學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)必修4教師用書：第2章§11.1位移、速度和力1.2向量的概念含解析§1從位移、速度、力到向量1.1位移、速度和力1。2向量的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解向量的有關(guān)概念及向量的幾何表示．(重點）2．掌握共線向量、相等向量的概念．(難點）3．正確區(qū)分向量平行與直線平行．(易混點)1。通過學(xué)習(xí)向量的有關(guān)概念，體會數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過判斷與向量有關(guān)的命題的真假,提升邏輯推理素養(yǎng)．1．向量的有關(guān)概念名稱定義表示方法零向量長度為零的向量0單位向量長度為單位1的向量叫作單位向量相等向量長度相等且方向相同的向量若a等于b，記作a＝b向量平行或共線表示兩個向量的有向線段所在的直線平行或重合a與b平行或共線，記作a∥b.規(guī)定：零向量與任一向量平行思考1：兩個數(shù)量可以比較大小,那么兩個向量能比較大小嗎？［提示]數(shù)量之間可以比較大小,而兩個向量不能比較大小．2．向量及其表示（1)定義既有大小，又有方向的量叫作向量．(2)有向線段具有方向和長度的線段叫作有向線段．其方向是由起點指向終點，以A為起點、B為終點的有向線段記作eq\o（AB,\s\up8(→）)，線段AB的長度也叫作有向線段eq\o(AB，\s\up8(→))的長度，記作eq\a\vs4\al(｜\o(AB,\s\up8(→））|）。(3)向量的長度|eq\o（AB，\s\up8(→）)|(或|a|）表示向量eq\o(AB,\s\up8(→)）(或a)的大小，即長度（也稱模）.(4）向量的表示法①向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．②向量也可以用黑體小寫字母如a，b，c，…來表示，書寫用a→，b→，c→…來表示．思考2:0的模長是多少？0有方向嗎？單位向量的模長是多少？［提示］0的模長為0，方向任意．單位向量的模長為1個單位長度．1．下列各量中不是向量的是（）A。浮力 B．速度C.溫度 D．加速度C[向量是既有大小又有方向的量．]2．如圖所示，四邊形RSPQ是菱形，下列可以用同一有向線段表示的兩個向量是（)A。eq\o（SP，\s\up8（→)）和eq\o(QR,\s\up8(→）） B．eq\o（SR,\s\up8（→）)和eq\o（PQ,\s\up8(→)）C.eq\o（SR，\s\up8（→））和eq\o(QR,\s\up8(→）） D．eq\o（SR，\s\up8(→)）和eq\o(SP，\s\up8(→））B［由圖可知向量eq\o（SR,\s\up8(→))與eq\o(PQ，\s\up8(→)）是相等向量，滿足條件．]3。如圖，在⊙O中，向量eq\o(OB，\s\up8(→)）、eq\o（OC，\s\up8（→）)、eq\o（AO,\s\up8(→)）是（）A。有相同起點的向量B.共線向量C。模相等的向量D。相等的向量C［eq\o(OB,\s\up8(→)）、eq\o（OC，\s\up8(→））、eq\o(AO,\s\up8（→）)的模均為圓的半徑，故相等．]4．如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形，則與eq\o（ED，\s\up8(→)）相等的向量有________，與eq\o(AB，\s\up8(→))共線的向量有________．eq\o（AB,\s\up8（→))，eq\o（DC，\s\up8(→））eq\o（BA,\s\up8（→)），eq\o(ED,\s\up8（→)),eq\o(DE,\s\up8（→）)，eq\o(CD，\s\up8（→）），eq\o（DC，\s\up8（→)），eq\o（EC，\s\up8(→）），eq\o(CE,\s\up8(→))［在平行四邊形ABCD和ABDE中，因為eq\o(AB，\s\up8（→)）＝eq\o（ED，\s\up8（→)),eq\o(AB，\s\up8(→）)＝eq\o（DC,\s\up8(→)），所以與eq\o（ED，\s\up8（→）)相等的向量為eq\o（AB,\s\up8(→）)，eq\o（DC，\s\up8(→))；由圖知與向量eq\o（AB，\s\up8（→）)共線的向量有eq\o(BA，\s\up8(→）)，eq\o(ED，\s\up8（→))，eq\o（DE,\s\up8(→))，eq\o（CD，\s\up8（→)）,eq\o（DC，\s\up8（→））,eq\o(EC,\s\up8(→)），eq\o（CE，\s\up8(→））。