第5課時(shí)空間中的垂直關(guān)系考向定位高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)和判定作為考察重點(diǎn)。在難度上也始終以中等偏難為主，重點(diǎn)在對(duì)圖形及幾何體的認(rèn)識(shí)上，實(shí)現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，因而在這部分知識(shí)點(diǎn)上命題，將是重中之重。預(yù)測(cè)2022年高考將以多面體為載體直接考察線面位置關(guān)系?？季V解讀1、掌握直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行論證和解決有關(guān)的問題，并會(huì)規(guī)范地寫出解題過程。2、提高立體幾何綜合運(yùn)用能力，能正確地分析出幾何體中基本元素及其相互關(guān)系，能對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合和變形。重難點(diǎn)掌握直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，會(huì)利用上述知識(shí)論證和解決有關(guān)問題。考點(diǎn)精講1、線線垂直判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直。推理模式：。注意：⑴三垂線指PA，PO，AO都垂直α內(nèi)的直線a其實(shí)質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理⑵要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用。2、線面垂直定義：如果一條直線l和一個(gè)平面α相交，并且和平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面α互相垂直其中直線l叫做平面的垂線，平面α叫做直線l的垂面,直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足。直線l與平面α垂直記作：l⊥α。直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。3、面面垂直兩個(gè)平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面。兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直線面垂直）若兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。4、證明空間線面垂直需注意以下幾點(diǎn)：①由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。②立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。③明確何時(shí)應(yīng)用判定定理，何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。④直線是一維的，平面是二維的，立體空間是三維的。運(yùn)用降維的方法把立體空間問題轉(zhuǎn)化為平面或直線問題進(jìn)行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問題得到解決。平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運(yùn)用的過程。熱點(diǎn)題例例1．如圖1所示，已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分別為A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中點(diǎn)，求證：EF⊥GF。證明：如圖2，作GQ⊥B1C1于Q，連接FQ，則GQ⊥平面A1B1C1D1，且Q為B1C1的中點(diǎn)。ABCDEA1B1C1OF在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分別為A1DABCDEA1B1C1OF點(diǎn)評(píng)：以垂直為背景，加強(qiáng)空間想象能力的考查，體現(xiàn)了立體幾何從考查、論證思想。例2．（1）如圖，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，求證：BD⊥平面ACC1A1。（2）如圖，在五面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，面CDE是等邊三角形，棱。（I）證明平面；（II）設(shè)證明平面。證明：（1）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，∴CC1⊥平面ADCD,∴BD⊥CC1∵ABCD是正方形∴BD⊥AC又∵AC，CC1平面ACC1A1,且AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1A1（2）證明：（I）取CD中點(diǎn)M，連結(jié)OM。 在矩形ABCD中， 又 則連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形。 又平面CDE，且平面CDE，平面CDE。（II）連結(jié)FM。由（I）和已知條件，在等邊中， 且 因此平行四邊形EFOM為菱形，從而。 平面EOM，從而 而所以平面點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力。例3．如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1中點(diǎn)．（1）求證C1D⊥平面A1B；（2）當(dāng)點(diǎn)F在BB1上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論。分析：（1）由于C1D所在平面A1B1C1垂直平面A1B，只要證明C1D垂直交線A1B1，由直線與平面垂直判定定理可得C1D⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D⊥AB1，只要過D作AB1的垂線，它與BB1的交點(diǎn)即為所求的F點(diǎn)位置。（1）證明：如圖，∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°。又D是A1B1的中點(diǎn)，∴C1D⊥A1B1?！逜A1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B。（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延長(zhǎng)DE交BB1于F，連結(jié)C1F，則AB1⊥平面C1DF，點(diǎn)F即為所求。事實(shí)上，∵C1D⊥平面AA1BB，AB1平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DFC1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF。點(diǎn)評(píng)：本題（1）的證明中，證得C1D⊥A1B1后，由ABC—A1B1C1是直三棱柱知平面C1A1B1⊥平面AA1B1B，立得C1D⊥平面AA1B1B。（2）是開放性探索問題，注意采用逆向思維的方法分析問題。例4．如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，求證：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA。分析：（1）證明DE＝DA，可以通過圖形分割，證明△DEF≌△DBA。（2）證明面面垂直的關(guān)鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。