OLS法下的t檢驗完成。然而，在零假設(shè)（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計量也是有偏誤的（向下偏移），通常的t檢驗無法使用。Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計量服從的分布（這時的t統(tǒng)計量稱為統(tǒng)計量），即DF分布（見表9.1.3）。由于t統(tǒng)計量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。第62頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五因此，可通過OLS法估計

Xt=+Xt-1+t并計算t統(tǒng)計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：

如果：t<臨界值，則拒絕零假設(shè)H0：

=0，認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。第63頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結(jié)果是相同的。例如：“如果計算得到的t統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕ρ=0”的假設(shè)，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。第64頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

進一步的問題：在上述使用Xt=+Xt-1+t對時間序列進行平穩(wěn)性檢驗中，實際上假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的。但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲，這樣用OLS法進行估計均會表現(xiàn)出隨機誤差項出現(xiàn)自相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗無效。另外，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導(dǎo)致上述檢驗中的自相關(guān)隨機誤差項問題。為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進行了擴充，形成了ADF（AugmentDickey-Fuller）檢驗。

2、ADF檢驗第65頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：

模型3中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。

檢驗的假設(shè)都是：針對H1:<0,檢驗H0：=0，即存在一單位根。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項和趨勢項。第66頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五

實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。何時檢驗拒絕零假設(shè)，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列，何時檢驗停止。否則，就要繼續(xù)檢驗，直到檢驗完模型1為止。

檢驗原理與DF檢驗相同，只是對模型1、2、3進行檢驗時，有各自相應(yīng)的臨界值。表9.1.4給出了三個模型所使用的ADF分布臨界值表。第67頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五第68頁，共87頁，2023年，2月20日，星期五同時估計出上述三個模型的適當形式，然后通過ADF臨界值表檢驗零假設(shè)H0：=0。1）只要其中有一個模型的檢驗結(jié)果拒絕了零假設(shè)，就可以認為時間序列是平穩(wěn)的；2）當三個模型的檢驗結(jié)果都不能拒絕零假設(shè)時，則認為時間序列是非平穩(wěn)的。這里所謂模型適當?shù)男问骄褪窃诿總€模型中選取適當?shù)臏蟛罘猪?，以使模型的殘差項是一個白噪聲（主要