］向量的有關(guān)概念【例1】判斷下列各命題的真假:(1）向量eq\o（AB,\s\up8（→)）的長度與向量eq\o(BA，\s\up8（→））的長度相等;（2)向量a與向量b平行,則a與b的方向相同或相反;(3)兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；(4)兩個有共同終點的向量,一定是共線向量；（5)向量eq\o（AB，\s\up8(→））與向量eq\o(CD，\s\up8（→)）是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上；(6)有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數(shù)是(）A。2 B．3C.4 D．5C［(1）真命題．（2)假命題．若a與b中有一個為零向量時，其方向是不確定的．（3)真命題．(4）假命題．終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反．(5）假命題．共線向量所在的直線可以重合,也可以平行．（6）假命題．向量是用有向線段來表示的，但并不是有向線段．故選C.］1．零向量是用向量的長度來定義的，共線向量是用表示向量的有向線段所在直線平行或重合來定義的．相等向量是用向量的長度和方向共同定義的,要弄清這些概念的定義．2．理解向量的有關(guān)概念時，注意區(qū)分向量與有向線段：只有起點、大小和方向均相同，才是相同的有向線段．對于向量,只要大小和方向相同，就是相等向量，而與起點無關(guān)．1．給出下列幾種說法：①溫度、速度、位移這些物理量都是向量；②若｜a|＝｜b｜,則a＝b或a＝－b；③向量的模一定是正數(shù);④起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．其中說法正確的是________．（填序號）④[①錯誤，只有速度、位移是向量．②錯誤．｜a｜＝｜b|僅說明a與b模相等，但不能說明它們方向的關(guān)系．③錯誤.0的模｜0｜eq\a\vs4\al(＝)0.④正確．對于一個向量僅由大小和方向確定，與起點的位置無關(guān)．］向量的表示【例2】一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達基地B，然后改變航線向東偏北60°航行了400海里到達C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達D島．（1)試作出向量eq\o(AB，\s\up8(→）)，eq\o(BC，\s\up8（→）），eq\o（CD,\s\up8（→))；(2)求｜eq\o（AD，\s\up8（→)）|.[思路探究]準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點,再確定向量的方向,然后結(jié)合向量的大小確定向量的終點．[解](1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，向量eq\o(AB,\s\up8（→）),eq\o(BC，\s\up8（→）)，eq\o(CD，\s\up8(→））即為所求．（2）根據(jù)題意，向量eq\o(AB,\s\up8（→)）與eq\o(CD，\s\up8（→))方向相反，故向量eq\o（AB,\s\up8（→））∥eq\o(CD,\s\up8（→))。又｜eq\o（AB，\s\up8(→））｜＝|eq\o（CD，\s\up8(→）)｜，∴在四邊形ABCD中，AB綊CD，四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o（AD,\s\up8（→)）＝eq\o(BC,\s\up8(→)）,∴｜eq\o（AD，\s\up8（→））｜＝｜eq\o（BC,\s\up8（→)）｜＝400(海里）。1．準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向,然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點．用有向線段來表示向量是向量的幾何表示，必須確定起點、長度和終點，三者缺一不可．2．起點相同，長度也相同的向量的終點組成以該起點為圓心、向量長度為半徑的圓．2。一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30°方向行駛2千米到D地，然后從D地沿北偏東60°方向行駛6千米到達C地，從C地又向南偏西30°方向行駛了2千米才到達B地．（1)在如圖所示的坐標(biāo)系中畫出eq\o（AD，\s\up8（→）），eq\o(DC,\s\up8(→)），eq\o(CB,\s\up8(→)）,eq\o(AB，\s\up8（→）)；(2)求B地相對于A地的位置向量．[解]（1)向量eq\o(AD,\s\up8（→）），eq\o(DC，\s\up8（→）），eq\o（CB,\s\up8（→））,eq\o（AB,\s\up8（→))如圖所示．