數(shù)學歸納法時第1頁/共43頁

從前，有個小孩叫萬百千，他開始上學識字。第一天先生教他個“一”字。第二天先生又教了個“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并預先在紙上劃了三橫。果然這天教了個“三”字。于是他得了一個結(jié)論：“四”一定是四橫，“五”一定是五橫，以此類推，…

從此，他不再去上學，家長發(fā)現(xiàn)問他為何不去上學，他自豪地說：“我都會了”。家長要他寫出自己的名字，“萬百千”寫名字結(jié)果可想而知。

"萬百千"的笑話故事情境第2頁/共43頁問題情境一

問題1:你知道諺語—“天下烏鴉一般黑”的由來嗎？

師生互動探求新知

問題2:盒子中有5個小球，如何證明它們都是紅色的？

第3頁/共43頁

問題3:數(shù)列的通項公式是：an=(n2－5n+5)2請算出a1=，a2=，a3=，a4=,猜測1111猜測是否正確呢？問題情境二由于a5＝25≠1，所以猜測是不正確的第4頁/共43頁問題4:在數(shù)列{}中,

＝1,

(n∈),

（1）求，，的值；（2）試猜想該數(shù)列的通項公式．

像這種由一系列特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，叫做歸納法。第5頁/共43頁

（結(jié)論一定可靠，但需逐一核對，實施較難）（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想）（1）完全歸納法：考察全體對象，得到一般結(jié)論的推理方法（2）不完全歸納法，考察部分對象，得到一般結(jié)論的推理方法歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法第6頁/共43頁

問題

1:大球中有5個小球，如何證明它們都是綠色的？

完全歸納法

不完全歸納法

問題2:在數(shù)列{}中,

試猜想該數(shù)列的通項公式。＝1,(n∈),

第7頁/共43頁數(shù)學家費馬運用歸納法得出費馬猜想的事例：

第8頁/共43頁思考：歸納法有什么優(yōu)點和缺點？優(yōu)點：可以幫助我們從一些具體事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律缺點：僅根據(jù)有限的特殊事例歸納得到的結(jié)論有時是不正確的第9頁/共43頁

在使用歸納法探究數(shù)學命題時，必須對任何可能的情況進行論證后，才能判別命題正確與否。

思考1：與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題能否通過一一驗證的辦法來加以證明呢？

思考2：如果一個數(shù)學命題與正整數(shù)n有關,我們能否找到一種既簡單又有效的證明方法呢？第10頁/共43頁多米諾骨牌游戲問題情境三第11頁/共43頁

這個游戲中，能使所有多米若骨牌全部倒下的條件是什么？需滿足以下兩個條件：

（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相臨兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.思考：你認為條件（2）的作用是什么？

思考：能否類比這種方法來解決不完全歸納法存在的問題呢？第12頁/共43頁你能證明這個猜想是正確的嗎？引例在數(shù)列{}中,

＝1,

(n∈),

（1）求，，的值；（2）試猜想該數(shù)列的通項公式．探究發(fā)現(xiàn)形成概念第13頁/共43頁任意相鄰的兩塊牌，前一塊倒下一定導致后一塊牌倒下．第一項成立第k項成立，第k+1項成立．第一塊骨牌倒下1234kK+1…………n=1時如果n=k時猜想成立即……那么當n=k+1時猜想也成立，即猜想成立第14頁/共43頁證明一個與正整數(shù)有關的命題步驟如下：(2)假設當n＝k(k∈N*,k≥n0)時命題成立,證明當n＝k＋1時命題也成立．

完成這兩個步驟后,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)

n都正確．(1)證明當n取第一個值n=n0時命題成立——這種證明方法叫做數(shù)學歸納法．歸納奠基歸納遞推第15頁/共43頁框圖表示了數(shù)學歸納法的基本過程：（1）驗證：n=n0（n0∈N+）時命題成立。（2）證明：假設n=k（k≥n0）時命題成立，證明n=k+1時命題也成立。結(jié)論：命題對所有的n（n0∈N+，n≥n0）成立歸納奠基歸納遞推第16頁/共43頁情境1.觀察下列各等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？歸納思考：你由不完全歸納法所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論正確嗎？若不正確，請舉一個反例;若正確，如何證明呢？師生互動講練結(jié)合第17頁/共43頁

類比多米諾骨牌游戲證明猜想

的步驟為：(1)證明當n=1時猜想成立(2)證明若當n=k時命題成立，則n=k+1時命題也成立.

完成了這兩個步驟以后就可以證明上述猜想對于所有的正整數(shù)n都是成立的。相當于第一張牌能倒下

相當于使所有骨牌倒下的第2個條件第18頁/共43頁證明①當n=1時，左邊＝1＝右邊,等式顯然成立。例1

證明：遞推基礎遞推依據(jù)②假設當n=k時等式成立，即那么,當n=k+1時，有即當n=k+1時,等式也成立。綜上①②可知，對任何nN*等式都成立。湊結(jié)論從n=k到n=k+1有什么變化湊假設第19頁/共43頁變式訓練1：2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)證明：假設當n=k時等式成立，即

2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)那么，當n=k+1時，有

2+4+6+8+…+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,因此，對于任何nN*等式都成立。缺乏“遞推基礎”事實上，我們可以用等差數(shù)列求和公式驗證原等式是不成立的！第20頁/共43頁

這不是數(shù)學歸納法證明①當n=1時,左邊=,②假設n=k(k∈N*)時原等式成立，即右邊=此時，原等式成立。那么n=k+1時,綜上①②知,對一切正整數(shù)n,原等式均正確.