由（1）知DM⊥EA，取AC中點(diǎn)N，連結(jié)MN、NB，易得四邊形MNBD是矩形。從而證明DM⊥平面ECA。證明：（1）如圖，取EC中點(diǎn)F，連結(jié)DF?！逧C⊥平面ABC，BD∥CE，得DB⊥平面ABC?！郉B⊥AB，EC⊥BC?！連D∥CE，BD＝CE＝FC，則四邊形FCBD是矩形，DF⊥EC。又BA＝BC＝DF，∴Rt△DEF≌Rt△ABD，所以DE＝DA。（2）取AC中點(diǎn)N，連結(jié)MN、NB，∵M(jìn)是EA的中點(diǎn)，∴MNEC。由BDEC，且BD⊥平面ABC，可得四邊形MNBD是矩形，于是DM⊥MN?！逥E＝DA，M是EA的中點(diǎn)，∴DM⊥EA．又EAMN＝M，∴DM⊥平面ECA，而DM平面BDM，則平面ECA⊥平面BDM。（3）∵DM⊥平面ECA，DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA。點(diǎn)評(píng)：面面垂直的問題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問題解決。例5．如圖在四棱錐中，底面是，且邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在平面垂直于底面。（1）若為邊的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求二面角的大小；（3）若為邊的中點(diǎn)，能否在棱上找到一點(diǎn)，使平面平面，并證明你的結(jié)論。（1）∵為正三角形，為邊的中點(diǎn)，∴，∵平面垂直于底面，∴底面，∴在菱形中，，∴，∴為直角三角形，且，，∴平面（2）由（1）知底面，，∴，∴是二面角的平面角，∵，∴，∴（3）∵為邊的中點(diǎn)，∴，∴，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，∵，∴平面，∴平面平面，∴點(diǎn)存在，且為的中點(diǎn)。已知正六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，為的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：∥平面；(Ⅱ)求證：平面⊥平面；(Ⅲ)求異面直線與所成角的余弦值.證明：(Ⅰ)因?yàn)锳F∥BE，AF平面， 所以AF∥平面，xyz 同理可證，∥平面xyz 所以，平面∥平面 又平面，所以∥平面(Ⅱ)因?yàn)榈酌媸钦呅?，所以⊥?又⊥底面，所以⊥， 因?yàn)?，所以⊥平面?又平面，所以平面⊥平面(Ⅲ)由于底面是正六邊形，所以⊥.如圖，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則.則，從而兩異面直線與所成角的余弦值為達(dá)標(biāo)測(cè)試1．已知m、n是兩條不同直線，α、β、γ是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βC．若m∥α，m∥β，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n2．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是()A．若l⊥α，α⊥β，則l?βB．若l∥α，α∥β，則l?βC．若l⊥α，α∥β，則l⊥βD．若l∥α，α⊥β，則l⊥β3．給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④4．關(guān)于直線m、n與平面α與β，有下列四個(gè)命題：①若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n；其中真命題的序號(hào)是()A．①②B．③④C．①④D．②③5．已知兩條直線m、n，兩個(gè)平面α、β，給出下面四個(gè)命題①m∥n，m⊥α?n⊥α②α∥β，m?α，n?β?m∥n③m∥n，m∥α?n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β其中正確命題的序號(hào)是()A．①③B．②④C．①④D．②③6．下列命題中，設(shè)α、β、γ為不同平面，a、b為不同直線，下列命題是真命題的有________．①a⊥α，a⊥β?α∥β.②a⊥α，a∥b?b⊥α.③α⊥β，a?α，b?β?a⊥b.④a⊥α，a⊥b?b∥α.7．設(shè)三棱錐P－ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影是H，給出以下命題：①若PA⊥BC，PB⊥AC，則H是△ABC的垂心②若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則H是△ABC的垂心③若∠ABC＝90°，H是AC的中點(diǎn)，則PA＝PB＝PC④若PA＝PB＝PC，則H是△ABC的外心其中正確命題的命題是________．8．如下圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足．設(shè)AK＝t，則t的取值范圍是_____________．9.如右圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝eq\r(2).(1)求證：PA⊥平面ABCD；(2)求四棱錐P－ABCD的體積．10．如右圖，A、B、C、D為空間四點(diǎn)．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝eq\r(2).等邊三角形ADB以AB為軸運(yùn)動(dòng)．(1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，求CD；(2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，是否總有AB⊥CD?證明你的結(jié)論．11．如圖，在空間四邊形中，、、、分別是邊、、、的中點(diǎn)，對(duì)角線且它們所成的角為。⑴求證：，⑵求四邊形的面積。參考答案1、D2、C3、D4、D5、C6、①②7、①②③④8、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))9、10省略11、解析：⑴在中，、分別是邊、的中點(diǎn)，∴∥，在中，、分別是邊、的中點(diǎn)，∴∥，∴∥且，同理：∥且，∵，∴，∴四邊形為菱形，∴。⑵∵∥，∥，∴（或的補(bǔ)角）即為異面直線與所成的角，由已知得：（或），∴四邊形的面積為：。思維方法1．通過典型問題掌握基本解題方法，高考中立體幾何解答題基本題型是：（Ⅰ）證明空間線面平行或垂直；（Ⅱ）求空間中線面的夾角或距離；（Ⅲ）求幾何體的側(cè)面積及體積。證明空間線面平行或垂直需注意以下幾點(diǎn)：①由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。②立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。③明確何時(shí)應(yīng)用判定定理，何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。④三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮.應(yīng)用時(shí)常需先認(rèn)清所觀察的平面及它的垂線，從而明確斜線、射影、面內(nèi)直線的位置，再根據(jù)定理由已知的兩直線垂直得出新的兩直線垂直.另外通過計(jì)算證明線線垂直也是常用的方法之一。垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：1平行轉(zhuǎn)化：線線平行線面平行面面平行；2垂直轉(zhuǎn)化：線線垂直線面垂直面面垂直；每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達(dá)到目的。例如：有兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化