（2）由題意知eq\o(AD，\s\up8(→))＝eq\o(BC，\s\up8(→）），∴AD綊BC,∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o(AB,\s\up8（→））＝eq\o（DC，\s\up8(→）），∴B地相對于A地的位置向量為“北偏東60°,6千米相等向量與共線向量[探究問題］1．如果兩個非零向量所在的直線互相平行，那么這兩個向量的方向有什么關(guān)系？［提示］方向相同或相反．2．表示共線向量的有向線段所在的直線有什么位置關(guān)系？［提示］表示共線向量的有向線段所在直線平行或重合．3．如果非零向量eq\o（AB,\s\up8（→）)與eq\o(CD，\s\up8（→）)是共線向量，那么點A，B，C,D是否一定共線？［提示]不一定共線．4．與向量a共線的單位向量有幾個？［提示］當(dāng)a≠0時，有兩個；當(dāng)a＝0時，有無數(shù)個．【例3】如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且eq\o（OA，\s\up8（→）)＝a，eq\o(OB,\s\up8（→）)＝b，eq\o(OC，\s\up8（→)）＝c。（1）與a的模相等的向量有多少個？（2)與a的長度相等，方向相反的向量有哪些？(3)與a共線的向量有哪些？[思路探究]由題目可獲得以下主要信息：①六邊形ABCDEF是正六邊形；②eq\o(OA,\s\up8（→）)＝a,eq\o(OB,\s\up8（→））＝b,eq\o（OC，\s\up8（→））＝c；③求各相應(yīng)向量．解答本題要充分借助幾何圖形的性質(zhì)及向量相關(guān)概念進行判斷,從而解決相應(yīng)問題．[解］（1)與a的模相等的向量有23個．（2）與a的長度相等且方向相反的向量有eq\o(OD，\s\up8(→））,eq\o（BC,\s\up8(→))，eq\o(AO，\s\up8(→)），eq\o(FE,\s\up8(→）).(3）與a共線的向量有eq\o(EF，\s\up8(→））,eq\o(BC,\s\up8(→)），eq\o（OD，\s\up8（→）），eq\o（FE,\s\up8(→）)，eq\o(CB,\s\up8（→)），eq\o(DO,\s\up8（→))，eq\o(AO,\s\up8（→）),eq\o（DA,\s\up8（→))，eq\o（AD,\s\up8(→))。1．本例中eq\o（OC，\s\up8(→））＝c，其他條件不變，試分別寫出與a,b，c相等的向量．[解]與a相等的向量有eq\o(EF,\s\up8（→）),eq\o（DO,\s\up8(→）)，eq\o（CB，\s\up8(→));與b相等的向量有eq\o(DC，\s\up8(→）)，eq\o（EO，\s\up8(→）),eq\o（FA,\s\up8(→))；與c相等的向量有eq\o(FO，\s\up8（→）)，eq\o(ED,\s\up8（→）），eq\o（AB,\s\up8(→）)。2．本例條件不變，與eq\o（AD,\s\up8(→））共線的向量有哪些？［解］與eq\o(AD，\s\up8（→）)共線的向量有eq\o(EF,\s\up8(→）)，eq\o(BC,\s\up8（→）)，eq\o(OD，\s\up8(→)）,eq\o(FE，\s\up8(→）），eq\o(CB，\s\up8(→)），eq\o(DO，\s\up8(→)),eq\o（AO，\s\up8(→)），eq\o（DA,\s\up8（→）)，eq\o（OA，\s\up8(→）)。1．向量共線有三種情形：①共線且同向;②共線且反向；③有一個是零向量．2．向量的平行與直線平行的關(guān)系兩條直線平行時，直線上的有向線段平行，兩向量平行時，表示向量的有向線段所在直線不一定平行，也可能重合．若直線m，n，l，m∥n,n∥l，則m∥l；若向量a，b,c，a∥b，b∥c，而a,c不一定平行．1．向量的模可以比較大小，但因為向量有方向，所以向量不能比較大?。?．用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性，應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，并不是說向量就是有向線段．有向線段的起點、終點是確定的，而向量僅由大小和方向確定,與起點位置無關(guān)．3．共線向量也就是平行向量,其要求是幾個非零向量的方向相同或相反，當(dāng)然向量所在的直線可以平行,也可以重合,其中“平行"的含義不同于平面幾何中“平行”的含義．1．判斷(正確的打“√"，錯誤的打“×”）（1）數(shù)量同向量一樣可以比較大小． （)(2)向量eq\o(AB，\s\up8(→))與向量eq\o（BA，\s\up8（→))是相等向量． （)（3）兩個向量平行時，表示向量的有向線段所在的直線一定平行． (）(4)向量就是有向線段． (）［答案](1）×(2）×（3)×(4）×2．下