本文格式為Word版，下載可任意編輯——08高等數(shù)學(xué)競賽試題

高等數(shù)學(xué)試題

08高等數(shù)學(xué)競賽試題

一、填空：（此題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）

1．設(shè)函數(shù)f(x)sinx

0sin(at2)dt，g(x)x3x4，且當(dāng)x0時，f(x)與g(x)為等

價無窮小，則a。

2．設(shè)函數(shù)yx2x在xx0點(diǎn)處取得微小值，則x0。

dx3．。1x2(x1)

4.設(shè)函數(shù)yy(x)由方程e2xycos(xy)e1所確定,則曲線yy(x)在點(diǎn)(0,1)處的法線方程為二、選擇題：（此題15分，每題3分。）

1．設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，則以下函數(shù)中必為偶函數(shù)的是（）

（A）t[f(t)f(t)]dt；（B）t[f(t)f(t)]dt；00xx

（C）f(t)dt；（D）[f(t)]2dt。00x2x

2．設(shè)函數(shù)f(x)具有一階導(dǎo)數(shù)，下述結(jié)論中正確的是（）

（A）若f(x)只有一個零點(diǎn)，則f(x)必至少有兩個零點(diǎn)；

（B）若f(x)至少有一個零點(diǎn)，則f(x)必至少有兩個零點(diǎn)；

（C）若f(x)沒有零點(diǎn)，則f(x)至少有一個零點(diǎn)；

（D）若f(x)沒有零點(diǎn)，則f(x)至多有一個零點(diǎn)。

3．設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，滿足f(0)0，f(x)0，又0ab，則當(dāng)axb時恒有（）

（A）af(x)xf(a)；（B）bf(x)xf(b)；

（C）xf(x)bf(b)；（D）xf(x)af(a)。

tanxxdx,I14dx,則（B）4．設(shè)I10tanxx

(A)I1I21；（B）1I1I2；（C）I2I11；（D）1I2I1

5．設(shè)平面位于平面1:x2yz20與平面2:x2yz60之間，且將此兩平面的距離分為1：3，則平面的一個方程為（）

A．x2yz0B.

x2yz80

C.x2yz80D.

x2yz3040

高等數(shù)學(xué)試題

三、（此題6分）已知曲線yf(x)與曲線yarctanx

0（0，0）處具有一致的etdt在點(diǎn)2

2切線，寫出該切線方程，并求極限limnf()。nn

2x2(1cosx),若x0

四、（此題10分）設(shè)函數(shù)f(x)1,若x0

1xcost2dt,若x0x0

試探討f(x)在x0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。

五、設(shè)f(x)x2sin2x，求f(n)(0)(n3)。（此題10分）

dx六、（此題8分）計算不定積分x

exe2

七、（此題8分）已知f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f()1，且

[f(x)f(x)]sinxdx3求f(0)0

八、（此題10分）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線ylnx的切線，該切線與曲線ylnx及x軸圍成平面圖形D.

(1)求D的面積A；

(2)求D繞直線xe旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.

九、（此題8分）計算

0sin3xsin5xdx

十、（此題10分）設(shè)f,g:[a,b]R是可導(dǎo)函數(shù)，且g0，證明：存在c(a,b)，f(a)f(c)f(c)使g(c)g(b)g(c)

證明：取輔助函數(shù)為F(x)f(x)g(x)f(a)g(x)f(x)g(b),則F(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且可導(dǎo)，顯然F(a)F(b)f(a)g(b)

故由羅爾中值定理，存在c(a,b)，使得F(c)0，再由g0，知g(b)g(c)，因此，結(jié)論成立。

高等數(shù)學(xué)試題

一、填空：（此題15分，每空3分。請將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）

1．。

12．。ln2

3．1ln2。

1x12

二、選擇題：（此題15分，每題3分。）

1．（A）

2．（D）

3．(B)

4．（B）

5．（D）

三、（此題6分）2

四、(1)f(x)在x0連續(xù)。

(2)f(x)在x0可導(dǎo)。4.y

五、設(shè)f(x)x2sin2x，求f(n)(0)

六、2e12ln(1e)