變式訓練2：缺乏“遞推依據(jù)”第21頁/共43頁證明①當n=1時,左邊=,這才是數(shù)學歸納法②假設n=k(k∈N*)時原等式成立，即右邊=此時，原等式成立。那么n=k+1時,這就是說，當n=k+1時,命題也成立.綜上①②知,對一切正整數(shù)n,原等式均正確.

第22頁/共43頁用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關命題的步驟是：（1）證明當取第一個值（如或2等）時結(jié)論正確；

（2）假設時結(jié)論正確，證明時結(jié)論也正確．

遞推基礎遞推依據(jù)“找準起點，奠基要穩(wěn)”“用上假設，遞推才真”“綜合（1）（2），……”不可少！注意:數(shù)學歸納法使用要點：兩步驟,一結(jié)論。第23頁/共43頁(2)數(shù)學歸納法證題的步驟：兩個步驟，一個結(jié)論；(3)數(shù)學歸納法優(yōu)點：即克服了完全歸納法的繁雜的缺點，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足。(4)數(shù)學歸納法的基本思想：運用“有限”的手段來解決“無限”的問題(1)數(shù)學歸納法是一種證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的重要方法合作交流總結(jié)提高第24頁/共43頁數(shù)學思想：遞推思想、類比思想、歸納思想

數(shù)學方法：數(shù)學歸納法——證明與正整數(shù)有關的命題數(shù)學知識：數(shù)學歸納法要點：兩步驟一結(jié)論第25頁/共43頁課后作業(yè)陽光課堂與課本：第95頁練習1

第96頁習題2.3B組1

第26頁/共43頁思考：

步驟(1)中n取的第一個值n0一定是1嗎？為什么？

舉例說明：用數(shù)學歸納法證明n邊形的對角線的條數(shù)是此時n取的第一值第27頁/共43頁第28頁/共43頁第29頁/共43頁

分析下列各題用數(shù)學歸納法證明過程中的錯誤：深入探究發(fā)現(xiàn)問題第30頁/共43頁（1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)證明：假設當n=k時等式成立，即

2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)那么，當n=k+1時，有

2+4+6+8+…+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,因此，對于任何nN*等式都成立。缺乏“遞推基礎”事實上，我們可以用等差數(shù)列求和公式驗證原等式是不成立的！第31頁/共43頁這就是說，當n=k+1時,命題也成立.沒有用上“假設”，故此法不是數(shù)學歸納法請修改為數(shù)學歸納法證明①當n=1時,左邊=,②假設n=k(k∈N*)時原等式成立，即此時，原等式成立。那么n=k+1時,由①②知,對一切正整數(shù)n,原等式均正確.

第32頁/共43頁

用數(shù)學歸納法證明

1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

練習鞏固

則當n=k+1時，

+＝=

即當n=k+1時命題正確。綜上(1)(2)可知，當，命題正確。

=證明:2)假設n=k時命題成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝1)當n=1時，左邊=1×2=2,右邊==2.命題成立從n=k到n=k+1有什么變化湊假設湊結(jié)論第33頁/共43頁（3）（糾錯題）課本P87T32n>n2(nN*)證明：①當n=1時，21>12,不等式顯然成立。②假設當n=k時等式成立，即2k>k2,那么當n=k+1時，有2k+1=22k=2k+2k>k2+k2k2+2k+1=(k+1)2.這就是說，當n=k+1時不等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知對任何nN*不等式都成立。雖然既有“遞推基礎”，又用到假設（“遞推依據(jù)”），但在證明過程中出現(xiàn)錯誤，故上述證法錯誤！事實上，原不等式不成立，如n=2時不等式就不成立。第34頁/共43頁練習鞏固

1、

用數(shù)學歸納法證明：“”在驗證

n=1成立時，左邊計算所得的結(jié)果是（

）

A．1 B.C．

D.

2.已知:,則等于()A:B:C:D:CC第35頁/共43頁3.

用數(shù)學歸納法證明:1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)＝

練習鞏固

4、用數(shù)學歸納法證明：

5．求證:當n∈N*時，第36頁/共43頁練習

用數(shù)學歸納法證明

證明（1）當n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立．這就是說，當n=k+1時，等式也成立．由（1）和（2），可知等式對任何正整數(shù)n都成立．（2）假設當n=k時，等式成立，即遞推基礎遞推依據(jù)那么當n=k+1時，第37頁/共43頁3.用數(shù)學歸納法證明

1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

練習鞏固

從n=k到n=k+1有什么變化湊假設湊結(jié)論證明:2)假設n=k時命題成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝則當n=k+1時，

+＝=∴n=k+1時命題正確。由(1)和(2)知，當，命題正確。

=1)當n=1時，左邊=1×2=2,右邊==2.命題成立第38頁/共43頁練習鞏固

4、用數(shù)學歸納法證明證明: